專題三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（2024廣東深圳中學(xué)模擬，3）曲線在點處切線的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1答案C解析y,=x+12.（2024河北邯鄲調(diào)研，4）設(shè)函數(shù)的圖像與軸相交于點，則該曲線在點處的切線方程為（）A.B.C.D.【答案】C【分析】令可計算出切點坐標(biāo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率，即可得解.【詳解】令，即，即，解得，故，，則，則其切線方程為：，即.故選：C.3.（2024福建福州一中模擬，5）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則曲線在處的切線方程為（）A.B.C.D.【答案】A【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)時函數(shù)的解析式，然后求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時，，函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，即曲線在處切線的斜率為-5.而，所以曲線在處的切線方程為：.所求即為.故選A.4.（2024廣東廣州執(zhí)信中學(xué)檢測，6）已知直線與函數(shù)，的圖象分別相交于，兩點.設(shè)為曲線在點處切線的斜率，為曲線在點處切線的斜率，則的最大值為（）A.B.1C.D.【答案】A【分析】根據(jù)題意分別求得，，即，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值，從而求解.【詳解】，且由，，可得，，則.設(shè)，，則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，有極大值也是最大值，即的最大值為，故A正確.故選：A.5.（2024重慶巴蜀中學(xué)月考，7）已知函數(shù)的圖象與x軸無公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．答案B令，則，當(dāng)時，與x軸有公共點，故時不成立；當(dāng)時，，又，故與x軸有公共點，故時不成立；當(dāng)時，，因為與x軸沒有公共點，故時，恒成立，即恒成立，令，，時，，時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，故選B．6.（2024湖北華師大一附中、湖南師大附中等三校二模，8）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根據(jù)指對混合型不等式，利用指對運(yùn)算將不等式轉(zhuǎn)化成，根據(jù)結(jié)構(gòu)相同設(shè)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性及取值情況，將問題轉(zhuǎn)化為，令，求導(dǎo)確定最值即可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】依題意得，，故，令，則，令可得，所以時，，則在上單調(diào)遞減，時，，則在上單調(diào)遞增；且當(dāng)時，，當(dāng)時，；則由，得，則令，則，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故，則，則實數(shù)的取值范圍為.故選：D．7.（2024福建南平預(yù)測模擬，8）設(shè)，則（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特征可通過和比較c和b的大小，再通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性可求解判斷a和c，進(jìn)而得解.【詳解】設(shè)函數(shù)，又，所以當(dāng)時，0，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，0恒成立，即，所以當(dāng)時，，即，所以，所以．即；設(shè)，而，設(shè)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時，，即當(dāng)時單調(diào)遞增，所以，故當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，即，所以，即，即．綜上，，故選B．8.（2024黑龍江哈爾濱六中四模，8）設(shè)，則大小關(guān)系（）A.B.C.D.【答案】B【分析】通過證明確定的大小關(guān)系；通過證明確定的大小關(guān)系.【詳解】令，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，，，所以.令，，令，，，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，，所以存在唯一，使得，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為中一個，而，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，，所以，即.所以.故選：B.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.（2024江蘇蘇州三模，10）定義表示中的最小者，設(shè)函數(shù)，則（）A.有且僅有一個極小值點為B.有且僅有一個極大值點為3CD.恒成立【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的新定義得到分段函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象和選項，逐項判定，即可求解．【詳解】由題意，函數(shù)作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象知，有且僅有一個極小值點為，所以A正確；函數(shù)有兩個極大值點1和3，所以B錯誤；令，可得或或，解得或，即當(dāng)時，，所以C正確；由圖象知，當(dāng)時，函數(shù)的最大值，所以存在實數(shù)，使得恒成立，所以D正確.故選：ACD．10.（2024重慶檢測，11）若函數(shù)既有極小值又有極大值，則（

