高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省淄博市六校2025-2026學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題一.單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在空間直角坐標系中，點關(guān)于xOz平面的對稱點坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】點關(guān)于xOz平面的對稱點坐標為.故選：B.2.已知焦點在軸上的橢圓，其焦距為，則的值等于（）A.4 B.7 C.9 D.12【答案】B【解析】由題知，又橢圓的焦點在軸上，所以，解得，故選：B.3.在斜三棱柱中，M為的中點，N為靠近的三等分點，設(shè)則用表示為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】易知.故選：C.4.不透明口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次性任意取出2張卡片，則下列事件，與事件“2張卡片都為藍色”互斥而不對立的個數(shù)為（）①2張卡片都不是藍色；②2張卡片恰有1張是藍色；③2張卡片至少有1張是藍色；④2張卡片至多一張為藍色.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】一次性任意取出2張卡片,則這兩張卡片的顏色為（紅色，綠色），（綠色，藍色），（紅色，藍色），（紅色，紅色），（綠色，綠色），（藍色，藍色）這六種情況，設(shè)（紅色，綠色），（綠色，藍色），（紅色，藍色），（紅色，紅色），（綠色，綠色），（藍色，藍色）.設(shè)事件“2張卡片都為藍色”為，①設(shè)2張卡片都不是藍色為事件，則（紅色，綠色），（紅色，紅色），（綠色，綠色），則，，和是互斥不對立事件，故①正確；②設(shè)2張卡片恰有1張是藍色為事件，則（綠色，藍色），（紅色，藍色），則，，和是互斥不對立事件，故②正確；③設(shè)2張卡片至少有1張是藍色為事件，則（綠色，藍色），（紅色，藍色），（藍色，藍色），則，，得到和是不互斥不對立事件，故③不正確；④設(shè)2張卡片至多一張為藍色為事件，則（紅色，綠色），（綠色，藍色），（紅色，藍色），（紅色，紅色），（綠色，綠色），則，，得到和是對立事件，故④不正確.故選：B.5.若圓上到直線的距離為1的點有且僅有4個，則r的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，即設(shè)與直線平行且距離為1的直線方程為，所以，解得或，所以兩條平行線的方程為，，圓心到的距離為，圓心到的距離為，由題意得圓與，均相交，則，，即且，所以.故選：.6.已知隨機事件A、B發(fā)生的概率分別為，則下列說法不正確的是（）A.若A與B互斥，則 B.若A與B相互獨立，則C.若，則事件與B相互獨立 D.若，則【答案】D【解析】對于A，若與互斥，則，故A正確；對于B，若與相互獨立，則，所以，，故B正確；對于C，若，且，所以，事件與相互獨立，故C正確；對于D，若，則，所以，故D錯誤.故選：D.7.自點發(fā)出的光線l經(jīng)過x軸反射，其反射光線所在直線與圓相切，則滿足條件的反射光線所在直線的斜率之和為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】易知，圓心，半徑，設(shè)關(guān)于x軸的對稱點為，則反射光線所在直線過點，不妨設(shè)其方程為，則M到該直線距離為，化簡得，，則該方程有兩個不同解，.故選：A.8.已知橢圓的兩個焦點為，，過作直線交橢圓于，，若，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】連接，設(shè)，，則，因為，所以，在中，，所以，化簡得，則，，在中，，所以，即，所以離心率.故選：D.二.多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選對但選不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.直線l的一個方向向量為，則直線l的斜率等于B.“或0”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C.當點到直線的距離最大時，m的值為D.已知直線l過定點且與以為端點的線段有交點，則直線l的斜率k的取值范圍是【答案】BCD【解析】對于A，若，則其方向向量為，而是l的方向向量，所以直線l的斜率等于，故A錯誤；對于B，兩直線垂直的充要條件為，即或0，故B正確；對于C，易知，則直線過定點，則當且僅當時，P到l的距離最大，即，故C正確；對于D，易知，如下圖所示可知，要符合題意需，故D正確.故選：BCD.10.已知橢圓的左、右焦點分別是，，點是上一點，是等腰三角形，則的面積可能是（）A. B. C.7 D.【答案】AD【解析】設(shè)為坐標原點，則，，當時，，，所以的面積為；當時，，所以的面積為.同理，當時，的面積為.故選：AD.11.如圖，已知正方體棱長為2，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，而G是線段B?C?(可與端點重合)上的動點，以下說法正確的是（）A.EF//平面BB?D?B.當G是B?C?的中點時，A?C⊥平面EFGC.當G是B?C?的中點時，點C到平面EFG的距離為D.當點G與點B?重合時，直線EG與平面ACD?所成角最大【答案】ABD【解析】對于A,連接因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，可得,又平面平面則又平面故A正確；對于B,以為坐標原點，以為軸，建立空間直角坐標系，因為正方體的棱長為，可得：,則設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以，所以，可得，所以平面,故B正確；對于,由,平面的法向量為，可得點到平面的距離故C錯誤；對于D,設(shè)可得,又由,設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以，，,所以,設(shè)線EG與平面ACD?