完全頻散性非線性波數(shù)值模型：理論、方法與應(yīng)用一、引言1.1研究背景與意義在海洋工程、水利等眾多領(lǐng)域中，波動現(xiàn)象廣泛存在且對工程設(shè)施和自然環(huán)境有著深遠(yuǎn)影響。波浪作為一種典型的波動，其在海洋中的傳播、變形以及與海洋結(jié)構(gòu)物的相互作用，一直是海洋工程領(lǐng)域關(guān)注的焦點(diǎn)。在水利工程中，水波在河道、水庫等水域的運(yùn)動也對工程的安全性與穩(wěn)定性起著關(guān)鍵作用。準(zhǔn)確理解和預(yù)測這些波動現(xiàn)象，對于保障工程安全、優(yōu)化工程設(shè)計(jì)以及維護(hù)生態(tài)環(huán)境具有重要意義。傳統(tǒng)的波浪傳播模型主要分為具有完全頻散特性的線性緩坡方程類模型和具有弱頻散特性的非線性Boussinesq方程類模型。線性緩坡方程類模型雖能較好地描述波浪的折射與繞射行為，具備完全頻散性，但在處理波浪的非線性方面存在明顯不足，無法準(zhǔn)確刻畫如波浪破碎、非線性相互作用等復(fù)雜現(xiàn)象。而Boussinesq方程類模型雖然考慮了一定的非線性效應(yīng)，但僅具有弱頻散性，在深水計(jì)算中受到諸多限制，無法全面描述不同水深條件下的波浪傳播特性。在實(shí)際的海洋和水利環(huán)境中，波浪往往呈現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性和完全頻散性，這些傳統(tǒng)模型難以滿足對復(fù)雜波動現(xiàn)象精確模擬的需求。例如，在近岸海域，地形變化復(fù)雜，波浪在傳播過程中不僅會發(fā)生折射、繞射，還會由于淺水效應(yīng)產(chǎn)生強(qiáng)烈的非線性變形，傳統(tǒng)模型難以準(zhǔn)確預(yù)測這些變化對海岸工程設(shè)施的影響。完全頻散性非線性波數(shù)值模型的出現(xiàn)，為解決這些復(fù)雜波動問題提供了新的途徑。該模型能夠綜合考慮波浪的非線性和完全頻散性，更全面、準(zhǔn)確地描述波浪在各種環(huán)境條件下的傳播和演化過程。在海洋工程中，對于海上平臺、跨海大橋等大型結(jié)構(gòu)物的設(shè)計(jì)，精確掌握波浪的特性至關(guān)重要。完全頻散性非線性波數(shù)值模型可以幫助工程師更準(zhǔn)確地預(yù)測波浪對結(jié)構(gòu)物的作用力，優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，提高結(jié)構(gòu)的安全性和耐久性，降低工程建設(shè)和維護(hù)成本。在水利工程領(lǐng)域，對于防洪堤的設(shè)計(jì)、水庫的調(diào)蓄等，該模型可以更精準(zhǔn)地模擬洪水波的傳播和演進(jìn)，為水利工程的規(guī)劃、設(shè)計(jì)和運(yùn)行管理提供科學(xué)依據(jù)，有效提高水利工程的防洪減災(zāi)能力，保障人民生命財(cái)產(chǎn)安全。此外，在海洋生態(tài)環(huán)境研究中，該模型有助于深入理解波浪對海洋生態(tài)系統(tǒng)的影響，如對海洋生物棲息地、海洋物質(zhì)輸運(yùn)等方面的作用，為海洋生態(tài)保護(hù)和可持續(xù)發(fā)展提供理論支持。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在國外，對完全頻散性非線性波數(shù)值模型的研究起步相對較早。1994年，Nadaoka提出了一個(gè)無流中無能量交換項(xiàng)的完全頻散非線性方程，同年Isobe也提出一個(gè)無流水域中無能量交換項(xiàng)的完全頻散非線性方程，他們的研究為完全頻散性非線性波理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，但這些方程形式極為復(fù)雜，其性能與普適性在后續(xù)研究中不斷被探討和驗(yàn)證。此后，國外學(xué)者圍繞這些方程展開了一系列研究，如通過數(shù)值模擬方法對不同地形和水流條件下的波浪傳播進(jìn)行研究，以驗(yàn)證方程在實(shí)際應(yīng)用中的準(zhǔn)確性和適用性。在對復(fù)雜海底地形的波浪傳播模擬中，發(fā)現(xiàn)這些早期提出的方程在處理局部地形突變引起的波浪復(fù)雜變化時(shí)，存在一定的局限性，模擬結(jié)果與實(shí)際觀測存在偏差。國內(nèi)對于完全頻散性非線性波數(shù)值模型的研究也取得了顯著成果。河海大學(xué)的吳中以洪廣文提出的具有完全頻散性非線性波浪傳播方程為基礎(chǔ)，建立了一個(gè)統(tǒng)一模式和計(jì)算方法。該方法能夠適用于深水至淺水、包納流場、地形與水位緩慢變化、滿足開敞與多連通水域波浪傳播。通過對深水至極淺水非線性波進(jìn)行全面驗(yàn)證，模擬了波浪淺化、立波、三維干涉波、潮波、孤立波以及波浪越過潛堤、單突堤繞射、雙突堤繞射、島式堤、Berkhoff實(shí)驗(yàn)和多連通水域波浪傳播等問題，還對特殊地形條件下波浪發(fā)生港灣共振、布拉格共振進(jìn)行了仿真。在研究水流中波浪傳播折射變形問題，如Arthur流場上非線性折射-繞射、水位緩變的轉(zhuǎn)向潮流中波浪傳播等緩變水流中波浪問題時(shí)，該模式展現(xiàn)出適用于深淺水的可計(jì)算性與非線性。然而，在面對極端復(fù)雜的海洋環(huán)境，如強(qiáng)臺風(fēng)引起的巨浪以及近岸復(fù)雜地形與強(qiáng)潮流共同作用下的波浪問題時(shí)，該模型的計(jì)算精度和效率仍有待進(jìn)一步提高。在實(shí)際應(yīng)用方面，國內(nèi)外學(xué)者都將完全頻散性非線性波數(shù)值模型應(yīng)用于海洋工程和水利工程領(lǐng)域。在海洋工程中，用于海上平臺、防波堤等結(jié)構(gòu)物的設(shè)計(jì)和評估。通過模型模擬波浪對結(jié)構(gòu)物的作用，優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，提高結(jié)構(gòu)的抗浪能力。但在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)，模型對于一些新型海洋結(jié)構(gòu)物，如浮式風(fēng)力發(fā)電平臺等，由于其復(fù)雜的運(yùn)動特性和與波浪的耦合作用，模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性還需要進(jìn)一步驗(yàn)證和改進(jìn)。在水利工程中，該模型用于水庫、河道等水域的防洪、通航等方面的研究。例如，在水庫的調(diào)洪演算中，利用模型模擬洪水波的傳播和演進(jìn)，為水庫的合理調(diào)度提供依據(jù)。但在考慮水庫周邊復(fù)雜地形和建筑物對水流的影響時(shí)，模型的模擬效果還有提升空間。總體而言，國內(nèi)外在完全頻散性非線性波數(shù)值模型的研究上取得了一定進(jìn)展，但仍存在一些不足。現(xiàn)有模型在處理復(fù)雜邊界條件、多物理場耦合以及提高計(jì)算效率等方面還面臨挑戰(zhàn)。在未來的研究中，需要進(jìn)一步改進(jìn)模型的理論和算法，結(jié)合更先進(jìn)的數(shù)值計(jì)算技術(shù)和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證手段，以提高模型的精度和適用性，更好地滿足海洋工程和水利工程等實(shí)際應(yīng)用的需求。1.3研究內(nèi)容與方法1.3.1研究內(nèi)容本文將圍繞完全頻散性非線性波數(shù)值模型展開多方面研究，具體內(nèi)容如下：模型理論研究：深入剖析完全頻散性非線性波的理論基礎(chǔ)，詳細(xì)推導(dǎo)和分析相關(guān)控制方程。從基本的物理原理出發(fā)，如質(zhì)量守恒定律、動量守恒定律等，結(jié)合波動理論，推導(dǎo)完全頻散性非線性波的控制方程，明確方程中各項(xiàng)的物理意義和數(shù)學(xué)表達(dá)。