1.4線段的垂直平分線情境導(dǎo)入知識(shí)講解隨堂小測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)

1.4線段的垂直平分線第1課時(shí)

垂直平分線的性質(zhì)及判定課堂小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索證明線段垂直平分線的性質(zhì)和判定；（重點(diǎn)）2.能運(yùn)用線段垂直平分線性質(zhì)和其判定解決實(shí)際問(wèn)題；（難點(diǎn)）情境導(dǎo)入復(fù)習(xí)回顧1.線段是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？AB2.什么叫線段的垂直平分線？3.線段的垂直平分線有什么性質(zhì)？經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，這條線段的垂直平分線(中垂線).線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．你能證明這個(gè)性質(zhì)嗎？知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)

垂直平分線的性質(zhì)與判定

已知：如下圖，直線MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一點(diǎn).求證：PA=PB.NAPBCM證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴PA=PB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

如果點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，那么結(jié)論顯然成立.你能寫出上面這個(gè)定理的逆命題嗎？做一做定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．逆命題：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.這個(gè)命題是真命題還是假命題呢？已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=PB.求證：點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.BPAC證明：如右圖，過(guò)點(diǎn)P作直線MN⊥AB，垂足為點(diǎn)C，則PC是△PAB的高.∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.∴PC是△PAB的中線.∴AC=BC，∴直線MN是線段AB的垂直平分線.即點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.還可以過(guò)P點(diǎn)作AB的中線或∠APB的角平分線.所以，“到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上”這個(gè)命題是真命題.定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.互為逆定理例1

已知：如下圖，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC.證明：∵AB=AC，∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）.同理，點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上.∴直線AO是線段BC的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）.用尺規(guī)作線段的垂直平分線已知：線段AB．求作：線段AB的垂直平分線．作法：1.分別以點(diǎn)A和B為圓心，以大于AB的一半長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C和D；2.連接直線CD．直線CD就是線段AB的垂直平分線．DCBA知識(shí)拓展

1.已知：如圖，AB是CD的垂直平分線，E，F(xiàn)是AB上兩點(diǎn).求證：∠ECF=∠EDF.隨堂小測(cè)ABCDEF證明：∵AB是CD的垂直平分線，∴EC=ED，F(xiàn)C=FD.又∵EF=EF，∴△ECF≌△EDF.∴∠ECF=∠EDF.2.已知：如圖，AB=AC，BD=CD，P是AD上一點(diǎn).求證：PB=PC.PBDCA證明：如右圖，連接B，C.∵AB=AC，∴A在線段BC的垂直平分線上.同理，

D在線段BC的垂直平分線上.∴AD是線段BC的垂直平分線.∵P是AD上一點(diǎn)，

∴PB=PC.1.如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于點(diǎn)E，垂足為D，BE=6cm，∠AEC=30°，則AC等于

（

）A.6cm B.5cm C.4cm D.3cm當(dāng)堂檢測(cè)D2.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E,連接BE，AB+BC=16

cm,則△BCE的周長(zhǎng)是

cm.ABCDE163.如圖，在△ABC中，BD是∠ABC的平分線,EF垂直平分BD.求證:AB∥DF.證明:∵EF垂直平分BD，∴FB=FD，∴∠FBD=∠BDF，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠FBD，∴∠ABD=∠BDF，∴AB∥DF.4.如圖，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BD=DE，連接AE.（1）若∠BAE=40°，求∠C的度數(shù).∴AE=CE，∴∠C=∠EAC，∵∠AEB=∠EAC+∠C=70°，∴∠C=35°.（1）證明：∵AD⊥BC，點(diǎn)E在BC上，∴AD⊥BE，又∵BD=DE，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=（180°-∠BAE）=70°，∵EF垂直平分AC，124.如圖，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BD=DE，連接AE.（2）若△ABC的周長(zhǎng)為14cm，AC=6cm，求DC的長(zhǎng).（2）解：∵△ABC的周長(zhǎng)為14cm，AC=6cm，∴AB+BC+AC=14cm，∴AB+BC=8cm，∴AB+BD+DE+CE=8cm，∵BD=DE，AB=AE，AE=CE，∴2DE+2CE=8cm，∴DE+CE=4cm，即DC=4cm.課堂小結(jié)垂直平分線的性質(zhì)定理：定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.垂直平分線的判定定理：情境導(dǎo)入知識(shí)講解隨堂小測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)

1.4線段的垂直平分線第2課時(shí)

三角形三條邊的垂直平分線課堂小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.推理論證“三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等”這一性質(zhì)；（重點(diǎn)）2.利用尺規(guī)作圖確定三角形三邊垂直平分線交點(diǎn)的位置，并會(huì)作出已知底邊和底邊上的高的等腰三角形；3.利用三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題.（難點(diǎn)）情境導(dǎo)入某區(qū)政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購(gòu)物中心，試問(wèn)該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等？ABC猜想：要到三個(gè)小區(qū)的距離相等，那么應(yīng)建在三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn).那三角形三邊的垂直平分線是否交于一點(diǎn)呢？知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)1線段垂直平分線的作圖及應(yīng)用

