《函數(shù)模型的應(yīng)用（第一課時）》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：能夠認識數(shù)學(xué)模型的含義，利用已知的函數(shù)模型解決實際問題；體會求解模型的過程，初步體驗數(shù)學(xué)建模的基本步驟，能夠正確認識數(shù)學(xué)求解的結(jié)論與實際問題結(jié)果的差異；感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值，提升數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).教學(xué)重點：利用已知的函數(shù)模型解決實際問題.教學(xué)難點：對于碳14半衰期及衰減率的理解及驗證問題中的數(shù)據(jù)與所提供的的數(shù)學(xué)模型是否吻合.教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動１分鐘15分鐘３分鐘１分鐘新課引入新課講解課堂小結(jié)作業(yè)我們知道函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要不同的函數(shù)模型來刻畫，面臨一個實際問題，該如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？我們將用兩節(jié)課的時間繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)模型的應(yīng)用，這節(jié)課我們主要探究利用已知的函數(shù)模型解決實際問題．人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題.認識人口變化的規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù)．早在1798年，英國經(jīng)濟學(xué)家馬爾薩斯(T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型，其中t表示經(jīng)過的時間，表示t=0時的人口數(shù)，表示人口的年平均增長率．根據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)，我國1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別為55196萬和67207萬，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在1950年－1959年期間的具體人口增長模型．利用（１）中的模型計算，1951年到1958年各年末的人口總數(shù)，查閱國家統(tǒng)計局，網(wǎng)站公布的我國在1951年至1958年間，各年末的實際人口總數(shù)檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符？以（１）中模型做預(yù)測，大約在什么時候我國人口總數(shù)達到13億？問題1用馬爾薩斯人口增長模型建立具體人口增長模型，要確定其中的哪些量？建立我國自1950年起的人口增長模型需要確定其中的人口初始量及年平均增長率．追問1：我國自1950年起的人口增長模型中人口初始量是多少？依題意是1950年末的人口總數(shù)55196萬．追問2：如果1950記為第一年，1959年是第幾年？1950年1959年到經(jīng)過了幾年？1959年是第十年．1950年1959年到經(jīng)過了9年．追問３：如何計算1950年－1959年的年平均增長率？根據(jù)已知得，，，利用人口增長模型可以求出年平均增長率．解：（1）設(shè)1950年至1959年我國各年人口增長率為，由，由計算工具得我國1950年至1959年期間人口增長率．由，則我國1950年至1959年期間人口增長模型為．問題２如何檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符？利用我們確定的人口增長模型求得我國1950年至1959年期間各年末人口總數(shù)，再與國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的各年末的實際人口總數(shù)相比較檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符．我們也可以畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的各年末的實際人口總數(shù)數(shù)據(jù)畫出散點圖，通過函數(shù)圖象觀察所得模型與1950年至1959年期間實際人口數(shù)據(jù)是否吻合．追問：所得模型與1950年至1959年期間實際人口數(shù)據(jù)是否吻合？首先我們利用人口增長模型求得我國1950年至1959年期間各年末人口總數(shù)，再查閱國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的各年末的實際人口總數(shù)列出下表，相比較知所得模型與實際人口數(shù)據(jù)基本相符．年份19511952195319541955195619571958計算所得人口總數(shù)／萬5641757665589406024361576629386433065753人口數(shù)/萬5630057482587966026661456628286456365994我們也可以根據(jù)1950年至1959年期間實際人口數(shù)據(jù)畫出散點圖，并畫出圖象，可以看出所得模型與實際人口數(shù)據(jù)基本吻合．教師通過Ggb呈現(xiàn)函數(shù)圖象與實際人口數(shù)據(jù)散點圖．問題３如果利用所得模型計算，那么大約在哪一年我國人口數(shù)達到13億？將代入，得，即．．．①