對已有的完全頻散性非線性波方程，如Nadaoka、Isobe以及洪廣文等人提出的方程，進(jìn)行深入分析和對比。研究方程在不同條件下的適用范圍，包括水深、波高、波頻等條件對方程適用性的影響，分析方程在描述波浪傳播、變形等現(xiàn)象時(shí)的優(yōu)勢與局限性。數(shù)值求解方法研究：針對完全頻散性非線性波控制方程，研究高效、穩(wěn)定的數(shù)值求解方法。探索有限差分法、有限元法、有限體積法等常用數(shù)值方法在求解該方程時(shí)的應(yīng)用。對于有限差分法，研究不同的差分格式，如中心差分、迎風(fēng)差分等，分析其對計(jì)算精度和穩(wěn)定性的影響。對于有限元法，研究如何選擇合適的單元類型和插值函數(shù)，以提高計(jì)算效率和精度。對于有限體積法，研究如何構(gòu)建合理的控制體積，保證通量守恒。同時(shí)，考慮不同數(shù)值方法的優(yōu)缺點(diǎn)，結(jié)合完全頻散性非線性波方程的特點(diǎn)，選擇最適合的數(shù)值方法或方法組合。此外，研究數(shù)值求解過程中的穩(wěn)定性和收斂性問題，提出有效的解決方法。通過理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)，確定數(shù)值求解方法的穩(wěn)定性條件和收斂準(zhǔn)則。采用穩(wěn)定性分析方法，如VonNeumann穩(wěn)定性分析，研究數(shù)值方法在不同條件下的穩(wěn)定性。對于收斂性問題，通過逐步加密網(wǎng)格或減小時(shí)間步長，觀察計(jì)算結(jié)果的變化，判斷數(shù)值方法的收斂性。針對不穩(wěn)定或收斂性差的情況，提出改進(jìn)措施，如添加人工粘性項(xiàng)、采用自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)等。數(shù)值模擬與驗(yàn)證：利用建立的數(shù)值模型，對不同條件下的完全頻散性非線性波進(jìn)行數(shù)值模擬。模擬內(nèi)容包括波浪在不同地形（如平坦海底、斜坡地形、復(fù)雜海底地形等）、不同水流條件（如均勻流、非均勻流、潮流等）下的傳播、折射、繞射、破碎等現(xiàn)象。在模擬波浪在斜坡地形上的傳播時(shí)，研究波浪的爬坡過程、反射和折射情況，以及波浪破碎的位置和形態(tài)。在模擬復(fù)雜海底地形時(shí)，考慮海底的起伏、礁石等因素對波浪傳播的影響。將數(shù)值模擬結(jié)果與理論解、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比驗(yàn)證，評估模型的準(zhǔn)確性和可靠性。收集已有的波浪理論解，如線性波浪理論解、Stokes波浪理論解等，與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對比，分析模型在描述波浪傳播特性方面的準(zhǔn)確性。同時(shí)，與相關(guān)的物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，如實(shí)驗(yàn)室水槽實(shí)驗(yàn)、現(xiàn)場觀測實(shí)驗(yàn)等，驗(yàn)證模型在實(shí)際應(yīng)用中的可靠性。通過對比驗(yàn)證，不斷優(yōu)化模型參數(shù)和數(shù)值求解方法，提高模型的精度和適用性。實(shí)際應(yīng)用案例分析：將完全頻散性非線性波數(shù)值模型應(yīng)用于海洋工程和水利工程實(shí)際案例中。在海洋工程中，選取海上平臺、防波堤等結(jié)構(gòu)物，分析波浪對其作用的荷載和響應(yīng)。通過數(shù)值模擬，計(jì)算波浪作用下海上平臺的受力情況，包括水平力、垂直力和彎矩等，評估平臺的穩(wěn)定性和安全性。對于防波堤，研究波浪在防波堤前的反射、繞射和透射情況，分析防波堤的消浪效果，為防波堤的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供依據(jù)。在水利工程中，針對水庫、河道等水域，模擬洪水波的傳播和演進(jìn)，為防洪減災(zāi)提供決策支持。在水庫調(diào)洪演算中，利用模型預(yù)測洪水過程中水庫水位的變化，合理制定水庫的泄洪方案，保障水庫的安全運(yùn)行。在河道防洪中，模擬洪水波在河道中的傳播速度、水位變化等，為河道堤防的設(shè)計(jì)和加固提供參考。分析模型在實(shí)際應(yīng)用中存在的問題和不足，提出改進(jìn)方向和建議。在實(shí)際應(yīng)用過程中，可能會遇到模型計(jì)算效率低、對復(fù)雜邊界條件處理能力不足等問題。針對這些問題，分析其產(chǎn)生的原因，提出相應(yīng)的改進(jìn)措施，如采用并行計(jì)算技術(shù)提高計(jì)算效率，改進(jìn)邊界條件處理方法以適應(yīng)復(fù)雜邊界條件等。1.3.2研究方法本文將綜合運(yùn)用多種研究方法，確保研究的全面性和深入性，具體方法如下：理論分析方法：運(yùn)用數(shù)學(xué)物理方法，對完全頻散性非線性波的基本理論進(jìn)行深入研究。從波動方程的基本原理出發(fā)，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)和理論分析，建立完全頻散性非線性波的控制方程。利用數(shù)學(xué)分析工具，如偏微分方程理論、變分原理等，對控制方程進(jìn)行分析，研究方程的性質(zhì)、解的存在性和唯一性等問題。通過理論分析，揭示完全頻散性非線性波的傳播特性和內(nèi)在規(guī)律，為數(shù)值模型的建立和求解提供理論基礎(chǔ)。數(shù)值計(jì)算方法：采用有限差分法、有限元法、有限體積法等數(shù)值計(jì)算方法，對完全頻散性非線性波控制方程進(jìn)行離散求解。根據(jù)不同的數(shù)值方法，將連續(xù)的控制方程轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組，通過迭代求解等方法得到數(shù)值解。在數(shù)值計(jì)算過程中，合理選擇數(shù)值參數(shù)，如網(wǎng)格尺寸、時(shí)間步長等，以保證計(jì)算的精度和穩(wěn)定性。利用數(shù)值計(jì)算軟件，如MATLAB、COMSOL等，實(shí)現(xiàn)數(shù)值模型的編程和計(jì)算，提高計(jì)算效率和可視化效果。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法：收集和整理已有的波浪實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，將數(shù)值模擬結(jié)果與之進(jìn)行對比驗(yàn)證。對于一些關(guān)鍵的波浪現(xiàn)象和參數(shù)，如波浪的傳播速度、波高變化、波浪破碎等，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)數(shù)值模型的準(zhǔn)確性。同時(shí)，在條件允許的情況下，設(shè)計(jì)和開展相關(guān)的波浪物理實(shí)驗(yàn)。搭建波浪水槽實(shí)驗(yàn)平臺，模擬不同地形和水流條件下的波浪傳播，測量波浪的相關(guān)參數(shù)，如波高、波長、波周期等。將實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對比分析，驗(yàn)證數(shù)值模型的可靠性，為模型的改進(jìn)和完善提供實(shí)驗(yàn)依據(jù)。案例分析法：選取海洋工程和水利工程中的實(shí)際案例，運(yùn)用建立的完全頻散性非線性波數(shù)值模型進(jìn)行分析。深入了解實(shí)際工程問題的背景和需求，確定合適的計(jì)算參數(shù)和邊界條件。通過數(shù)值模擬，得到波浪在實(shí)際工程環(huán)境中的傳播和作用情況，分析波浪對工程結(jié)構(gòu)物的影響。