行知中學2025-2026學年第一學期高三年級數(shù)學月考一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．若（其中表示虛數(shù)單位），則.

2．若正四棱柱的底面周長為4、高為2，則該正四棱柱的體積為．

3．設，函數(shù)的導函數(shù)為，則．

4．已知集合，則．

5．不等式的解集是．

6．在展開式中，含有項的系數(shù)為．（結(jié)果用數(shù)值表示）

7．朱老師在進行高三專題復習時，對高中階段常見的＂角＂進行了簡要梳理：①兩條異面直線所成的角；②直線與平面所成的角；③二面角；④直線的傾斜角；⑤兩個非零向量的夾角；⑥兩條直線的夾角．則上述各種＂角＂的取值范圍是的有（請?zhí)顚懶蛱枺?/p>

8．行知中學毛老師對高三年級數(shù)學＂智力大沖浪＂很有興趣，現(xiàn)做了5套試卷，其分數(shù)分別為（單位：分）．若該樣本的中位數(shù)和平均數(shù)均為124，則此樣本的標準差為（用數(shù)字作答）．

9．設數(shù)列的前項和為，若，則的通項公式為.

10．如圖，行知中學＂致理書院＂放置著一塊高為3米的大屏幕滾動播放各項體育賽事，大屏幕下竭離地面高度3.5米，若某位同學的眼睛離地面高度1.5米，則為了獲得最佳視野（最佳視野指看到大屏茶的上下夾角最大），該同學應在距離大屏幕所在的平面米處觀看？（精確到0.1米）．

11．定義域為集合上的函數(shù)滿足：①；②；③成等比數(shù)列；則這樣的不同函數(shù)的個數(shù)為.12．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，若是平面內(nèi)三個不同的單位向量，且滿足，則的量小值與量大值之差為．

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，題每題4分，題每題5分）

13．若，則下列不等式成立的是（）.

A． B． C． D．

14．已知直線和平面，下列命題中的真命題是（）.

A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則

15．從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）.

A．恰好有一個白球與都是紅球B．至多有一個白球與都是紅球C．至多有一個白球與都是白球D．至多有一個白球與至多一個紅球

16．已知，有下列四個結(jié)論：①存在在第一象限，在第一象；②為第一象限角時，則一定是第二或第四象限角；

③存在在第三象限，在第四象限；④當為第二象限角時，則一定是第一或第三象限角．則上述結(jié)論正確的個數(shù)是（）.

A．1個B．2個C．3個D．4個三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）

已知，函數(shù)．

（1）當時，求的值域；

（2）已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，求的面積的最大值．

18．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）

已知，函數(shù)

（1）若，求函數(shù)的表達式及定義域；

（2）若關(guān)于的方程。。的解集中恰好只有一個元素，求實數(shù)的取值范圍．

19．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）

如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是邊長為2的正方形．

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值．20．（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）

數(shù)學家阿基米德利用＂逼近法＂得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．在平面直角坐標系中，橢圓的面積等于，且橢圓的焦距為．點分別為軸、軸上的定點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）點為橢圓上的動點，求三角形面積的最小值，并求此時點坐標；

（3）直線與橢圓交于不同的兩點，已知關(guān)于軸的對稱點為點關(guān)于原點的對稱點為，已知三點共線，試探標直線是否過定點．若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．

21．（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）

已知是定義在上的函數(shù)，集合對任意，都有．當時，若函數(shù)存在最小值，則稱為直線的＂－距離＂.

（1）若，請判斷和是否是集合中的元素，并說明理由；

（2）設，且存在實數(shù)，使得直線的＂－距離＂不小于1，求的取值范國；

（3）設的導函數(shù)在上嚴格增．若對任意，都有且直線與的＂距離＂相等．證明：是偶函數(shù)．

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.③⑤;8.;9.;10.；11.12.二、選擇題13.C14.C15.A16.B15．從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）.

A．恰好有一個白球與都是紅球B．至多有一個白球與都是紅球C．至多有一個白球與都是白球D．至多有一個白球與至多一個紅球【答案】A【解析】從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，表示的事件分別為（紅，白），（紅，紅），（白，白）三種情況，故選項互斥不對立，正確，

選項：至多有一個白球表示的是（紅，白），（紅，紅），與都是紅球不互斥，故B誤，

選項：由選項的分析可知互斥且對立，故C錯，

選項：至多有一個紅球表示的是（紅，白），（白，白，所以兩個事件不互斥，故D錯，故選：．三、解答題17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）證明略（2）20．（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）

數(shù)學家阿基米德利用＂逼近法＂得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．在平面直角坐標系中，橢圓的面積等于，且橢圓的焦距為．點分別為軸、軸上的定點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）點為橢圓上的動點，求三角形面積的最小值，并求此時點坐標；

（3）直線與橢圓交于不同的兩點，已知關(guān)于軸的對稱點為點關(guān)于原點的對稱點為，已知三點共線，試探標直線是否過定點．若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．【答案】（1）（2），．（3）是，直線恒過定點．【解析】（1）由題意知，橢圓的面積知，得，又，所以，解得，所以橢圓的方程為；

（2）由題意得，直線方程為，即，

設（為參數(shù)），則點到直線的距離為

當，即，即時，取得最小值，且最小值為，所以的面積的最小值為，此時．

（3）設直線則，

∵三點共線，得，

∵直線與橢圓交于兩點，則，由，得

，代入中，

當，直線方程為，則重合，不符合題意；

當時，直線，所以直線恒過定點．21．（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）

已知是定義在上的函數(shù)，集合對任意，都有．當時，若函數(shù)存在最小值，則稱為直線的＂－距離＂.

（1）若，請判斷和是否是集合中的元素，并說明理由；

（2）設，且存在實數(shù)，使得直線的＂－距離＂不小于1，求的取值范國；

（3）設的導函數(shù)在上嚴格增．若對任意，都有且直線與的＂距離＂相等．證明：是偶函數(shù)．【答案】（1）不是，是；（2）（3）證明見解析【解析】（1）不是，是；理由如下:的值域是，即對任意

若，當時，，會存在使，不滿足成立；

當時，，也會存在使，不滿足條件，所以，

當時，要對任意恒成立，因最小值為-1，故，則,所以不是集合中的元素，是集合中的元素；

（2）由題意，直線的距離為函數(shù)的最小值，