數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分別求出集合、，從而得到.【詳解】解不等式得，所以，由得故選：A2.已知為虛數單位，復數滿足，則的虛部為（

）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設復數，根據題意，列出方程求得，進而求得復數的虛部，得到答案.【詳解】設復數，因為，可得，可得，解得，所以復數的虛部為.故選：B.3.若，則（

）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據兩角差的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式化簡求得答案.【詳解】由，得，.故選：B.4已知向量，，滿足，則（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據已知條件可得向量的夾角為，，再利用數量積運算可得解.【詳解】由，可得向量的夾角為，，.故選：C.5.如圖，是平面內一定點，是平面外一定點，且，直線與平面所成角為，設平面內動點到點的距離相等，則線段的長度的最小值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據題意，得到動點的軌跡是線段的中垂面與平面的交線，取的中點，結合，即可求解.【詳解】如圖所示，因為點到點的距離相等，可得動點的軌跡是線段的中垂面與平面的交線，又因為，直線與平面所成角為，取的中點，可得，則線段的最小值為.故選：A.6.的展開式中的系數是，則實數的值為（

）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】借助二項式的展開式的通項公式計算即可得.【詳解】對，有，故的展開式中的系數為：，即.故選：D.7.平面直角坐標系xOy中，已知點，其中，若圓上存在點P滿足，則實數a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設，可得點在圓上，又點P在圓上，故兩圓相交，結合兩圓相交定義計算即可得.【詳解】設，，則，即，即點亦在圓上，圓心為，半徑，又點P在圓上，圓心為，半徑，故兩圓相交，即有，整理可得且，解得.故選：D.8.若對于任意正數，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】對不等式分離參數得到，令，構造函數，，則，通過導數研究單調性求出最大值即可.【詳解】由不等式恒成立，且，分離參數得，所以，即，設，得，，設，，則.，由得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以.所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若，則下列說法正確的有（

）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據題意，得到期望為，方差為，結合正態(tài)分布曲線的對稱性，逐項判定，即可求解.【詳解】由，可得期望為，方差為，對于A中，根據正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，所以A正確；對于B中，因，即，所以B不正確；對于C中，根據正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，所以C正確；對于D中，由正態(tài)分布曲線的性質，可得，且，可得，所以D正確.故選：ACD.10.如圖所示的數陣的特點是：每行每列都成等差數列，該數列一共有n行n列，表示第i行第j列的數，比如，，則（）234567……35791113……4710131619……5913172125……61116212631……71319253137…………A.B.數字65在這個數陣中出現的次數為8次C.D.這個數陣中個數的和【答案】AC【解析】【分析】選項AC可由等差數列的基本量法確定；選項B把65代入通項，求出共有7種組合可得B錯誤；選項D代入特殊值檢驗可判斷為錯誤.【詳解】對于A，C選項：第i行是以為首項，以為公差的等差數列，，所以，故A，C正確；對于B選項：故共出現7次，故B錯誤；對于D選項，令時，，而數陣中無1，故D錯誤；故選：AC.11.用平面截圓柱面，圓柱的軸與平面所成角記為，當為銳角時，圓柱面的截線是一個橢圓．著名數學家創(chuàng)立的雙球實驗證明了上述結論．如圖所示，將兩個大小相同的球嵌入圓柱內，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切．下列結論中正確的有（）A.橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等B.橢圓的長軸長與嵌入圓柱的兩球的球心距相等C.所得橢圓的離心率D.其中為橢圓長軸，為球半徑，有【答案】ABC【解析】【分析】過點作線段，分別與球、切于點、，結合球的切線的性質與橢圓定義即可得A、B，借助離心率的定義可得C，借助正切函數的定義可得D.【詳解】對A，B：過點作線段，分別與球、切于點、，由圖可知，、分別與球、切于點、，故有，由橢圓定義可知，該橢圓以、為焦點，為長軸長，故B正確，由與球切于點，故，有，即有橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等，故A正確；對C:由題意可得，則，故C正確；對D：由題意可得，，故，即，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于作出線段，從而可結合球的切線的性質與橢圓定義逐項判斷.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數，則關于x的不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】根據分段函數的性質及對數函數的單調性解不等式可得結果.【詳解】當時，得，當時，，得，所以，綜上：的解集為，故答案為：.13.在矩形中，，，分別是的中點，將四邊形沿折起使得二面角的大小為90°，則三棱錐的外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】將三棱錐補形成長方體，將問題轉化成求長方體的外接球，再利用長方體外接球直徑即長方體體對角線長，即可求出結果.【詳解】由題意，可將三棱錐補形成長方體，則長方體的外接球也即三棱錐的外接球，設長方體外接球半徑為R，則，得到，所以，故答案為：.14.已知在數列中，，數列的前和為，為等差數列，，則__________．【答案】【解析】【分析】由已知可得數列為等差數列，根據，可得，結合，求得，得解.【詳解】為等差數列，所以設，為常數，，，當時，，，則（常數）.數列為等差數列，，，所以，即，即，則，，，，經檢驗可得，則，，，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在平面四邊形中，，，．（1）求的值；（2）若，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據條件，利用余弦定理，即可求出結果；（2）根據（1）中結果及條件，求得，，再利用正弦定理即可求出結果.【小問1詳解】在中，由余弦定理可得：，又，，，所以.【小問2詳解】由（1）知，所以，又，所以，所以，又，所以，在中，由正弦定理可得：，得到，所以.16.如圖所示，平面平面，且四邊形是矩形，在四邊形中，，，（1）若，求證：平面；（2）若直線與平面所成角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由幾何關系證明四邊形是等腰梯形，再由長度關系得到四邊形是平行四邊形，最后利用線面平行的判定定理證明即可；（2）建系，利用線面角求出點坐標，再分別求出平面的法向量和平面的法向量，代入二面角的向量公式即可求解.【小問1詳解】證明：連接與交于點，連接，，，，，即