結(jié)合工程實(shí)際情況，對模擬結(jié)果進(jìn)行分析和評估，為工程設(shè)計(jì)、運(yùn)行管理提供科學(xué)建議和決策支持。二、完全頻散性非線性波數(shù)值模型理論基礎(chǔ)2.1波浪傳播模型概述波浪傳播模型在海洋與水利工程領(lǐng)域的研究中占據(jù)著核心地位，其發(fā)展歷程反映了人們對波浪復(fù)雜現(xiàn)象認(rèn)知的不斷深化。早期的波浪傳播模型主要為線性波折射模型，誕生于20世紀(jì)40年代。這類模型基于線性波浪理論，適用于大范圍深水水域的波浪傳播模擬。在開闊的深海區(qū)域，當(dāng)波浪受到均勻的水深和相對簡單的外力作用時(shí)，線性波折射模型能夠較好地預(yù)測波浪的傳播方向變化，其計(jì)算原理是基于光線理論，將波浪視為光線，根據(jù)水深變化引起的波速改變來確定波向線的彎曲。然而，線性波折射模型存在明顯的局限性，它無法描述淺水非線性波的特性，當(dāng)波浪傳播至淺水區(qū)域，水深的變化導(dǎo)致波浪的非線性效應(yīng)逐漸增強(qiáng)，如波浪的波峰變陡、波谷變平，線性波折射模型無法準(zhǔn)確刻畫這些現(xiàn)象。此外，對于淺水復(fù)雜地形產(chǎn)生的波向線相交情況，線性波折射模型也難以適應(yīng)，因?yàn)樗鼪]有考慮波浪在復(fù)雜地形下的相互作用和能量轉(zhuǎn)換。隨著研究的深入，1972年聯(lián)合折射繞射模型，即“緩坡方程”應(yīng)運(yùn)而生。緩坡方程具有完全頻散性，這使得它能夠精確地描述波浪在傳播過程中的折射與繞射行為。在模擬波浪繞過海島或防波堤等障礙物時(shí)，緩坡方程能夠準(zhǔn)確地預(yù)測波浪的繞射現(xiàn)象，展現(xiàn)出比線性波折射模型更強(qiáng)大的能力。緩坡方程無法描述波浪的非線性，在處理近岸區(qū)域波浪的破碎、波-波相互作用等非線性現(xiàn)象時(shí)存在嚴(yán)重不足。近岸區(qū)域的波浪破碎過程伴隨著能量的劇烈耗散和復(fù)雜的流體運(yùn)動，緩坡方程由于其線性假設(shè)，無法準(zhǔn)確捕捉這些關(guān)鍵的物理過程。緩坡方程的拋物近似模式雖然在一定程度上簡化了計(jì)算，但卻忽略了反射波，并且繞射角受到限制，這在實(shí)際應(yīng)用中極大地限制了其適用范圍。在模擬具有明顯反射波的海岸工程問題時(shí)，拋物近似模式的計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況存在較大偏差。緩坡方程的雙曲近似模式雖然引進(jìn)了虛擬中間量來試圖解決部分問題，但在非線性處理和準(zhǔn)確性方面仍存在一定的不足。1976年出現(xiàn)的非線性長波模型，以Boussinesq方程為代表，開啟了波浪傳播模型考慮非線性效應(yīng)的新階段。Boussinesq方程能夠模擬近岸海域復(fù)雜地形上波浪傳播的非線性變形，如折射、繞射、反射、淺化等現(xiàn)象，以及波浪與建筑物等的非線性綜合作用過程。在模擬波浪與防波堤的相互作用時(shí)，Boussinesq方程可以考慮波浪在防波堤前的反射、透射以及非線性變形，為防波堤的設(shè)計(jì)提供更準(zhǔn)確的理論依據(jù)。Boussinesq非線性長波方程只具有弱頻散性，并且無法在深水計(jì)算。當(dāng)水深較大時(shí)，其頻散特性與實(shí)際波浪的差異逐漸增大，導(dǎo)致模擬結(jié)果出現(xiàn)較大誤差。盡管Boussinesq改進(jìn)型方程在頻散性方面有一定提高，但深水計(jì)算仍受到一定限制，無法滿足在不同水深條件下對波浪傳播進(jìn)行精確模擬的需求。近十余年發(fā)展起來的完全頻散性非線性模型，旨在克服傳統(tǒng)模型的不足，將完全頻散性與非線性較好地統(tǒng)一到一個(gè)方程中。1994年，Nadaoka提出了一個(gè)無流中無能量交換項(xiàng)的完全頻散非線性方程，同年Isobe也提出一個(gè)無流水域中無能量交換項(xiàng)的完全頻散非線性方程，這些方程的提出為完全頻散性非線性波理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。但它們的形式極為復(fù)雜，其性能與普適性在后續(xù)研究中不斷被探討和驗(yàn)證。近年來洪廣文提出了緩變水流、地形、水位條件、且具有能量交換因子的完全頻散非線性方程，為解決復(fù)雜的波浪傳播問題提供了新的思路。這類模型能夠綜合考慮波浪的完全頻散性和非線性，在不同水深、地形和水流條件下更準(zhǔn)確地描述波浪的傳播、變形和相互作用，具有更廣泛的應(yīng)用前景。在復(fù)雜的近岸海域，完全頻散性非線性模型可以準(zhǔn)確模擬波浪在復(fù)雜地形和水流條件下的傳播，包括波浪的破碎、非線性相互作用以及與海洋結(jié)構(gòu)物的耦合作用等。但這類模型在數(shù)值求解的復(fù)雜性和計(jì)算效率方面仍面臨挑戰(zhàn)，需要進(jìn)一步的研究和改進(jìn)。2.2完全頻散性非線性波模型原理完全頻散性非線性波數(shù)值模型基于流體動力學(xué)基本原理，綜合考慮了波浪傳播過程中的多種復(fù)雜物理現(xiàn)象，旨在準(zhǔn)確描述波浪在不同環(huán)境條件下的傳播特性。其核心是通過建立一組偏微分方程來刻畫波浪的運(yùn)動，這些方程充分考慮了波浪的完全頻散性和非線性特性。從基本物理原理出發(fā)，完全頻散性非線性波模型的建立基于質(zhì)量守恒定律和動量守恒定律。在不可壓縮流體的假設(shè)下，質(zhì)量守恒方程可表示為：\nabla\cdot\vec{u}=0，其中\(zhòng)vec{u}為流體速度矢量。對于動量守恒，在考慮重力、壓力和粘性力等因素后，可得到納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes方程）。然而，直接求解納維-斯托克斯方程對于復(fù)雜的波浪問題是極具挑戰(zhàn)性的，因此需要進(jìn)行合理的假設(shè)和簡化。在完全頻散性非線性波模型中，通常假設(shè)流體為無粘性、無旋的理想流體，這使得可以引入速度勢函數(shù)\varphi，通過\vec{u}=\nabla\varphi來簡化動量方程?；谒俣葎莺瘮?shù)，結(jié)合自由表面條件和底邊界條件，可以推導(dǎo)出完全頻散性非線性波的控制方程。自由表面條件考慮了波浪表面的運(yùn)動和壓力分布，通常表示為自由表面的運(yùn)動學(xué)條件和動力學(xué)條件。底邊界條件則描述了波浪與海底的相互作用，如海底的摩擦、反射等。以洪廣文提出的緩變水流、地形、水位條件且具有能量交換因子的完全頻散非線性方程為例，其一般形式較為復(fù)雜，但包含了多個(gè)關(guān)鍵的物理項(xiàng)。方程中包含了描述波浪傳播的基本項(xiàng)，如與速度勢函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)相關(guān)的項(xiàng)，這反映了波浪的傳播速度和方向。還包含了考慮非線性效應(yīng)的項(xiàng)，這些項(xiàng)通常與速度勢函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)或乘積相關(guān)。在描述波浪破碎等強(qiáng)非線性現(xiàn)象時(shí)，方程中的非線性項(xiàng)起到了關(guān)鍵作用。方程中還考慮了緩變水流、地形和水位變化的影響，通過引入相應(yīng)的參數(shù)和項(xiàng)來體現(xiàn)這些因素對波浪傳播的作用。當(dāng)水流速度不為零時(shí)，方程中會出現(xiàn)與水流速度相關(guān)的項(xiàng)，以描述波流相互作用對波浪傳播的影響。對于地形變化，會有與海底地形坡度相關(guān)的項(xiàng)，反映地形對波浪的折射、繞射等作用。模型中各項(xiàng)參數(shù)具有明確的物理意義。波數(shù)k是描述波浪空間周期性的參數(shù)，它與波長\lambda的關(guān)系為k=\frac{2\pi}{\lambda}，波數(shù)決定了波浪在空間上的變化快慢。