）A.B.C.D.【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，求得，轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同的實數(shù)根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因為既有極小值又有極大值，可得方程在上有兩個不同的實數(shù)根，則滿足，可得，所以，，，例如：時，滿足上式，此時不成立．故選：ABC.11.（2024河北石家莊適應(yīng)性考試，11）已知，.若存在，，使得成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在處的切線與函數(shù)在處的切線重合B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，D．若恒成立，則答案ABC【分析】求出在切點處的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)值，即可得切線方程，可判斷A；對變形為，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，由單調(diào)性可得，然后可判斷B；利用B中結(jié)論，結(jié)合的最值可判斷C；令，利用導(dǎo)數(shù)求最小值，由可判斷D.【詳解】選項A，由，得，又驗證知，切線方程都為，故A正確；選項B，，則，且，由，得，當(dāng)時，，則在上遞增，所以當(dāng)時，有唯一解，故，，故B正確；選項C，由B正確，得，設(shè)，則，令，解得，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故C正確；選項D，由恒成立，即恒成立，令，則，由在上遞增，又，存在，使，在上遞減，在上遞增（其中滿足，即）．，要使恒成立，，存在滿足題意，故D錯誤．故選：ABC．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．12.（2024安徽皖江名校聯(lián)盟模擬，14）已知函數(shù)，當(dāng)時的最大值與最小值的和為________．【答案】【分析】求導(dǎo)，可得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解極值點以及端點處的函數(shù)值，即可求解最值.【詳解】，當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減；，，，故最大值與最小值的和為：．13.（2024山東省實驗中學(xué)模擬，13）已知A，B分別為直線和曲線上的點，則的最小值為______．【答案】【分析】由題意的最小值為到直線上距離的最小值，再設(shè)，則當(dāng)處的切線與平行時取得最小值.【詳解】由題意的最小值為曲線上點到直線距離的最小值，設(shè)，則為增函數(shù)，令則，故當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.故，即在曲線下方.則當(dāng)處的切線與平行時取得最小值.設(shè)，對求導(dǎo)有，由可得.故當(dāng)時取最小值.故答案為：14.（2024廣東省實驗中學(xué)模擬，14）已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)fx=2ax?ex答案1,【詳解】因為fx所以f′依題意f′x至少要有兩個變號零點x1令?x=f①若0<a<1，則?′x在R上單調(diào)遞減，此時若則當(dāng)x<x0時?′x>0所以f′x在?∞此時若有x=x1和x=x2分別是函數(shù)fx=2a②若a>1，則?′x在R上單調(diào)遞增，此時若則當(dāng)x<x0時?′x<0所以f′x在?∞令?′x0此時若有x=x1和x=x2分別是函數(shù)fx=2ax?即f′x0=2a故x0lna=lna即lna<1，所以1<a<e，即故答案為：1,四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（2024廣西名校聯(lián)考，15）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若對任意，求的取值范圍.解：（1），得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值.（2）對任意，即，設(shè)，①當(dāng)a≤0時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，成立；②當(dāng)0＜a≤1時，令單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，成立；③當(dāng)時，當(dāng)時，単調(diào)遞減，單調(diào)遌減，，不成立.綜上可知a≤1.16.（2024黑龍江部分學(xué)校三模，15）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若恰有三個零點，求a取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，函數(shù)，可得，所以，且，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）因為，可得是的一個零點，因為恰有三個零點，所以方程有兩個不為2實數(shù)根，即方程有兩個不為2實數(shù)根，令，所以，令，可得，令，可得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，也是最大值，且當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，的值域為；當(dāng)時，的值域為，所以，且，所以且．所以a的取值范圍是．【方法點睛】已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1.直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍；2.分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3.數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.17.（2024江蘇蘇州三模，16）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）要證明，只要證即可，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得最值即可證明．【解析】（1）函數(shù)的定義域為，且．當(dāng)時，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時，因為，所以要證，只要證明即可，即要證，等價于（*）．令，則，在區(qū)間上，單調(diào)遞減；在區(qū)間上，單調(diào)遞增，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以（*）成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．又在上單調(diào)遞增，，所以存在，使得成立．綜上所述，原不等式成立．18.（2024安徽六安一中適應(yīng)性考試，）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax，，a≠0．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若a＞0且f（x）≤g（x）恒成立，求a的最小值.【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決．【解答】（1）由題意可得f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）＝﹣a＝，當(dāng)a＜0時，由于x＞0，從而f（x）在（5；當(dāng)a＞0時，令f'（x）＞0，令f'（x）＜0，從而f（x）在（0，）上遞增，+∞）遞減；（2）令，要使f（x）≤g（x）恒成立，只需h（x）≤0恒成立，則h（x）max≤8即可，h'（x）＝﹣a﹣＝＝，令h'（x）＝0，解得x＝（舍），∴h（x）在（0，）上單調(diào)遞增，+∞）上單調(diào)遞減，所以hmax（x）＝h（）＝ln，解得：，所以a的最小值為．19.（2024河北石家莊質(zhì)量檢測，17）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若函數(shù)，求函數(shù)極值點的個