所成角為，則，法1：設(shè)，則，要求的最大值，不妨設(shè)，因為在上為減函數(shù)，且恒成立，在上為減函數(shù)，且，故在上為減函數(shù)，故即即點G與點B?重合時，直線EG與平面ACD?所成角最大，法2：設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，取得最大值，即時，取得最大值，即點G與點B?重合時，直線EG與平面ACD?所成角最大，故D正確，故選：三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線l過點，且其橫截距為縱截距的3倍，則l的方程為_________.【答案】或【解析】當截距為0時，設(shè)直線為，則，即，此時，當截距不為0時，設(shè)直線為，則，此時，綜上，直線為或.故答案為：或13.直線（，）截圓的弦長為，則的最小值為_________.【答案】9【解析】由題意圓的標準方程是，圓的圓心為，半徑為，弦長為，則弦為直徑，已知直線過圓心，所以，即，，當且僅當即時等號成立．故答案為：9．14.在三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，，且，則直線到平面ABC的距離的最大值為__________.【答案】【解析】取BC的中點O，連接OA，以O(shè)為原點，以O(shè)A，OB所在直線分別為x軸，y軸，垂直于平面ABC且過點O的直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，設(shè)，由得，，則，，因為，所，所以①，又，，則②，聯(lián)立①②，得，則，，則點到平面ABC的距離為，故直線到平面ABC的距離的最大值為.故答案為：.四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.15.2025年8月21日，DeepSeek在官方公眾號發(fā)文稱，正式發(fā)布DeepSeek－V3.1模型，此次升級也標志著國產(chǎn)大模型在技術(shù)迭代與商業(yè)化探索中又邁出了關(guān)鍵一步．為強化相關(guān)技術(shù)的落實應(yīng)用能力，某公司特針對A，B兩部門開展專項技能培訓．（1）已知該公司A，B兩部門分別有3位領(lǐng)導，此次培訓需要從這6位領(lǐng)導中隨機選取2位分別負責第一天和第二天的工作，假設(shè)每人被抽到的可能性都相同，求這兩天的工作由A，B兩部門的領(lǐng)導分別負責一天的概率；（2）此次培訓分三輪進行，員工甲第一輪至第三輪培訓達到“優(yōu)秀”的概率分別為，每輪的培訓結(jié)果均相互獨立，至少兩輪培訓達到“優(yōu)秀”才算合格，求甲培訓合格的概率．解：（1）記部門的3名領(lǐng)導為，部門的3名領(lǐng)導為，從這6位領(lǐng)導中隨機選取2位分別負責第一天和第二天的工作，不同結(jié)果有：，共30種，這兩天的工作由A，B兩部門的領(lǐng)導分別負責一天，不同結(jié)果有：共18種，所以這兩天的工作由A，B兩部門的領(lǐng)導分別負責一天的概率為.（2）記“每位員工經(jīng)過培訓合格”，“每位員工第輪培訓達到優(yōu)秀”（），則，，依題意，，所以每位員工經(jīng)過培訓合格的概率為.16.如圖，⊥平面，，.（1）求證:平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若二面角的余弦值為求線段的長.（1）證明：依題意，可以建立以A為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標系(如圖)，可得.設(shè)，則.依題意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因為直線平面，所以平面.（2）解：依題意，，設(shè)為平面BDE的法向量，則，即，不妨令，可得，因此有.所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）解：設(shè)為平面BDF的法向量，則，即.不妨令，可得.由題意，有，解得.經(jīng)檢驗，符合題意，所以，線段的長為.17.已知點，動點P滿足，點T為線段AP的中點．（1）求點T的軌跡C的方程；（2）過點作直線l與曲線C交于兩點M，N，設(shè)直線BM，BN的斜率分別為，求．解：（1）設(shè)，由可得，又可得，即，化簡可得.（2）當直線的斜率不存在時不滿足題意，設(shè)直線的方程為，即，.聯(lián)立可得，化簡得，則，.由，解得.又.即.18.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點，點在上，且．（1）求證：平面；（2）判斷直線是否在平面，說明理由；（3）是線段上的動點，是否存在點G使得AE與平面AFG所成夾角的正弦值為，請說明理由.（1）證明：平面，，，，，平面，平面，平面．（2）解：以為原點，在平面內(nèi)過作的平行線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，，，，，.直線在平面內(nèi)，理由如下：點在上，且，面的一個法向量為，則，取，得，平面的一個法向量為，，故直線在平面內(nèi)．（3）解：點在上，設(shè)，，面的一個法向量為，則，取，得，要使得AE與平面AFG所成夾角的正弦值為，則，解得，滿足條件.所以，存在點G，為線段BP的靠近點P的三分點.19.已知橢圓I的長軸長為4，左，右焦點分別為，，直線與橢圓Γ交于M、N兩點，(點M在點N的上方)，與y軸交于點E.（1）求橢圓Γ的離心率；（2）若直線l過點時，設(shè)求證：為定值，并求出該值；（