在深水區(qū)域，波數(shù)與波浪頻率\omega之間滿足線性色散關(guān)系\omega^2=gk，其中g(shù)為重力加速度。而在淺水區(qū)，色散關(guān)系變得更加復(fù)雜，完全頻散性非線性波模型能夠準(zhǔn)確描述這種復(fù)雜的色散特性。頻率\omega則表示波浪在單位時(shí)間內(nèi)的振動次數(shù)，它與波數(shù)一起決定了波浪的傳播速度c=\frac{\omega}{k}。水深h是模型中的一個(gè)重要參數(shù)，它直接影響波浪的傳播特性。在淺水區(qū)，隨著水深的減小，波浪的非線性效應(yīng)逐漸增強(qiáng)，如波浪的波峰變陡、波谷變平，同時(shí)波浪的傳播速度也會發(fā)生變化。模型通過考慮水深對波浪的影響，能夠準(zhǔn)確模擬波浪在淺水區(qū)的傳播和變形。在研究波浪在斜坡地形上的傳播時(shí)，水深的變化會導(dǎo)致波浪的折射和繞射現(xiàn)象，模型可以通過對水深參數(shù)的處理，準(zhǔn)確預(yù)測這些現(xiàn)象的發(fā)生。能量交換因子\alpha是模型中考慮能量交換的關(guān)鍵參數(shù)。在實(shí)際的波浪傳播過程中，波浪與周圍環(huán)境（如水流、海底等）之間存在能量交換。能量交換因子\alpha用于量化這種能量交換的強(qiáng)度，它的取值與具體的物理過程和環(huán)境條件有關(guān)。在波流相互作用的情況下，能量交換因子可以反映波浪與水流之間的能量傳遞情況，從而影響波浪的傳播和演化。波幅A表示波浪的最大位移，它反映了波浪的能量大小。在非線性波浪中，波幅的變化會導(dǎo)致波浪的非線性特性發(fā)生改變。當(dāng)波幅較大時(shí)，波浪的非線性效應(yīng)更加明顯，如波-波相互作用增強(qiáng)，可能會導(dǎo)致波浪的破碎等現(xiàn)象。模型通過考慮波幅對波浪傳播的影響，能夠準(zhǔn)確模擬不同波幅條件下的波浪傳播特性。這些參數(shù)相互關(guān)聯(lián)，共同決定了完全頻散性非線性波的傳播特性。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體的問題和邊界條件，合理確定這些參數(shù)的值，以確保模型能夠準(zhǔn)確地描述波浪的傳播和變形。通過對這些參數(shù)的深入理解和分析，可以更好地掌握完全頻散性非線性波的運(yùn)動規(guī)律，為海洋工程和水利工程等領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用提供更可靠的理論支持。2.3與其他波浪模型的比較與線性緩坡方程類模型相比，完全頻散性非線性波模型在非線性描述能力上具有顯著優(yōu)勢。線性緩坡方程類模型基于線性波浪理論，雖然具有完全頻散性，能夠精確描述波浪在傳播過程中的折射與繞射行為，但在處理非線性現(xiàn)象時(shí)存在嚴(yán)重不足。在近岸海域，當(dāng)波浪傳播至淺水區(qū)域，水深的減小會導(dǎo)致波浪的非線性效應(yīng)逐漸增強(qiáng)，如波浪的波峰變陡、波谷變平，以及波浪破碎等現(xiàn)象。線性緩坡方程類模型由于其線性假設(shè)，無法準(zhǔn)確捕捉這些非線性變化，模擬結(jié)果與實(shí)際情況存在較大偏差。在模擬波浪破碎過程時(shí)，線性緩坡方程類模型無法描述波浪破碎瞬間的能量耗散和復(fù)雜的流體運(yùn)動，而完全頻散性非線性波模型通過考慮非線性項(xiàng)，能夠更準(zhǔn)確地刻畫波浪破碎的過程和特征。在頻散特性方面，盡管兩者都具有完全頻散性，但在復(fù)雜地形和水流條件下，完全頻散性非線性波模型能夠更好地適應(yīng)頻散特性的變化。在海底地形復(fù)雜多變的區(qū)域，線性緩坡方程類模型在處理地形對波浪頻散特性的影響時(shí)，可能會出現(xiàn)誤差，而完全頻散性非線性波模型能夠通過方程中的相關(guān)項(xiàng)，更準(zhǔn)確地反映地形變化對波浪頻散的影響，從而提高模擬的準(zhǔn)確性。與非線性Boussinesq方程類模型相比，完全頻散性非線性波模型在頻散特性上表現(xiàn)更優(yōu)。Boussinesq方程類模型雖然考慮了一定的非線性效應(yīng)，能夠模擬近岸海域復(fù)雜地形上波浪傳播的非線性變形，如折射、繞射、反射、淺化等現(xiàn)象，但僅具有弱頻散性。這使得Boussinesq方程類模型在深水計(jì)算中受到很大限制，當(dāng)水深較大時(shí)，其頻散特性與實(shí)際波浪的差異逐漸增大，導(dǎo)致模擬結(jié)果出現(xiàn)較大誤差。在深水區(qū)域，波浪的頻散特性對其傳播和演化起著關(guān)鍵作用，Boussinesq方程類模型由于無法準(zhǔn)確描述這種頻散特性，無法滿足對深水波浪傳播精確模擬的需求。而完全頻散性非線性波模型具有完全頻散性，能夠準(zhǔn)確描述不同水深條件下波浪的頻散特性，無論是在淺水還是深水區(qū)域，都能更準(zhǔn)確地模擬波浪的傳播和變形。在非線性處理方面，雖然兩者都考慮了非線性效應(yīng)，但完全頻散性非線性波模型在處理強(qiáng)非線性現(xiàn)象時(shí)更加準(zhǔn)確。在波浪與海洋結(jié)構(gòu)物的強(qiáng)相互作用情況下，如波浪對海上平臺的沖擊，Boussinesq方程類模型在處理這種強(qiáng)非線性問題時(shí)，可能會因?yàn)槠鋵Ψ蔷€性項(xiàng)的近似處理，導(dǎo)致模擬結(jié)果不夠準(zhǔn)確，而完全頻散性非線性波模型能夠更準(zhǔn)確地描述這種強(qiáng)非線性相互作用，為海洋工程結(jié)構(gòu)物的設(shè)計(jì)和分析提供更可靠的依據(jù)。三、完全頻散性非線性波數(shù)值模型求解方法3.1控制方程與邊界條件完全頻散性非線性波傳播的控制方程是基于流體力學(xué)基本原理推導(dǎo)得出，以描述波浪在各種復(fù)雜環(huán)境下的運(yùn)動特性。以洪廣文提出的緩變水流、地形、水位條件且具有能量交換因子的完全頻散非線性方程為例，其一般形式較為復(fù)雜，但能全面考慮多種物理因素對波浪傳播的影響。在笛卡爾坐標(biāo)系下，該方程可表示為：\begin{align*}&\frac{\partial\varphi}{\partialt}+\frac{1}{2}(\nabla\varphi)^2+g\eta+\alpha\int_{-h}^{\eta}\left(\frac{\partial\varphi}{\partialz}\right)^2dz+\beta\int_{-h}^{\eta}\nabla\cdot(\vec{u}\frac{\partial\varphi}{\partialz})dz\\=&\int_{-h}^{\eta}\vec{u}\cdot\nabla(\vec{u}\cdot\nabla\varphi)dz+\int_{-h}^{\eta}\frac{\partial\vec{u}}{\partialt}\cdot\nabla\varphidz+\int_{-h}^{\eta}\vec{f}\cdot\nabla\varphidz\end{align*}其中，\varphi為速度勢函數(shù)，通過\vec{u}=\nabla\varphi與流體速度矢量\vec{u}相關(guān)聯(lián)，描述了流體的運(yùn)動狀態(tài)；t表示時(shí)間，用于刻畫波浪運(yùn)動的時(shí)間演化；\eta是自由表面的升高，反映了波浪在表面的起伏變化；h為水深，它是影響波浪傳播特性的重要參數(shù)，不同的水深條件會導(dǎo)致波浪傳播速度、波高變化以及非線性效應(yīng)的差異；g為重力加速度，決定了重力對波浪運(yùn)動的作用強(qiáng)度；\alpha和\beta是能量交換因子，用于量化波浪與周圍環(huán)境（如水流、海底等）之間的能量交換強(qiáng)度，其取值與具體的物理過程和環(huán)境條件密切相關(guān)；\vec{f}表示其他外力，如風(fēng)力等，在實(shí)際的波浪傳播中，這些外力可能會對波浪的運(yùn)動產(chǎn)生重要影響。方程中的各項(xiàng)都具有明確的物理意義。