2025年高中自主招生考試試題（數(shù)學學科）考試時間：8:00-9:30滿分：150考試座位號：一、單選題（每題4分，共32分）1.從12個同類產(chǎn)品（其中10個是正品，2個是次品）中任意抽取3個的必然事件是A.3個都是正品 B.至少有1個是次品 C.3個都是次品 D.至少有1個是正品2.設(shè)，，則的值為A. B. C.2 D.33.因式分解，其中、、都為整數(shù)，則這樣的的最大值是A.1 B.4 C.11 D.124.《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一個數(shù)學問題：一群老頭去趕集，半路買了一堆梨，一人一個多一梨，一人兩個少二梨，請問君子知道否，幾個老頭幾個梨？若設(shè)有個老頭，個梨，則可列方程組為A. B. C. D.5.如圖，在中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點，的對應點分別為、、的延長線與邊相交于點，連接.若，，則線段的長為A. B. C.4 D.6.如圖，在四邊形中，，，，則對角線的長為A.7 B. C. D.7.已知二次函數(shù)的圖象與其向下平移個單位長度所得的圖象都與軸有兩個交點，且這四個交點中每相鄰兩點間的距離都相等，則的值為A.18 B.16 C.20 D.248.如圖，等邊的邊長為6，點在邊上，，線段繞順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接交于點，連接，下列結(jié)論：①四邊形面積為；②外接圓的半徑為；③；其中正確的是A.①②③ B.①③ C.①② D.②③二、填空題（每題5分，共40分）9.擲一枚均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正面向上的概率是_____.10.設(shè)，是方程的兩個根，那么的值為_____.11.已知不等式的正整數(shù)解為1，2，3，則的取值范圍是_____.12.有、、三種貨物，甲購、、各1件，以200元.乙購4件，7件，1件，共250元，則丙購、、各1件，應付_____元.13.若直角三角形中有兩邊的邊長為、，這兩邊長都是質(zhì)數(shù)，且使得代數(shù)式及的值都是正整數(shù)，則此直角三角形的第三邊的長是_____.14.如圖，平面直角坐標系中，的頂點在軸正半軸上，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過的中點，與邊相交于點，且反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，連接，則與的面積比是_____.15.如圖，已知矩形，點是的中點，將邊沿翻折到的位置，點的對應點為，連接并延長交于點，當恰為的中點時，的值是_____.16.在四邊形中，，，，，.點是邊上一點，如果以為圓心，為半徑的圓與邊有交點，那么的取值范圍是_____.三、解答題（共78分）17.（滿分14分）（1）當取什么值時，不等式對一切實數(shù)都成立？（2）若實數(shù)，，滿足，則稱比遠離.對任意兩個不相等的實數(shù)，，證明比遠離.18.（滿分15分）已知整式，其中，，，，是自然數(shù)，若，.（1）若，求的值；（2）若，且，則滿足條件的不同整式中共有幾個？請說明理由.19.（滿分15分）如圖①，已知四邊形中，，，，，，點是邊上的動點，連接，作，設(shè)射線交線段于，交射線于.圖①圖②（1）如果射線經(jīng)過點（即點、與點重合，如圖②所示），求的長；（2）若點在的延長線上，不與點重合，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并直接寫出的取值范圍.20.（滿分17分）已知，是半徑為2的的弦，的另一條弦滿足，且于點（其中點在圓內(nèi)，且，）.圖1圖2（1）在圖1中用尺規(guī)作出弦與點（不寫作法，保留作圖痕跡）.（2）連結(jié)，猜想，當弦的長度發(fā)生變化時，線段的長度是否變化？若發(fā)生變化，說明理由：若不變，求出的長度；（3）如圖2，延長至點，使得，連結(jié)，的平分線交的延長線于點，點為的中點，連結(jié)，若.求證：.21.（滿分17分）若關(guān)于的函數(shù)，當時，函數(shù)的最大值為，最小值為，令函數(shù)，我們不妨把函數(shù)稱之為函數(shù)的“共同體函數(shù)”.（1）①若函數(shù)，當時，求函數(shù)的“共同體函數(shù)”的值；②若函數(shù)