（1）已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎？如果能，能作幾個(gè)？所作出的三角形都全等嗎？議一議A1DCBAahDCBAahA1能作出無(wú)數(shù)個(gè)這樣的三角形，它們并不全等.(D)CAahA1B（2）已知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎？如果能，能作幾個(gè)？所作出的三角形都全等嗎？議一議這樣的等腰三角形也有無(wú)數(shù)多個(gè).根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，只要作底邊的垂直平分線，取它上面除底邊的中點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，和底邊的兩個(gè)端點(diǎn)相連接，都可以得到一個(gè)等腰三角形.如圖，這些三角形不都全等.

（3）已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎？能作幾個(gè)？議一議這樣的等腰三角形只有兩個(gè)，并且它們是全等的，分別位于已知底邊的兩側(cè)．你能通過(guò)尺規(guī)作圖，作出這個(gè)三角形嗎？已知一個(gè)等腰三角形的底及底邊上的高，求作這個(gè)等腰三角形.已知：如圖①，線段a，h.求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.作法：（1）作線段BC=a（如右圖）.ah圖①BC（2）作線段BC的垂直平分線l，交BC于點(diǎn)D.（3）在l上作線段DA，使DA=h.lDA（4）連接AB，AC.△ABC為所求的等腰三角形.做一做已知直線l和l上上一點(diǎn)P，用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.小明的作法如右圖，你能明白小明作法嗎？ABPml作法：（1）以點(diǎn)P為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)A，B.（2）作線段AB的垂直平分線m.直線m就是過(guò)點(diǎn)P的直線l的垂線.議一議如果點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，那么怎樣用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P呢？說(shuō)說(shuō)你的作法.ABPml作法：（1）以點(diǎn)P為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)A，B.（2）作線段AB的垂直平分線m.直線m就是過(guò)點(diǎn)P的直線l的垂線.作圖已知、求作作法作等腰三角形已知：如圖，線段a，h.求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.（1）如圖，作線段BC=a.（2）作線段BC的垂直平分線l，交BC于點(diǎn)D.（3）在l上作線段DA，使DA=h.（4）連接AB，AC.△ABC

為所求作的等腰三角形.總結(jié)歸納作圖已知、求作作法過(guò)直線上一點(diǎn)，作這個(gè)直線的垂線已知：如圖，直線l和l上一點(diǎn)P.求作：直線l的垂線，使它過(guò)點(diǎn)P.（1）以點(diǎn)P為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)A，B.（2）作線段AB的垂直平分線m.直線m就是過(guò)點(diǎn)P的直線l的垂線.作圖已知、求作作法過(guò)直線外一點(diǎn)，作這個(gè)直線的垂線已知：如圖，直線l和l外一點(diǎn)P.求作：直線l的垂線，使它過(guò)點(diǎn)P.（1）以點(diǎn)P為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)A，B.（2）作線段AB的垂直平分線m.直線m就是過(guò)點(diǎn)P的直線l的垂線.1.已知△ABC，AB＜BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點(diǎn)P，使得PA+PC=BC，則下列選項(xiàng)正確的是

（

）隨堂小測(cè)D2.（1）如圖，已知△ABC，P為邊AB上一點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法在AC邊上求作一點(diǎn)E，使得E到P，C兩點(diǎn)的距離相等.（保留作圖痕跡，不寫作法）.（2）在圖中，如果AC=5cm，AP=3cm，則△APE的周長(zhǎng)是

cm.E8知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)2三角形三條邊的垂直平分線

利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線.畫一畫剪下一個(gè)三角形，通過(guò)折疊找出每邊的垂直平分線.做一做發(fā)現(xiàn)：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)．這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．通過(guò)這兩次動(dòng)手操作，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？例2

求證：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.已知：如右圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線與邊BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P.求證：邊AC的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且PA=PB=PC.ABCP已知：如右圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線與邊BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P.求證：邊AC的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且PA=PB=PC.ABCP證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，∴PA=PB（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）同理，PB=PC.∴PA=PB=PC.∴點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上），即

邊AC的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.知識(shí)拓展

分別作出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三邊的垂直平分線，說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn).①銳角三角形三邊的垂直平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn).②直角三角形三邊的垂直平分線交于三角形斜邊中點(diǎn)處.③鈍角三角形三邊的垂直平分線交于三角形外部一點(diǎn).這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的外心.總結(jié)歸納三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)定理三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.1.三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)（

）A．到三角形三邊的距離相等B．到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等C．到三角形三個(gè)頂點(diǎn)與三條邊的距離相等D．不能確定隨堂小測(cè)B2.如圖，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°