\frac{\partial\varphi}{\partialt}表示速度勢函數(shù)隨時(shí)間的變化率，反映了波浪運(yùn)動的時(shí)間變化特性；\frac{1}{2}(\nabla\varphi)^2是動能項(xiàng)，體現(xiàn)了波浪運(yùn)動所具有的動能；g\eta為重力勢能項(xiàng)，描述了重力對波浪勢能的影響；\alpha\int_{-h}^{\eta}\left(\frac{\partial\varphi}{\partialz}\right)^2dz和\beta\int_{-h}^{\eta}\nabla\cdot(\vec{u}\frac{\partial\varphi}{\partialz})dz這兩項(xiàng)與能量交換相關(guān)，考慮了波浪與周圍介質(zhì)之間的能量傳遞和轉(zhuǎn)換。\int_{-h}^{\eta}\vec{u}\cdot\nabla(\vec{u}\cdot\nabla\varphi)dz表示非線性對流項(xiàng)，它描述了波浪傳播過程中的非線性相互作用，如波-波相互作用等；\int_{-h}^{\eta}\frac{\partial\vec{u}}{\partialt}\cdot\nabla\varphidz是加速度項(xiàng)，反映了流體速度隨時(shí)間的變化對波浪運(yùn)動的影響；\int_{-h}^{\eta}\vec{f}\cdot\nabla\varphidz則包含了其他外力對波浪的作用。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體的問題和邊界條件對方程進(jìn)行簡化和求解。對于不同的波浪傳播場景，如開闊海域、近岸區(qū)域、存在水流的情況等，方程中的各項(xiàng)參數(shù)和物理量會有所不同，需要進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整和計(jì)算。在近岸區(qū)域，由于地形變化復(fù)雜，水深h的變化會導(dǎo)致波浪的折射、繞射和非線性變形等現(xiàn)象，此時(shí)需要準(zhǔn)確考慮地形對波浪傳播的影響，通過合理確定方程中的參數(shù)來描述這些復(fù)雜的物理過程。邊界條件是控制方程求解的重要組成部分，它描述了波浪在邊界上的物理行為。常見的邊界條件類型包括開邊界條件、固壁邊界條件和自由表面邊界條件。開邊界條件用于模擬波浪從計(jì)算域外部傳入或傳出的情況。在實(shí)際海洋或水利工程中，當(dāng)研究的區(qū)域不是封閉的，存在與外部水域的連通時(shí)，就需要設(shè)置開邊界條件。常見的開邊界條件處理方法有特征線法、海綿層法和輻射條件法等。特征線法基于波動方程的特征理論，通過在開邊界上設(shè)置與特征線相關(guān)的條件來模擬波浪的傳播。在一個(gè)二維波浪傳播問題中，對于沿x方向的開邊界，利用特征線法可以根據(jù)波浪的傳播方向和速度，在邊界上設(shè)置合適的速度勢函數(shù)或波浪高度條件，以確保波浪能夠準(zhǔn)確地傳入或傳出計(jì)算域。海綿層法是在開邊界附近設(shè)置一個(gè)特殊的區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)的參數(shù)被調(diào)整以吸收傳入的波浪能量，從而模擬波浪的傳出。通過在海綿層內(nèi)設(shè)置逐漸增大的阻尼系數(shù)，使得波浪在傳播到海綿層時(shí)能量逐漸衰減，避免了波浪在邊界上的反射。輻射條件法則是基于波動方程的輻射特性，在開邊界上設(shè)置滿足輻射條件的邊界方程，以保證波浪的正確傳播。在一個(gè)三維波浪傳播模型中，對于遠(yuǎn)場開邊界，可以根據(jù)輻射條件設(shè)置邊界上的速度勢函數(shù)的法向?qū)?shù)，使得波浪能夠以正確的方式輻射出去。固壁邊界條件主要用于描述波浪與固體邊界（如防波堤、海岸等）的相互作用。在這種邊界條件下，流體在固壁上的法向速度為零，即\vec{u}\cdot\vec{n}=0，其中\(zhòng)vec{n}是固壁邊界的法向量。當(dāng)波浪傳播到防波堤時(shí)，根據(jù)固壁邊界條件，在防波堤表面，垂直于防波堤的流體速度分量為零，這反映了波浪在固壁上的反射和繞射現(xiàn)象。對于復(fù)雜形狀的固壁邊界，如不規(guī)則的海岸地形，在數(shù)值計(jì)算中需要采用合適的網(wǎng)格劃分和邊界處理方法，以準(zhǔn)確滿足固壁邊界條件?？梢圆捎梅墙Y(jié)構(gòu)化網(wǎng)格對海岸地形進(jìn)行精細(xì)劃分，在邊界節(jié)點(diǎn)上嚴(yán)格施加法向速度為零的條件，從而準(zhǔn)確模擬波浪與不規(guī)則海岸的相互作用。自由表面邊界條件描述了波浪自由表面的運(yùn)動和壓力分布。自由表面的運(yùn)動學(xué)條件可表示為\frac{\partial\eta}{\partialt}+\nabla\varphi\cdot\nabla\eta-\frac{\partial\varphi}{\partialz}=0，它反映了自由表面的高度隨時(shí)間的變化與流體速度的關(guān)系。在波浪傳播過程中，自由表面的起伏是由流體的運(yùn)動引起的，該條件通過速度勢函數(shù)和自由表面升高的關(guān)系，準(zhǔn)確描述了自由表面的動態(tài)變化。自由表面的動力學(xué)條件為\frac{\partial\varphi}{\partialt}+\frac{1}{2}(\nabla\varphi)^2+g\eta=0，它考慮了自由表面上的壓力平衡和能量守恒。在自由表面上，重力勢能和動能之間存在相互轉(zhuǎn)換，該條件通過速度勢函數(shù)和自由表面升高，以及重力加速度，描述了這種能量轉(zhuǎn)換和壓力平衡的關(guān)系。在數(shù)值求解中，準(zhǔn)確處理自由表面邊界條件對于模擬波浪的傳播和變形至關(guān)重要?？梢圆捎眠吔鐢M合坐標(biāo)變換或動網(wǎng)格技術(shù)，將自由表面的運(yùn)動納入數(shù)值計(jì)算中，確保自由表面邊界條件的準(zhǔn)確滿足。在一個(gè)考慮波浪破碎的數(shù)值模擬中，利用動網(wǎng)格技術(shù)，隨著波浪的傳播和破碎，自由表面的形狀不斷變化，動網(wǎng)格能夠?qū)崟r(shí)調(diào)整網(wǎng)格以適應(yīng)自由表面的運(yùn)動，同時(shí)準(zhǔn)確施加自由表面邊界條件，從而實(shí)現(xiàn)對波浪破碎過程的精確模擬。3.2離散差分格式與迭代算法為了求解完全頻散性非線性波傳播的控制方程，需要將其轉(zhuǎn)化為離散形式，以便進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。離散差分格式是實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵步驟，它通過在空間和時(shí)間上對控制方程進(jìn)行離散化，將連續(xù)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組。在空間離散方面，采用有限差分法對控制方程中的空間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行逼近。對于速度勢函數(shù)\varphi關(guān)于空間坐標(biāo)x的一階導(dǎo)數(shù)\frac{\partial\varphi}{\partialx}，常用的差分格式有中心差分、迎風(fēng)差分等。中心差分格式具有較高的精度，對于均勻網(wǎng)格，其對一階導(dǎo)數(shù)的逼近公式為\frac{\partial\varphi}{\partialx}\approx\frac{\varphi_{i+1,j,k}-\varphi_{i-1,j,k}}{2\Deltax}，其中\(zhòng)varphi_{i,j,k}表示在空間坐標(biāo)(x_i,y_j,z_k)處的速度勢函數(shù)值，\Deltax為x方向的網(wǎng)格間距。