叫

ai\Ai+%可2+…

1.0,iwj.

AOA*A

OB~OB*

oA*A=(-ir|A||B|

BOBO

范德蒙德行列式：

11—1

玉xz…x”

=

X；X2Xnn)

???\<j<i^n

?????

.n-l..“一I

AvlA2…入〃

代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：

分塊對(duì)角陣相乘:

分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：

,為中各個(gè)元素的代數(shù)余子式.

A4"=/f4=|山七,⑷=|A『，k]=]A「.

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分塊對(duì)角陣的伴(AT)T=A(A6)，=5KM-H—心(A7)?=(A*),

隨矩陣：

矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：

矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：

矩陣可逆的性質(zhì)：(4“尸=A=53甲=呢(A-1/=(A*)-,=A-*

伴隨矩陣的性質(zhì)：W)?=(A?)”

(A-,)*=(A*)-，=1

(4)*=|ArZ(人0*=3*A*

n若"A)=n

1若r(A)=〃-l|明=同網(wǎng)AA^=A^A=\A\E(無條件恒成立)

0若

矩陣的秩的性質(zhì):

①AwOor(A)21;A=O。*A)=();0Wr(Awx?)Qmin(私n)

r(A)+r(B)<n

④若人"…若『(AB)=OA

龐勺列向量全部是At=(用勺解

⑤r(AB)Wmin(r(A),r(B)}

⑥若、可逆，則：即：可逆矩陣不影響矩陣的秩.

。Av=o只有零解

r(AB)=r(B)

⑦若，‘d")=n<

=A在矩陣乘法中有左消去律，AB=O=>B=O

AB=AC^B=C

r(AB)=r(B)

若"％,)=〃=><

B在矩陣乘法中有右消去律.

第2頁共7頁

（EO\（EO\

⑧若=與唯一的1等價(jià).稱】有為矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型.

C/C//c/C/j

⑨r(A±8)<r(A)+r(8),max{r(4),“B)}<r(A,3)<r(A)+r(8)

。、（OA、zc、

=r(A)+r(B),wr(A)+r(B)

°，。B,

①|(zhì)標(biāo)準(zhǔn)正交基|〃個(gè)〃維線性無關(guān)的向量，兩兩正交，每個(gè)向量長度為1.

..A[H]=，4A4[Ml，i=/，

（7.,A,+^A.+--aA=\..%A+%%+…%A〃=4..

③？？22mjn[0,,〃?？？1°,”〃.？？記為？？？？

|A|,i=j,

ai}A.}+aj2Aj2+^ainAjn=<..

U,I*）.

④向量”（49，的長度|同=J（a,。）=Z。；=《a；+a；+?+〃；

------------------------f=l

⑤是單位向量.即長度為的向量.

內(nèi)積的性質(zhì)：①正定性②對(duì)稱性③線性性

,稱為矩陣的跡.

特征值與特征向量的求法

（1）寫出矩陣A的特征方程，求出特征值.

（2）根據(jù)（4-/l,￡）x=0得到A對(duì)應(yīng)于特征值兒的特征向量.

設(shè)（A—4后?=。的基礎(chǔ)解系為…其中弓二「仍一4￡）.

則A對(duì)應(yīng)于特征值4的全部特征向量為…

3.其中為任意不全為零的數(shù).

4.①|(zhì)A與B相似[P]AP=B（P為可逆矩陣）

②|A與B正交相砌P]AP=BCP為正交矩陣）

③|A可以相似對(duì)角酎A與對(duì)角陣A相似.（稱A是A的廂似標(biāo)準(zhǔn)形

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7.矩陣對(duì)角化的判定方法

①〃階矩陣A可對(duì)角化（即相似于對(duì)角陣）的充分必要條件是A有〃個(gè)線性無關(guān)的特征向量.

這時(shí)，為的特征向量拼成的矩陣，為對(duì)角陣,主對(duì)角線上的元素為的特征值.

設(shè)為對(duì)應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量,則有：

化）

,人

P-[AP=~

②可相似對(duì)角化，其中為的重?cái)?shù)恰有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.

：當(dāng)為的重的特征值時(shí)，可相似對(duì)角化的重?cái)?shù)基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù).

③若〃階矩陣A有〃個(gè)互異的特征值nA可相似對(duì)角化.

正交矩陣A4r=E

③正交陣的行列式等于1或

⑤兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣；

⑥A的行（列）向量都是單位正交向量組.

求正交矩陣丁，把實(shí)對(duì)稱矩陣/化為對(duì)角陣的方法：

1.解特征方程|/一九七|二0,

求出對(duì)稱陣，的全部不同的特征值44,…?人

2.對(duì)每個(gè)特征值為，求出對(duì)應(yīng)的特征向量，

即求齊次線性方程組（/-^E）x=0的基礎(chǔ)解系。

3.將屬于每個(gè)4的特征向量先正交化，再單位化。

這樣共可得到〃個(gè)兩兩正交的單位特征向量7,%,…,辦

4.以7，%，…，力為列向量構(gòu)成正交矩陣T…，%）

有=A

第4貝共7貝

施密特正交規(guī)范化四,%，%線性無關(guān)，

正交化邛『%-窯莊0、

\P\，P\）

-=%_（%，⑷夕（%，A）

3（ArA）（A^2）

單位化：

1.（二次型

其中為對(duì)稱矩陣，

（與合同.（）

求C（AI）T（B（TT）這個(gè)變換先進(jìn)行行變換再進(jìn)行一致的列變換最后求得C和（TT

③I正慣性指數(shù)I二次型的規(guī)范形中正項(xiàng)項(xiàng)數(shù)pI負(fù)慣性指數(shù)］二次型的規(guī)范形中負(fù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)r-p

④兩個(gè)矩陣合同。它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)。他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等.

⑤兩個(gè)矩陣合同的充分條件是：與等價(jià)

⑥兩個(gè)矩陣合同的必要條件是：

2.經(jīng)過化為標(biāo)準(zhǔn)形.

①正交變換法

用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（規(guī)范形）的具體

步驟

1.將二次型表成矩陣形式f=求出A：

2.求出，的所有特征值4，乙，…，兒;

3.求出對(duì)應(yīng)于特征值的特征向最［.打，…，之；

4.將特征向量號(hào)舄,…電正交化,單位化.得

4彷，…/，記尸=（〃「%「?”）：

5.作iE交變換x=Pj，,則得了的標(biāo)準(zhǔn)形

f-AJ?+…

②配方法

第5頁共7頁

（1）若二次型含有的平方項(xiàng)，則先把含有的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行,

（2）直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;

若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是（），則先作可逆線性變換

＜勺=升+匕（％=1,2,，〃且

3.正定二次型不全為零，.

正定矩陣|正定二次型對(duì)應(yīng)的矩陣.

4.為正定二次型（之一成立）：

（1）,;

（2）A的特征值全大于0；