由計算工具得．那么大約在1950年后的第39年（即1989年）我國人口達到13億．追問：如果對①式進一步變形，通過何種運算可以求解出？對①式在等式兩邊取以為底的對數(shù)，即，．問題４事實上，我國1989年的人口數(shù)為11.27億，直到2005年才突破13億，對由函數(shù)模型所得結(jié)果與實際狀況不符，你有何看法？因為人口基數(shù)較大，人口增長過快，與我國經(jīng)濟發(fā)展水平產(chǎn)生了較大的矛盾，所以我國從20世紀(jì)70年代逐步實施了計劃生育政策，因此，這一階段的人口增長條件并不符合馬爾薩斯人口增長模型的條件，自然就出現(xiàn)了一模型，得到的結(jié)果與實際不符的情況．在人口紅利出現(xiàn)拐點，老齡化加速的背景下我國逐步放開了二胎政策，有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)關(guān)注國家統(tǒng)計局網(wǎng)站中有關(guān)人口數(shù)據(jù)探究我國人口變化的規(guī)律．?dāng)?shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題．這個例題是利用已知的函數(shù)模型解決實際問題．在用已知函數(shù)模型刻畫實際問題時，應(yīng)注意模型的適用條件．下面來解決章引言中的問題．例22010年考古學(xué)家對良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料上提取的草莖遺存進行碳14年代學(xué)檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2%，能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的？問題5什么是“碳14年代學(xué)檢測”？碳14年代學(xué)檢測是根據(jù)碳14的衰變程度來計算出樣品的大概年代的一種檢測方法，這一原理通常來測得古生物化石的年代．因為死亡生物機體內(nèi)碳14的初始量按確定的衰減率衰減，屬于指數(shù)衰減，所以應(yīng)選擇函數(shù)建立函數(shù)模型．問題6什么是“半衰期”？我們在指數(shù)函數(shù)的概念一節(jié)的問題2中涉及過“半衰期”的問題．當(dāng)生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．追問１：設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14的初始含量為，年衰減率為，生物死亡的年數(shù)為，死亡生物體內(nèi)碳14含量為，則與間有何種對應(yīng)關(guān)系？與間對應(yīng)關(guān)系為這個對應(yīng)關(guān)系中有四個參數(shù)，我們需要分析一下哪個參數(shù)是可以通過已知條件確定的．追問２：如果利用這一對應(yīng)關(guān)系由碳14的殘留量推斷此水壩建成的大概年代，需要確定哪個參數(shù)？需要確定年衰減率．追問３：可以利用哪個已知條件確定年衰減率？在指數(shù)函數(shù)的概念一節(jié)的問題2中由已知碳14的半衰期為5730年得出了生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間的關(guān)系，即，從而有，即．問題７確定年衰減率后，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間的關(guān)系可以進一步確定為什么函數(shù)關(guān)系？生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系可以進一步確定為．追問：利用模型如何推斷此水壩大概是什么年代建成的？由已知檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2%，得，即，解得，由計算工具得．因為2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推斷此大壩是公元前2902年建成的．良諸遺址位于浙江省杭州市余杭區(qū)良諸鎮(zhèn)，1936年首次發(fā)現(xiàn)這里的巨型城址面積近300萬平方米，包括古城，水壩和多處高及建筑．良渚古城外圍水利系統(tǒng)是迄今所知中國最早的大型水利工程，也是世界最早的水壩．它對研究中華五千年文明的起源具有重要參考價值.本節(jié)課我們嘗試利用已知函數(shù)模型解決實際問題，重在通過運算推理求解模型，并將得到的函數(shù)模型用于描述實際問題的變化規(guī)律，從而解決有關(guān)問題，感受了利用函數(shù)模型解決實際問題的過程．?dāng)?shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，驗證結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題．問題８本節(jié)課我們感受了數(shù)學(xué)建模過程中哪些環(huán)節(jié)？本節(jié)課主要感受了確定參數(shù)、計算求解，驗證結(jié)果三個環(huán)節(jié)．通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，我們應(yīng)有意識地用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián)；學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，積累數(shù)學(xué)實踐的經(jīng)驗；認識數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升應(yīng)用能力實踐能力，增強創(chuàng)新意識和科學(xué)精神．