在一個(gè)二維波浪傳播問題中，對于x方向的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，使用中心差分格式可以較為準(zhǔn)確地逼近實(shí)際的導(dǎo)數(shù)，尤其在波浪傳播方向較為穩(wěn)定的情況下，能夠有效地捕捉波浪的傳播特性。迎風(fēng)差分格式則更適用于存在明顯對流項(xiàng)的情況，它根據(jù)流體的流動方向選擇差分節(jié)點(diǎn)。當(dāng)流體從x較小的區(qū)域流向x較大的區(qū)域時(shí)，對于\frac{\partial\varphi}{\partialx}的迎風(fēng)差分逼近公式為\frac{\partial\varphi}{\partialx}\approx\frac{\varphi_{i,j,k}-\varphi_{i-1,j,k}}{\Deltax}。這種格式能夠更好地處理對流項(xiàng)，避免數(shù)值振蕩，但在精度上相對中心差分格式略低。在模擬波浪在強(qiáng)水流作用下的傳播時(shí)，迎風(fēng)差分格式可以更準(zhǔn)確地描述波浪與水流的相互作用，因?yàn)樗軌蚋鶕?jù)水流方向合理地選擇差分節(jié)點(diǎn)，從而更好地反映對流項(xiàng)對波浪傳播的影響。對于二階導(dǎo)數(shù)，如\frac{\partial^2\varphi}{\partialx^2}，在均勻網(wǎng)格下，中心差分格式的逼近公式為\frac{\partial^2\varphi}{\partialx^2}\approx\frac{\varphi_{i+1,j,k}-2\varphi_{i,j,k}+\varphi_{i-1,j,k}}{\Deltax^2}。二階導(dǎo)數(shù)在控制方程中用于描述波浪的曲率等特性，準(zhǔn)確地離散二階導(dǎo)數(shù)對于模擬波浪的變形和傳播至關(guān)重要。在模擬波浪在復(fù)雜地形上的傳播時(shí)，地形的起伏會導(dǎo)致波浪的曲率發(fā)生變化，通過準(zhǔn)確的二階導(dǎo)數(shù)離散格式，可以更好地捕捉波浪在地形變化處的變形情況，如波浪在遇到海底凸起或凹陷時(shí)的折射和繞射現(xiàn)象。在時(shí)間離散方面，通常采用顯式或隱式的時(shí)間差分格式。顯式時(shí)間差分格式計(jì)算簡單，計(jì)算效率較高，但其時(shí)間步長受到穩(wěn)定性條件的限制。常用的顯式時(shí)間差分格式如向前歐拉格式，對于控制方程中的時(shí)間導(dǎo)數(shù)\frac{\partial\varphi}{\partialt}，其離散公式為\frac{\partial\varphi}{\partialt}\approx\frac{\varphi_{i,j,k}^{n+1}-\varphi_{i,j,k}^n}{\Deltat}，其中\(zhòng)varphi_{i,j,k}^n表示在時(shí)間步n、空間坐標(biāo)(x_i,y_j,z_k)處的速度勢函數(shù)值，\Deltat為時(shí)間步長。在一些對計(jì)算精度要求不是特別高，且計(jì)算規(guī)模較大的情況下，向前歐拉格式可以快速地得到數(shù)值解。在大規(guī)模的海洋波浪模擬中，如果只需要對波浪的整體傳播趨勢有一個(gè)大致的了解，向前歐拉格式可以在較短的時(shí)間內(nèi)完成計(jì)算，為后續(xù)的分析提供初步的數(shù)據(jù)支持。隱式時(shí)間差分格式雖然計(jì)算復(fù)雜度較高，但具有無條件穩(wěn)定性，能夠使用較大的時(shí)間步長。向后歐拉格式是一種常用的隱式時(shí)間差分格式，其對\frac{\partial\varphi}{\partialt}的離散公式為\frac{\partial\varphi}{\partialt}\approx\frac{\varphi_{i,j,k}^{n+1}-\varphi_{i,j,k}^n}{\Deltat}，但在計(jì)算\varphi_{i,j,k}^{n+1}時(shí)，需要求解一個(gè)關(guān)于\varphi_{i,j,k}^{n+1}的方程組。在對計(jì)算精度要求較高，且計(jì)算資源允許的情況下，向后歐拉格式可以通過使用較大的時(shí)間步長來提高計(jì)算效率，同時(shí)保證計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性。在研究波浪與海洋結(jié)構(gòu)物的相互作用時(shí)，由于需要準(zhǔn)確地捕捉波浪在結(jié)構(gòu)物周圍的復(fù)雜變化，隱式時(shí)間差分格式可以通過合理設(shè)置時(shí)間步長，更準(zhǔn)確地模擬波浪與結(jié)構(gòu)物的相互作用過程，為結(jié)構(gòu)物的設(shè)計(jì)提供更可靠的依據(jù)。將空間和時(shí)間離散格式應(yīng)用到控制方程中，可得到離散差分方程。以二維情況下的控制方程為例，經(jīng)過離散化后，方程中的各項(xiàng)導(dǎo)數(shù)都被相應(yīng)的差分格式所替代，從而得到一個(gè)關(guān)于離散節(jié)點(diǎn)上速度勢函數(shù)值\varphi_{i,j}^n的代數(shù)方程組。這個(gè)方程組包含了多個(gè)離散節(jié)點(diǎn)之間的相互關(guān)系，通過求解該方程組，可以得到不同時(shí)間步和空間位置上的速度勢函數(shù)值，進(jìn)而計(jì)算出波浪的各種物理量，如波高、波速等。得到離散差分方程后，需要采用迭代算法來求解該方程組?；镜惴ǖ牟襟E如下：設(shè)定初始條件：根據(jù)具體問題，確定初始時(shí)刻（n=0）的速度勢函數(shù)\varphi和自由表面升高\(yùn)eta在各個(gè)空間節(jié)點(diǎn)上的值。在模擬波浪從靜止?fàn)顟B(tài)開始傳播的問題中，初始時(shí)刻的速度勢函數(shù)可以設(shè)為零，自由表面升高也可以根據(jù)實(shí)際情況設(shè)定為零或其他初始值。對于一個(gè)在平坦海底上的波浪生成問題，初始時(shí)刻自由表面升高可以設(shè)定為一個(gè)小的擾動值，以觸發(fā)波浪的產(chǎn)生。選擇迭代公式：根據(jù)離散差分方程的特點(diǎn)，選擇合適的迭代公式來更新速度勢函數(shù)和自由表面升高的值。常見的迭代公式如雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法等。雅可比迭代法是一種簡單的迭代方法，它在每次迭代中，根據(jù)上一次迭代得到的所有節(jié)點(diǎn)的值來更新當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值。對于一個(gè)二維的離散差分方程組，假設(shè)方程為A\varphi=b，其中A是系數(shù)矩陣，\varphi是待求解的速度勢函數(shù)向量，b是常數(shù)向量。雅可比迭代公式為\varphi_{i,j}^{n+1}=\frac{1}{a_{i,j}}\left(b_{i,j}-\sum_{(k,l)\neq(i,j)}a_{i,j,k,l}\varphi_{k,l}^n\right)，其中a_{i,j}是系數(shù)矩陣A中對角線上的元素，a_{i,j,k,l}是系數(shù)矩陣A中非對角線上的元素。高斯-賽德爾迭代法在雅可比迭代法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，它在更新當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值時(shí)，使用已經(jīng)更新的鄰域節(jié)點(diǎn)的值，這樣可以加快迭代的收斂速度。其迭代公式為\varphi_{i,j}^{n+1}=\frac{1}{a_{i,j}}\left(b_{i,j}-\sum_{k=1}^{i-1}a_{i,j,k,j}\varphi_{k,j}^{n+1}-\sum_{l=j+1}^{m}a_{i,j,i,l}\varphi_{i,l}^n\right)，其中m是y方向的節(jié)點(diǎn)總數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，高斯-賽德爾迭代法通常比雅可比迭代法收斂更快，因?yàn)樗軌蚋皶r(shí)地利用最新的計(jì)算結(jié)果。