《正弦定理》課堂教學(xué)實(shí)錄-一讓愛(ài)充滿(mǎn)課堂

為了適用江蘇省剛剛實(shí)施的新高考新課程新教材的改革，貫徹十九大教育方

針，2021年3月18日，縣教育局開(kāi)展了“縣高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)課評(píng)比”教研活

動(dòng).筆者根據(jù)新高考新課程新教材理念對(duì)正弦定理這節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行了設(shè)計(jì)和實(shí)

踐，以國(guó)家京臺(tái)高速為背景引入課題，體現(xiàn)愛(ài)國(guó)、愛(ài)家和立德樹(shù)人教育；以問(wèn)題鏈

為導(dǎo)向，體現(xiàn)學(xué)生的思維主體和愛(ài)思考的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；以鼓勵(lì)贊美學(xué)困生學(xué)生的回

答，體現(xiàn)愛(ài)滿(mǎn)天下的教育情懷，同時(shí)提高學(xué)生愛(ài)思考，愛(ài)動(dòng)手的學(xué)習(xí)習(xí)慣。以下是

本節(jié)課教學(xué)過(guò)程和反思.

一.教學(xué)過(guò)程

（一）知識(shí)回顧

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了余弦定理，請(qǐng)問(wèn)余弦定理的內(nèi)容是什么？

生：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余

弦的積的兩倍.即小=/+_2bccosA,bz=c2+a2—2cacosB,c2=a2+

b2—2abcosC.

師：余弦定理是如何用向量的方法證明的呢？

生：由向量等式近-四,兩邊平方得，BC-BC=（AC-X§＞）-

{AC—AB）=|?1C|2+p2?|2—214clMB|cos4,即小=h2+c2-2bccos4,同理可

222222

得b=c+a-2cacosBfc=a+b—labcosC.

師:余弦定理可以解決哪幾種解三角形問(wèn)題？

生：已知三邊，求三個(gè)角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)回顧，反思余弦定理的掌握情況，同時(shí)為后繼

知識(shí)的學(xué)習(xí)做鋪墊.

（二）情境引入，教師PPT播放京臺(tái)高鐵的動(dòng)畫(huà).

同時(shí)播報(bào)以下內(nèi)容：在近期出爐的《國(guó)家綜合立體交通網(wǎng)規(guī)劃綱要》中，口明

確要將京臺(tái)高鐵列入2021-2035年建設(shè)的國(guó)內(nèi)交通主軸之中，京臺(tái)高鐵再次引發(fā)國(guó)

人矚目。京臺(tái)高鐵，編號(hào)G3。線(xiàn)路：北京一新竹一臺(tái)北，全長(zhǎng)2030公里.

教師十分激動(dòng)地說(shuō)：“同學(xué)們你們知道這預(yù)示著什么？這預(yù)示著祖國(guó)已經(jīng)強(qiáng)

大，臺(tái)灣必將回歸祖國(guó)懷抱！國(guó)家建設(shè)正需要人才，我們要更加努力學(xué)習(xí)，報(bào)效祖

國(guó)！”

生：鼓掌...

師：“那么現(xiàn)在我們就來(lái)做一些力所能及的事情，由于一些臺(tái)獨(dú)分子不讓我們

跨過(guò)海峽測(cè)量福州到新竹這段距離，現(xiàn)在工作人員已經(jīng)測(cè)出了福州到泉州這段距

離，且測(cè)量出了圖上的兩個(gè)角，你能計(jì)算福州到新竹這段距離嗎？”

生：“我添加了輔助線(xiàn)，過(guò)A作AD_LBC于D,在RSABD中，AD=80百，在

RSADC中，AC=80痣”

設(shè)計(jì)意圖：情境引入將教學(xué)內(nèi)容和社會(huì)熱點(diǎn)相結(jié)合，利用京臺(tái)高鐵問(wèn)題來(lái)激發(fā)

