第一章1.5角平分線初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）八年級下冊第1課時角平分線的性質(zhì)與判定1.經(jīng)歷探究角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的過程.2.掌握角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，并能靈活應(yīng)用進(jìn)行推理證明.(重點、難點)學(xué)習(xí)目標(biāo)如圖，在S區(qū)有一個集貿(mào)市場P，它建在公路與鐵路所成角的平分線上，要從P點建兩條路，一條到公路，一條到鐵路.猜想：怎樣修建道路最短？往哪條路走更近呢？情境引入01角平分線的性質(zhì)問題1

已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.提示

∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，∴∠PDO=∠PEO=90°.∵∠1=∠2，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的對應(yīng)邊相等).1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離

.2.幾何語言：如圖，∵OP平分∠AOB(一平分)，PD⊥OA，PE⊥OB(二垂直)，∴PD=PE(三相等).相等知識梳理例1

把兩個同樣大小的含30°角的三角尺按照如圖1所示方式疊合放置，得到如圖2的Rt△ABC和Rt△ABD，設(shè)M是AD與BC的交點，則這時MC的長度就等于點M到AB的距離，你知道這是為什么嗎？請說明理由.解

過點M作MH⊥AB于點H，如圖，∵∠BAD=30°，∠BAC=60°，∴∠CAM=∠BAC-∠BAD=60°-30°=30°，∴AM平分∠BAC，∵M(jìn)C⊥AC，MH⊥AB，∴MH=MC.即MC的長度等于點M到AB的距離.跟蹤訓(xùn)練1

(1)如圖，OP是∠AOB的平分線，點P到OA的距離為5.點N是OB上的任意一點，則線段PN的取值范圍為A.PN<5 B.PN>5 C.PN≥5 D.PN≤5√解析如圖，過點P作PE⊥OA于點E，PM⊥OB于點M，則PM是點P到OB的最短距離，PE=5，∵OP是∠AOB的平分線，PE⊥OA，PM⊥OB，∴PM=PE=5，∴PN≥5.(2)如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=6

cm，∠CAD=28°，求CD的長度及∠B的度數(shù).解

∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD=DE=6

cm，∠BAD=∠CAD=28°，∴∠BAC=2∠CAD=56°，∴∠B=90°-∠CAB=34°.角平分線的判定2問題2

“角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等”的逆命題是真命題嗎？你能證明自己結(jié)論的正確性嗎？提示

是真命題.已知：如圖，點P為∠AOB內(nèi)一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE.求證：OP平分∠AOB.證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，∴∠ODP=∠OEP=90°.∵PD=PE，OP=OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1=∠2(全等三角形的對應(yīng)角相等).∴OP平分∠AOB.1.角平分線的判定定理：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的

上.2.幾何語言：如圖，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點P在∠AOB的平分線上(或∠1=∠2).3.角平分線的判定所具備的條件：(1)位置關(guān)系：點在角的內(nèi)部；(2)數(shù)量關(guān)系：點到角兩邊的距離相等.平分線知識梳理4.定理的作用：判斷點是否在角平分線上.注意點：由于到角兩邊距離相等的點不一定在角的平分線上，可能在角平分線的反向延長線上，或在角的鄰補(bǔ)角的平分線上，所以存在條件“角的內(nèi)部”.知識梳理例2

(課本P37例1)如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長.

跟蹤訓(xùn)練2

(1)如圖，已知點P到AE，AD，BC的距離相等，下列說法：①點P在∠BAC的平分線上；②點P在∠CBE的平分線上；③點P在∠BCD的平分線上；④點P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分線的交點上.其中正確的是A.①②③④ B.①②③

C.④

D.②③解析∵點P到AE，AD，BC的距離相等，∴點P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分線的交點上，∴正確的是①②③④.√(2)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE=CF.求證：AD是△ABC的角平分線.

課堂小結(jié)1.角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.(1)點：角平分線上的點；(2)距離：點到角兩邊的距離；(3)相等：兩條垂線段相等.2.角平分線判定定理：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.3.輔助線添加方法：過角平分線上一點向角的兩邊作垂線段.1.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=30，BD∶CD=3∶2，則點D到AB的距離為A.18 B.12 C.15 D.16課堂練習(xí)√解析如圖，作DE⊥AB于E，∵BD∶CD=3∶2，BC=30，∴CD=12，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=12.即點D到AB的距離為12.課堂練習(xí)2.如圖所示，小明將兩把完全相同的長方形直尺放置在∠AOB上，兩把直尺的接觸點為P，邊OA與其中一把直尺邊緣的交點為C，點C，P在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2

cm，5

cm，則OC的長度是___cm.

隨堂演練3課堂練習(xí)隨堂演練解析如圖，過P作PN⊥OB于點N，由題意得PM=PN，且PM⊥OA，∴PO平分∠AOB，∴∠COP=∠NOP，∵PC∥OB，∴∠CPO=∠NOP，∴∠COP=∠CPO，∴OC=PC，∵C，P在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2

cm，5

cm，∴PC=5-2=3(cm)，∴OC的長度是3

cm.課堂練習(xí)3.如圖，OC是∠AOB的平分線，AC⊥OB于點D，BC⊥OA于點E.求證：AC=BC.隨堂演練

課堂練習(xí)4.如圖，已知BE=CF，DF⊥AC于點F，DE⊥AB于點E，BF和CE相交于點D.求證：AD平分∠BAC.隨堂演練

課堂練習(xí)

作弧，兩弧交于點F；作射線CF交AB于點