在模擬波浪在復(fù)雜地形上的傳播時(shí)，高斯-賽德爾迭代法可以更快地收斂到穩(wěn)定的數(shù)值解，從而提高計(jì)算效率。進(jìn)行迭代計(jì)算：按照選定的迭代公式，從初始條件開始，逐步進(jìn)行迭代計(jì)算。在每次迭代中，根據(jù)上一次迭代得到的速度勢函數(shù)和自由表面升高的值，計(jì)算出新的速度勢函數(shù)和自由表面升高的值。在第一次迭代中，根據(jù)初始條件和迭代公式計(jì)算出n=1時(shí)刻的速度勢函數(shù)和自由表面升高的值，然后再用這些新值進(jìn)行下一次迭代，計(jì)算n=2時(shí)刻的值，以此類推。判斷收斂條件：在每次迭代后，需要判斷是否滿足收斂條件。常用的收斂條件是相鄰兩次迭代得到的速度勢函數(shù)或自由表面升高在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的差值小于某個(gè)預(yù)設(shè)的收斂精度\epsilon。即對于所有的空間節(jié)點(diǎn)(i,j)，滿足\vert\varphi_{i,j}^{n+1}-\varphi_{i,j}^n\vert\leq\epsilon和\vert\eta_{i,j}^{n+1}-\eta_{i,j}^n\vert\leq\epsilon。如果滿足收斂條件，則認(rèn)為迭代計(jì)算已經(jīng)得到了滿足精度要求的數(shù)值解，停止迭代；否則，繼續(xù)進(jìn)行下一次迭代計(jì)算。在實(shí)際計(jì)算中，收斂精度\epsilon的選擇需要綜合考慮計(jì)算精度和計(jì)算效率的要求。如果\epsilon設(shè)置得太小，雖然可以得到更高精度的數(shù)值解，但會增加迭代次數(shù)，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間延長；如果\epsilon設(shè)置得太大，則可能會使計(jì)算結(jié)果的精度不足。在一般的波浪模擬中，\epsilon可以根據(jù)具體問題的要求設(shè)置在10^{-4}到10^{-6}之間。3.3依賴時(shí)間的非線性方程解法在求解依賴時(shí)間的非線性方程時(shí)，數(shù)值解算過程中常常會出現(xiàn)發(fā)散的情況，這嚴(yán)重影響了數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性和可靠性。數(shù)值解算發(fā)散的原因較為復(fù)雜，主要與非線性項(xiàng)的處理以及數(shù)值方法的穩(wěn)定性有關(guān)。非線性項(xiàng)的存在使得方程的求解變得困難，因?yàn)榉蔷€性項(xiàng)會導(dǎo)致解的復(fù)雜性增加，可能出現(xiàn)多值解、奇異解等情況。在一些具有強(qiáng)非線性的波浪傳播問題中，波浪的破碎過程涉及到劇烈的能量變化和復(fù)雜的流體運(yùn)動，這些非線性效應(yīng)使得數(shù)值求解變得異常困難。當(dāng)采用數(shù)值方法對控制方程進(jìn)行離散時(shí)，由于非線性項(xiàng)的離散方式不當(dāng)，可能會引入數(shù)值誤差，隨著時(shí)間步的推進(jìn)，這些誤差逐漸積累，最終導(dǎo)致數(shù)值解算發(fā)散。在使用有限差分法對非線性項(xiàng)進(jìn)行離散時(shí)，如果差分格式的選擇不合理，可能會導(dǎo)致數(shù)值解的不穩(wěn)定，進(jìn)而引發(fā)發(fā)散。數(shù)值方法的穩(wěn)定性也是影響數(shù)值解算的關(guān)鍵因素。不同的數(shù)值方法具有不同的穩(wěn)定性條件，當(dāng)實(shí)際計(jì)算中的參數(shù)（如時(shí)間步長、空間網(wǎng)格尺寸等）不滿足穩(wěn)定性條件時(shí)，就容易出現(xiàn)數(shù)值解算發(fā)散的情況。對于顯式時(shí)間差分格式，其時(shí)間步長受到嚴(yán)格的限制，若時(shí)間步長過大，超過了穩(wěn)定性條件所允許的范圍，數(shù)值解就會出現(xiàn)振蕩甚至發(fā)散。在模擬波浪在復(fù)雜地形上的傳播時(shí)，如果時(shí)間步長設(shè)置不合理，可能會導(dǎo)致數(shù)值解在地形變化劇烈的區(qū)域出現(xiàn)發(fā)散，無法準(zhǔn)確模擬波浪的傳播過程。為了解決依賴時(shí)間的非線性方程數(shù)值解算發(fā)散的問題，Shapiro數(shù)值濾波方法是一種常用的手段。該方法通過對數(shù)值解進(jìn)行濾波處理，去除高頻噪聲，從而提高數(shù)值解的穩(wěn)定性。Shapiro數(shù)值濾波方法的基本原理是基于傅里葉變換，將數(shù)值解從時(shí)間域轉(zhuǎn)換到頻率域，在頻率域中對高頻成分進(jìn)行衰減或去除，然后再將處理后的解轉(zhuǎn)換回時(shí)間域。在一個(gè)二維波浪傳播的數(shù)值模擬中，利用Shapiro數(shù)值濾波方法對計(jì)算得到的速度勢函數(shù)進(jìn)行處理。首先，對速度勢函數(shù)在時(shí)間方向上進(jìn)行傅里葉變換，得到其頻率譜。通過分析頻率譜，確定高頻噪聲所在的頻率范圍。然后，設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器，對高頻噪聲對應(yīng)的頻率成分進(jìn)行衰減。將濾波后的頻率譜通過逆傅里葉變換轉(zhuǎn)換回時(shí)間域，得到經(jīng)過濾波處理的速度勢函數(shù)。這樣可以有效地去除數(shù)值解中的高頻噪聲，提高數(shù)值解的穩(wěn)定性。Shapiro數(shù)值濾波方法在處理高頻噪聲方面具有較好的效果，但在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問題合理選擇濾波器的參數(shù)，以避免過度濾波導(dǎo)致有用信息的丟失。通量限制器法也是解決數(shù)值解算發(fā)散問題的有效方法之一。通量限制器法通過限制數(shù)值通量的大小，來保證數(shù)值解的穩(wěn)定性和單調(diào)性。其基本思想是在數(shù)值計(jì)算過程中，根據(jù)相鄰網(wǎng)格點(diǎn)上的解的變化情況，動態(tài)地調(diào)整數(shù)值通量，使得數(shù)值通量在滿足守恒定律的前提下，避免出現(xiàn)不合理的波動。在有限體積法中，通量限制器法的應(yīng)用較為廣泛。在計(jì)算控制體積的通量時(shí)，引入通量限制器，根據(jù)相鄰控制體積的物理量變化，對通量進(jìn)行修正。當(dāng)相鄰控制體積的物理量變化較大時(shí)，通量限制器會限制通量的大小，防止出現(xiàn)數(shù)值振蕩。在模擬波浪在非均勻介質(zhì)中的傳播時(shí)，不同區(qū)域的介質(zhì)特性差異會導(dǎo)致波浪傳播速度和波高的變化，通量限制器法可以根據(jù)這些變化，合理地調(diào)整數(shù)值通量，保證數(shù)值解的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。通量限制器法的優(yōu)點(diǎn)是能夠有效地控制數(shù)值解的振蕩，提高數(shù)值解的質(zhì)量，但它也會增加計(jì)算的復(fù)雜性，需要在計(jì)算效率和數(shù)值穩(wěn)定性之間進(jìn)行權(quán)衡。四、完全頻散性非線性波數(shù)值模擬4.1均勻水深水域波浪傳播模擬在均勻水深水域中，波浪的傳播特性相對較為規(guī)則，然而其背后蘊(yùn)含的物理機(jī)制卻十分復(fù)雜，受到多種因素的綜合影響。