學(xué)生的認(rèn)知，讓學(xué)生認(rèn)設(shè)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，服務(wù)于生活，從而激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)

學(xué)的興趣，將立德樹(shù)人融入教學(xué)環(huán)節(jié)，厚植了學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義情懷.由于問(wèn)題難度

不大，對(duì)學(xué)困生來(lái)說(shuō)，能夠利用初中知識(shí)解決，學(xué)困生能夠嘗試到成功的喜悅，充

分調(diào)動(dòng)了他們的積極性，同時(shí)也為正弦定理的證明提供了一種方法

（三）定理證明

師：“剛才問(wèn)題情境中，我們可以抽象出這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題:在AABC中，已知

角A和角B,求b.剛剛是通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形求解，我們?cè)偬骄恳幌掠袥](méi)

有更直接的公式求解呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的正弦定理.”

師：”波利亞說(shuō)過(guò)類(lèi)比是偉大的領(lǐng)路人，你能類(lèi)比余弦定理的向量的證明方法得

到三角形中邊和角的正弦的關(guān)系嗎？”

_生”理（乍竺J.B些D,用用曳量色單邇睨=前-AB,兩邊點(diǎn)用亞，色

BC-AD=（AC-AB）?AD=AC-AD-AB-AD,因?yàn)锳DJLBC,所以說(shuō).而=

0,即0=\AC\\AD\cos^CAD-\AB\\AD\cos^BAD,所以bcos4c4。=ccos^BADt

HpbsinC=csinB,故T—=同理得”

sinBsinCstnAsinB

師：“這種證明方法你是如何想到的？”

生：”數(shù)量積得到的是邊和角的余弦的關(guān)系，而我們要想得到角的正弦，必須

構(gòu)造三角形中角的余角，所以想到了構(gòu)造直角三角形，得到了互余的關(guān)系

師：“你發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題的本質(zhì)，很好！但對(duì)于任一三角形，點(diǎn)D一定落在線(xiàn)段BC

上嗎？”

生：“不一定，還要討論角C為直角或鈍角的情況

師：“我們不僅要會(huì)證明，還要知道為什么要這樣證明.我們知道向量的數(shù)量積

是刻畫(huà)幾何中的長(zhǎng)度和角的運(yùn)算.所以通過(guò)構(gòu)造向量的數(shù)量積正能得到三角形中的

邊和角的關(guān)系.”

師：”剛剛的證明方法我們稱(chēng)為向量法，請(qǐng)大家想想還有其它的證明方法嗎？”

生：“也是過(guò)A作AD_LBC于D,RtAABD,AD=csinB,RtAADC,AD=bsinC,

所以bsinC=csinB,即七=三，同理得七=上.”

sinBsinCstnAsinB

師：“同樣的問(wèn)題，點(diǎn)D一定落在線(xiàn)段BC上嗎？”

生：“不一定，還要討論角C為直角或鈍角的情況

師：“這種方法我們成為幾何法.”

設(shè)計(jì)意圖:肯定學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)，是課堂教學(xué)中愛(ài)的教育最根本的體現(xiàn)，教學(xué)的藝

術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒、和鼓舞，讓學(xué)生得到愛(ài)，體會(huì)到自己的價(jià)

值.教學(xué)中教師要及時(shí)抓住學(xué)生回答問(wèn)題的切入點(diǎn)，對(duì)學(xué)生予以肯定和贊許的眼

光，鼓勵(lì)學(xué)生聯(lián)系知識(shí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)，誘發(fā)學(xué)生對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題從多方位、多角

度去探索聯(lián)想，讓學(xué)生感受到來(lái)自教師的愛(ài)，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，促進(jìn)學(xué)

習(xí)有效地進(jìn)行.