已知1650年世界人口為５億，當(dāng)時人口的年增長率為0.3%，1970年世界人口為36億，當(dāng)時人口的年增長率為2.1%，用馬爾薩斯人口模型計算，什么時候世界人口是1650年的2倍？什么時候世界人口是1970年的2倍？實際上，1850年前世界人口就超過了10億，而2004年世界人口還沒有達到72億，你對同樣的模型得出的兩個結(jié)果有何看法？在一段時間內(nèi)，某地的野兔快速繁殖，野兔總只數(shù)的倍增期為21個月，那么1萬只野兔增長到1億只野兔，大約需要多少年？1959年，考古學(xué)家在河南洛陽偃師市區(qū)二里頭村發(fā)掘出一批古建筑群，從其中的某樣本中檢測出碳14的殘留量約為初始量的62.76%，能否依此推斷二里頭遺址大概是什么年代的？課后篇鞏固提升合格考達標(biāo)練1.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的x倍,需經(jīng)過y年,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是()答案D解析設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a,由題意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以函數(shù)y=f(x)的圖象大致為D中圖象.2.有一組實驗數(shù)據(jù)如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律,其中最接近的一個是()A.V=log2t B.V=log1C.V=t2-12 D.答案C解析當(dāng)t=4時,選項A中的V=log24=2,選項B中的V=log124選項C中的V=42-12選項D中的V=2×4-2=6,故選C.3.(多選題)某工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場要求雜質(zhì)含量不得超過0.1%,而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2%,現(xiàn)進行過濾,已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少13,則使產(chǎn)品達到市場要求的過濾次數(shù)可以為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg3≈0.477)(A.6 B.9 C.8 D.7答案BC解析設(shè)經(jīng)過n次過濾,產(chǎn)品達到市場要求,則2100×23n≤11000,即23n≤120,由nlg23≤-lg20,即n(lg2-lg3)4.(2021福建福州三中高一期末)地震釋放出的能量E(單位:焦耳)與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M.據(jù)此推斷里氏8.0級地震所釋放的能量與里氏5.0級地震所釋放的能量的倍數(shù)是()A.lg4.5倍 B.4.510倍C.450倍 D.104.5倍答案D解析設(shè)里氏8.0級和里氏5.0級地震所釋放的能量分別為E1和E2,則lgE1=4.8+1.5×8,lgE2=4.8+1.5×5,所以lgE1E2=lgE1-lgE2=則E1E2=104.5,即E1=104.5E2.5.(2021福建泉州高一期末)已知火箭的最大速度v(單位:km/s)和燃料質(zhì)量M(單位:kg)、火箭質(zhì)量m(單位:kg)的關(guān)系是v=2000ln1+Mm.若火箭的最大速度為9240km/s,則Mm≈()(參考數(shù)值:e4.62≈101)A.1100 B.C.10 D.100答案D解析由題意,火箭的最大速度v和燃料質(zhì)量M、火箭質(zhì)量m的關(guān)系是v=2000ln1+Mm,可得v=2000ln1+Mm=9240,即ln1+Mm=92402000=4.62,所以1+Mm=e4.62≈101,可得Mm=1006.已知某個病毒經(jīng)30min可繁殖為原來的2倍,且病毒的繁殖規(guī)律為y=ekt(其中k為常數(shù),t表示時間,單位:h,y表示病毒個數(shù)),則k=,經(jīng)過5h,1個病毒能繁殖個.

答案2ln21024解析當(dāng)t=0.5時,y=2,∴2=e12k,∴k=∴y=e2tln2.當(dāng)t=5時,y=e10ln2=210=1024.7.一個駕駛員喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少,為了保障交通安全,根據(jù)有關(guān)規(guī)定:駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.2mg/mL,那么這個駕駛員至少要經(jīng)過h才能開車(結(jié)果精確到1h,參考數(shù)據(jù)lg2≈0.30,lg3≈0.48).

答案2解析設(shè)經(jīng)過nh后才能開車,此時酒精含量為0.3(1-25%)n.根據(jù)題意,有0.3(1-25%)n≤0.2,則有nlg34=n(lg3-2lg2)≤lg23=lg2-lg將已知數(shù)據(jù)代入,得n(0.48-0.60)≤0.30-0.48,∴n≥32,故至少要經(jīng)過2h才能開車8.有關(guān)數(shù)據(jù)顯示,中國快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾在2015年約為400萬噸,2016年的年增長率為50%,有專家預(yù)測,如果不采取措施,未來包裝垃圾還將以此增長率增長,從哪年開始,快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾會超過4000萬噸.