2簡單的軸對稱圖形第五章生活中的軸對稱第3課時角平分線的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)有哪些？復(fù)習(xí)提問1.等腰三角形是軸對稱圖形.2.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（也稱“三線合一”），它們所在的直線就是等腰三角形的對稱軸.3.等腰三角形的兩個底角相等.復(fù)習(xí)提問2.等邊三角形的性質(zhì)是什么？1.等邊三角形三個內(nèi)角都相等，且均為60°.2.等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線或角的平分線所在的直線.3.等邊三角形每條邊上的中線、高線和角平分線互相重合.復(fù)習(xí)提問3.線段的垂直平分線的性質(zhì)是什么？線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.挑戰(zhàn)第一關(guān)情境引入問題1：在紙上畫一個角，你能得到這個角的平分

線嗎？

導(dǎo)入新課問題2：如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？

問題3：如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS，兩全等三角形的對應(yīng)角相等.挑戰(zhàn)第二關(guān)探索新知問題：如果沒有此儀器，我們用數(shù)學(xué)作圖工具，能實現(xiàn)該儀器的功能嗎？ABO尺規(guī)作角平分線一做一做：請大家找到用尺規(guī)作角的平分線的方法，并說明作圖方法與儀器的關(guān)系.講授新課ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.仔細觀察步驟

作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,大家一定要掌握噢!作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.（2）分別以點MN為圓心，大于

MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.知識要點1.角是軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在的直線。ABO2.利用尺規(guī)作一個角的平分線的依據(jù)是SSS。ABMNCO練習(xí)1.觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，下列說法錯誤的是（

C

）A.

OE是∠AOB的平分線B.

OC＝ODC.點C，D到OE的距離不相等D.∠AOE＝∠BOEC1.操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE實驗：OC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的

任意一點猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)二驗證猜想已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.試說明：PD=PE.PAOBCDE解：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等

性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.幾何語言：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.知識要點PD⊥OA于D,PE⊥OB于E，BADOPEC判一判：（1）∵如下左圖，AD平分∠BAC（已知），∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵

如上右圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC

問題：反過來，到一個角的兩邊距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢？角平分線的判定三

求證：點P在∠AOB的平分線上BADOPEC

判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。應(yīng)用所具備的條件：（1）點在角的內(nèi)部；（2）垂直距離；（3）距離相等.定理的作用：

證明角相等.應(yīng)用格式：∵

PD⊥OA于D,PE⊥OB于E，∴OP平分∠AOB知識要點PD=PE，BADOPEC角平分線的性質(zhì)定理和角平分線判定定理是證明角相等，線段相等的新途徑。練習(xí)

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練習(xí)3.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG練習(xí)例1:如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應(yīng)用典例精析ABCP變式：如

圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4,AB=14.（1）則點P到AB的距離為_______.D4溫馨提示：存在一條垂線段———構(gòu)造應(yīng)用（2）求△APB的面積為

.28·AB·PD=28.由垂直平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC=4，ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，AB=14.D（3）求?PDB的周長.=1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：面積周長條件知識與方法利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解例2：已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.試說明：EB=FC.ABCDEF解：∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.典例精析典例精析例3：已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P求證：點P在∠BAC的平分線上.ABCPMN典例精析變式：已知：如圖，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F求證：（1）點F到AB、BC、AC所在的直線距離相等；