（四）定理理解

由此我們不難發(fā)現(xiàn)在三角形中正弦定理，三角形的各邊和它所對(duì)角的正弦的比

相等，即3=-±_=_J.

sinAsinBsinC

師：“觀(guān)察式子的結(jié)構(gòu)有何特點(diǎn)？”

生1：“形式具有統(tǒng)一性、對(duì)稱(chēng)性，使結(jié)果更和諧優(yōu)美

生2：”突顯了三角形邊與角的正弦關(guān)系的本質(zhì)

生3：“從方程的角度來(lái)看，已知兩邊和一邊的對(duì)角，能求另一邊的對(duì)角；已

知兩角及任一邊，能求出其它的邊.”

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)美，引發(fā)學(xué)生從多個(gè)角度理解正弦定理，為后續(xù)的應(yīng)用

做鋪墊._____

（五）運(yùn)用定理

例1.在△ABC中，已知AB=160km,A=75°,B=60°,求AC.

變式；在AABC中，已知ABT60km,AC-200km,B-60°,求C-卜

cat*eiHiet

________________________

設(shè)計(jì)意圖：從提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，最終解決了問(wèn)題，前后呼應(yīng).例1是直接

利用正弦定理，已知兩邊和一邊的對(duì)角，能求另一邊的對(duì)角，變式是已知兩角及任

一邊，能求出其它的邊.考察學(xué)生對(duì)定理的選擇應(yīng)用，解決了開(kāi)始的情景引入.

師：“我們現(xiàn)在已經(jīng)做了一些力所能及的事情了，我們還要更加努力學(xué)好科學(xué)

文化知識(shí)，為實(shí)現(xiàn)中華民族的偉大復(fù)興而奮斗！”舉起右手呼吁學(xué)生.

生：鼓掌

二.教后反思

1.以問(wèn)題情境，國(guó)家京臺(tái)高鐵。讓學(xué)生了解了社會(huì)熱點(diǎn)，貫徹了新高考評(píng)價(jià)體

系，培養(yǎng)了學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷，落實(shí)立德樹(shù)人的教育方針.習(xí)近平總書(shū)記在全國(guó)教育

大會(huì)上提出，要把立德樹(shù)人融人教育各環(huán)節(jié)，貫穿教育各領(lǐng)域環(huán)節(jié)，所以筆者在數(shù)

學(xué)教學(xué)中將立德樹(shù)人作為根本任務(wù)，在厚植愛(ài)國(guó)主義情懷上下功夫，培養(yǎng)和選拔德

智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人.

2.以問(wèn)題鏈為導(dǎo)向.引導(dǎo)了學(xué)生積極思考并探索知識(shí)的形成過(guò)程，讓學(xué)生參與

到重新發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美或創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)的情境中，追溯到要學(xué)習(xí)和掌握的數(shù)學(xué)問(wèn)題的

本質(zhì)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)的艱辛和成功的愉悅，讓學(xué)生感受到來(lái)自教師的愛(ài)。

3.以實(shí)際問(wèn)題為背景。解決實(shí)際問(wèn)題，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，從

知識(shí)應(yīng)用的成功，感受來(lái)自知識(shí)的魅力，學(xué)習(xí)知識(shí)的動(dòng)力。通過(guò)變式訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)

生辯證統(tǒng)一的看待問(wèn)題和解決問(wèn)題的思路。提高學(xué)生愛(ài)思考，愛(ài)動(dòng)手的學(xué)習(xí)習(xí)慣，

進(jìn)而，才能從愛(ài)的教育中，收獲愛(ài)，有愛(ài)才更有動(dòng)力。

總之將愛(ài)的教育滲透于課堂教學(xué)中，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義情懷，感受來(lái)自教師

的愛(ài)，從愛(ài)中收獲愛(ài)學(xué)習(xí)，愛(ài)自己，才能愛(ài)國(guó)，愛(ài)家。任何一位教師只要他是一位

有心之人，做到這一點(diǎn)是不難的.愛(ài)國(guó)主義教育是一個(gè)永恒的主題，愛(ài)國(guó)主義教育

同時(shí)也是一項(xiàng)千秋偉業(yè).因此