，又，則，，，所以四邊形是等腰梯形，且，，所以四邊形是平行四邊形，又面，面，所以平面.【小問2詳解】因為平面平面，且四邊形是矩形，為兩平面的交線，，所以平面，建立如圖所示空間直角坐標系，由與平面所成角為，易知面可得，所以，因為為等腰三角形，且，所以點的橫坐標長度為，縱坐標長度為，，則，

，

，，設平面的法向量為，則，取，，設平面的法向量為，則，取，，，即平面與平面所成銳二面角的余弦值.17.2023年12月30號，長征二號丙/遠征一號S運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火起飛，隨后成功將衛(wèi)星互聯(lián)網技術實驗衛(wèi)星送入預定軌道，發(fā)射任務獲得圓滿完成，此次任務是長征系列運載火箭的第505次飛行，也代表著中國航天2023年完美收官．某市一調研機構為了了解當地學生對我國航天事業(yè)發(fā)展的關注度，隨機的從本市大學生和高中生中抽取一個容量為n的樣本進行調查，調查結果如下表：學生群體關注度合計關注不關注大學生高中生合計附：，其中．（1）完成上述列聯(lián)表，依據小概率值的獨立性檢驗，認為關注航天事業(yè)發(fā)展與學生群體有關，求樣本容量n的最小值；（2）該市為了提高本市學生對航天事業(yè)的關注，舉辦了一次航天知識闖關比賽，包含三個問題，有兩種答題方案選擇：方案一：回答三個問題，至少答出兩個可以晉級；方案二：在三個問題中，隨機選擇兩個問題，都答對可以晉級．已知小華同學答出三個問題的概率分別是，，，小華回答三個問題正確與否相互獨立，則小華應該選擇哪種方案晉級的可能性更大？（說明理由）【答案】（1）（2）選擇方案一，理由見解析【解析】【分析】（1）先補全列聯(lián)表，求得關于的表達式，再利用獨立性檢驗得到關于的不等式，解之即可得解；（2）利用獨立事件的概率公式分別求得方案一與方案二中小化晉級的概率，再比較即可得解.【小問1詳解】學生群體關注度合計關注不關注大學生高中生合計零假設為：關注航天事業(yè)發(fā)展與學生群體無關，根據列聯(lián)表中的數據，經計算得到，因為依據小概率值的獨立性檢驗，認為關注航天事業(yè)發(fā)展與學生群體有關，所以，由題可知，n是10的倍數，【小問2詳解】記小華同學答出三個問題的事件分別A，B，C，則，，，記選擇方案一通過的概率為，則；記選擇方案二通過概率為，則；，小華應該選擇方案一.18.已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左頂點和上頂點，為左焦點，且的面積為．（1）求橢圓的標準方程：（2）設橢圓的右頂點為、是橢圓上不與頂點重合的動點．（i）若點，點在橢圓上且位于軸下方，直線交軸于點，設和的面積分別為，若，求點的坐標：（ii）若直線與直線交于點，直線交軸于點，求證：為定值，并求出此定值（其中、分別為直線和直線的斜率）．【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析，【解析】【分析】（1）依題意可得，解得、、，即可得解；（2）（i）連接，由面積公式推導出，從而得到，即可求出的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出點坐標；（ii）設直線的斜率為，的方程為，再求出直線的方程，聯(lián)立求出、點坐標，從而求出的方程，即可求出點坐標，再由斜率公式計算可得.【小問1詳解】由題意得，又，解得，橢圓的標準方程為【小問2詳解】（i）由（1）可得，連接，因為，，所以，，，所以，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得或（舍去），.（ii）設直線的斜率為，則直線的方程為：，又，，直線的方程為，由，解得，所以，由，得，由，則，所以，則，，依題意、不重合，所以，即，所以，直線的方程為，令即，解得，，，為定值.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.19.我們知道通過牛頓萊布尼茲公式，可以求曲線梯形（如圖1所示陰影部分）的面積，其中，．如果平面圖形由兩條曲線圍成（如圖2所示陰影部分），曲線可以表示為，曲線可以表示為，那么陰影區(qū)域的面積，其中．（1）如圖，連續(xù)函數在區(qū)間與的圖形分別為直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間與的圖形分別為直徑為2的下、上半圓周，設．求的值；（2）在曲線上某一個點處作切線，便之與曲線和x軸所圍成的面積為，求切線方程；（3）正項數列是以公差為d（d為常數，）的等差數列，，兩條拋物線，記它們交點的橫坐標的絕對值為，兩條拋物線