(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)解設(shè)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾為y萬噸,n表示從2015年開始增加的年份的數(shù)量,由題意可得y=400×(1+50%)n=400×32n,n∈N*,當(dāng)y=4000時,有32n=10,兩邊取對數(shù)可得n(lg3-lg2)=1,∴n(0.4771-0.3010)=1,0.1761n=1,解得n≈6,∴從2015+6=2021年開始,快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾會超過4000萬噸.等級考提升練9.(2021廣西河池高一期末)某化工原料廠原來月產(chǎn)量為100噸,月份增產(chǎn)20%,二月份比一月份減產(chǎn)10%,則二月份產(chǎn)量為()A.106噸 B.108噸 C.110噸 D.112噸答案B解析因為化工原料廠原來月產(chǎn)量為100噸,月份增產(chǎn)20%,所以一月份的產(chǎn)量為100×(1+20%)=120(噸).又因為二月份比一月份減產(chǎn)10%,所以二月份的產(chǎn)量為120×(1-10%)=108(噸).故選B.10.(2021福建福州高一期末)已知比較適合生活的安靜環(huán)境的聲強級L(噪音級)為30~40分貝(符號:dB),聲強I(單位:W/m2)與聲強級L(單位:dB)的函數(shù)關(guān)系式為I=b·10aL(a,b為常數(shù)).某型號高鐵行駛在無村莊區(qū)域的聲強為10-5.2W/m2,聲強級為68dB,駛進市區(qū)附近降低速度后的聲強為10-6.5W/m2,聲強級為55dB,若要使該高鐵駛?cè)胧袇^(qū)時的聲強級達到安靜環(huán)境要求,則聲強的最大值為()A.10-9W/m2 B.10-8W/m2C.10-7W/m2 D.10-6W/m2答案B解析由題意可知1解得a=0.1,b=10-12,所以I=10-12×100.1L=100.1L-12,所以當(dāng)L取最大值40時,I取得最大值100.1×40-12=10-8(W/m2),故選B.11.(多選題)(2021江蘇連云港高二期末)已知2000年底,人類知識總量為a,假如從2000年底到2009年底是每三年翻一番,從2009年底到2019年底是每一年翻一番,2020年(按365天計算)是每73天翻一番,則下列說法正確的是()A.2006年底人類知識總量是2aB.2009年底人類知識總量是8aC.2019年底人類知識總量是213aD.2020年底人類知識總量是218a答案BCD解析2006年底人類知識總量為a×2×2=4a,故A錯誤;2009年底人類知識總量為a×2×2×2=8a,故B正確;2019年底人類知識總量為8a×210=213a,故C正確;2020年底人類知識總量為213a×25=218a,故D正確.故選BCD.12.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下,測得空氣中一氧化碳的含量達到了危險狀態(tài),經(jīng)搶修后恢復(fù)正常.排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)一氧化碳濃度為64ppm(ppm為濃度單位,1ppm表示百萬分之一),經(jīng)檢驗知,該地下車庫一氧化碳濃度y(單位:ppm)與排氣時間t(單位:分鐘)之間存在函數(shù)關(guān)系y=27-mt(m為常數(shù)),則m=;若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常,那么至少需要排氣分鐘才能使這個地下車庫中一氧化碳含量達到正常狀態(tài).

答案14解析∵函數(shù)y=27-mt(m為常數(shù))經(jīng)過點(4,64),∴64=27-4m,解得m=14.故y=2由27-14t≤故至少排氣32分鐘,這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達到正常狀態(tài).13.某地區(qū)發(fā)生里氏8.0級特大地震.地震專家對發(fā)生的余震進行了監(jiān)測,記錄的部分數(shù)據(jù)如下表:強度/J1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級/里氏5.05.25.35.4注:地震強度是指地震時釋放的能量.地震強度x和震級y的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y=algx+b(其中a,b為常數(shù)).利用散點圖可知a的值等于.(取lg2≈0.3進行計算)

答案2解析由記錄的部分數(shù)據(jù)可知x=1.6×1019時,y=5.0,x=3.2×1019時,y=5.2.所以5②-①,得0.2=alg3.2×10191.所以a=0.14.如圖,是某受污染的湖泊在自然凈化過程中,某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時間t(單位:月)的近似函數(shù)關(guān)系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下敘述:①第4個月時,剩留量會低于15;②每月減少的有害物質(zhì)量都相等;③若剩留量為12,14,18所經(jīng)過的時間分別是t1,t2,t3其中所有正確的敘述是.(填序號)

答案①③解析由圖象可得,當(dāng)t=2時,y=49,即a2=4解得a=23.故y=2所以當(dāng)t=4時,有害物質(zhì)的剩余量為y=234=1681第一個月的減少量為1-23第二個月的減少量為23?232=2③由已知23t1=12,23t2=14,2315.(2021福建寧德高一期末)為了給廣大市民提供優(yōu)質(zhì)的飲用水,某礦泉水廠特別重視生產(chǎn)過程的除雜質(zhì)工序,過濾前水含有雜質(zhì)a%(其中a為常數(shù)),每經(jīng)過一次過濾