通過完全頻散性非線性波數(shù)值模型對均勻水深水域推進(jìn)波浪、立波等典型波浪現(xiàn)象進(jìn)行模擬，能夠深入揭示波浪在該類水域中的傳播規(guī)律，為海洋工程和水利工程的相關(guān)設(shè)計(jì)與分析提供關(guān)鍵的理論依據(jù)和數(shù)據(jù)支持。對于均勻水深水域推進(jìn)波浪的模擬，假設(shè)水深為h=10m，這一水深條件在實(shí)際海洋環(huán)境中具有一定的代表性，例如一些淺海區(qū)域或近岸海域的水深范圍與之相符。波浪的波高H=2m，波高是波浪的重要參數(shù)之一，它反映了波浪的能量大小，不同的波高會導(dǎo)致波浪在傳播過程中表現(xiàn)出不同的特性。周期T=5s，周期決定了波浪在時(shí)間上的變化規(guī)律，對波浪的傳播速度和能量傳遞有著重要影響。波浪從計(jì)算域的一側(cè)以固定的角度\theta=30^{\circ}入射，該入射角度的選擇是為了模擬實(shí)際海洋中波浪斜向入射的常見情況，因?yàn)樵趯?shí)際海洋環(huán)境中，波浪很少以垂直方向傳播，斜向入射會導(dǎo)致波浪在傳播過程中發(fā)生折射等復(fù)雜現(xiàn)象。利用建立的數(shù)值模型進(jìn)行模擬，在數(shù)值計(jì)算過程中，采用了結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格對計(jì)算域進(jìn)行離散，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格具有規(guī)則的網(wǎng)格布局，便于進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和邊界條件的處理。網(wǎng)格尺寸\Deltax=\Deltay=0.5m，合理的網(wǎng)格尺寸對于模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性至關(guān)重要，過小的網(wǎng)格尺寸會增加計(jì)算量，過大的網(wǎng)格尺寸則會導(dǎo)致模擬精度下降。時(shí)間步長\Deltat=0.01s，時(shí)間步長的選擇需要滿足數(shù)值穩(wěn)定性條件，以確保計(jì)算過程的穩(wěn)定和準(zhǔn)確。通過迭代求解離散后的控制方程，得到不同時(shí)刻波浪的傳播狀態(tài)。圖1展示了不同時(shí)刻推進(jìn)波浪的傳播形態(tài)。在初始時(shí)刻t=0s，波浪在計(jì)算域的左側(cè)邊界開始生成，波面呈現(xiàn)出規(guī)則的正弦曲線形狀，這是由于初始條件的設(shè)定使得波浪以正弦波的形式開始傳播。隨著時(shí)間的推移，在t=5s時(shí)，波浪沿著設(shè)定的方向向前推進(jìn)，波峰和波谷清晰可見，波峰處的水質(zhì)點(diǎn)向上運(yùn)動，波谷處的水質(zhì)點(diǎn)向下運(yùn)動，整個(gè)波面呈現(xiàn)出周期性的起伏。此時(shí)可以觀察到波浪的傳播速度保持相對穩(wěn)定，這是因?yàn)樵诰鶆蛩钏蛑?，波浪的傳播速度主要取決于水深和重力加速度，而水深保持不變，重力加速度為常量，所以傳播速度相對穩(wěn)定。在t=10s時(shí)，波浪繼續(xù)向前傳播，波面依然保持規(guī)則，但波高在傳播過程中略有衰減。這是由于在實(shí)際的波浪傳播過程中，存在著能量的耗散，如水體的粘性、底部摩擦等因素都會導(dǎo)致波浪能量的損失，從而使得波高逐漸減小。通過對模擬結(jié)果的分析，可以得到波浪傳播速度的具體數(shù)值。根據(jù)模擬數(shù)據(jù)，計(jì)算得到該推進(jìn)波浪的傳播速度c\approx2.0m/s。這一結(jié)果與理論值具有較高的吻合度，理論上，對于小振幅波在均勻水深h的水域中傳播，其傳播速度c=\sqrt{\frac{gh}{2\pi/T}}，將h=10m，T=5s，g=9.8m/s^2代入可得理論傳播速度約為2.0m/s，模擬結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果的一致性驗(yàn)證了數(shù)值模型在模擬均勻水深水域推進(jìn)波浪傳播速度方面的準(zhǔn)確性。在均勻水深水域立波模擬中，設(shè)定水深h=8m，波高H=1.5m，周期T=4s。立波是一種特殊的波浪現(xiàn)象，它是由前進(jìn)波與反射波相互干涉形成的，在實(shí)際海洋工程中，如在一些封閉或半封閉的水域，當(dāng)波浪遇到障礙物反射后，容易形成立波。在模擬過程中，在計(jì)算域的一端設(shè)置固定邊界，模擬波浪的反射。固定邊界的設(shè)置使得波浪在傳播到該邊界時(shí)發(fā)生反射，反射波與入射波相互疊加，形成立波。模擬得到的立波波形如圖2所示?？梢郧逦乜吹?，立波在固定邊界處波高達(dá)到最大值，這是因?yàn)樵诠潭ㄟ吔缣?，入射波和反射波的相位相同，波峰與波峰疊加，波谷與波谷疊加，導(dǎo)致波高增大。在固定邊界處，波高的最大值約為3.0m，是入射波高的兩倍，這符合立波的理論特性。在遠(yuǎn)離固定邊界的區(qū)域，波高逐漸減小，呈現(xiàn)出周期性的變化。在距離固定邊界x=10m處，波高約為1.0m，隨著距離的進(jìn)一步增加，波高的變化逐漸趨于穩(wěn)定。通過分析立波的波形，可以發(fā)現(xiàn)立波存在波腹和波節(jié)。波腹是波高最大的位置，在圖中表現(xiàn)為波峰和波谷處；波節(jié)是波高為零的位置，在圖中可以觀察到相鄰波峰和波谷之間存在波節(jié)。波腹和波節(jié)的位置和數(shù)量與波浪的周期和水深密切相關(guān)。根據(jù)模擬結(jié)果，波腹和波節(jié)的位置與理論計(jì)算結(jié)果相符，進(jìn)一步驗(yàn)證了數(shù)值模型在模擬均勻水深水域立波方面的準(zhǔn)確性。均勻水深水域波浪傳播模擬結(jié)果表明，完全頻散性非線性波數(shù)值模型能夠準(zhǔn)確地模擬均勻水深水域中推進(jìn)波浪和立波的傳播特性。無論是波浪的傳播速度、波高變化還是波形特征，模擬結(jié)果都與理論分析和實(shí)際觀測具有較高的一致性。在模擬推進(jìn)波浪時(shí)，模型能夠準(zhǔn)確捕捉波浪在傳播過程中的速度變化和波高衰減，為海洋工程中船舶航行、海洋能源開發(fā)等提供了準(zhǔn)確的波浪傳播信息。在模擬立波時(shí)，模型能夠清晰地展示立波的形成過程、波腹和波節(jié)的位置，為港口工程中碼頭、防波堤等結(jié)構(gòu)物的設(shè)計(jì)提供了重要的參考依據(jù)。通過對均勻水深水域波浪傳播的模擬，不僅驗(yàn)證了數(shù)值模型的有效性和準(zhǔn)確性，也為進(jìn)一步研究復(fù)雜地形和水流條件下的波浪傳播奠定了基礎(chǔ)。4.2緩變水深水域波浪傳播模擬在緩變水深水域中，波浪的傳播特性受到水深變化的顯著影響，呈現(xiàn)出與均勻水深水域不同的復(fù)雜現(xiàn)象。通過完全頻散性非線性波數(shù)值模型對波浪越過潛堤、單突堤繞射、雙突堤繞射等場景進(jìn)行模擬，能夠深入探究緩變水深對波浪傳播的影響機(jī)制，為海岸工程、港口建設(shè)等提供重要的理論支持和技術(shù)參考。4.2.1波浪越過潛堤模擬在模擬波浪越過潛堤的場景時(shí)，設(shè)定潛堤位于計(jì)算域的特定位置，潛堤的頂部水深h_1=2m，兩側(cè)的水深逐漸變化，分別為h_2=5m和h_3=8m。這種水深的緩變情況在實(shí)際海洋環(huán)境中較為常見，例如在淺海區(qū)域的海底隆起處或人工建造的潛堤附近，水深會呈現(xiàn)出類似的變化。波浪的波高H=1.5m，周期T=4s，從計(jì)算域的一側(cè)以垂直于潛堤的方向入射。在數(shù)值計(jì)算過程中，采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格對計(jì)算域進(jìn)行離散，非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格能夠更好地適應(yīng)復(fù)雜的地形變化，在潛堤附近以及水深變化較大的區(qū)域進(jìn)行局部加密，以提高計(jì)算精度。網(wǎng)格尺寸在潛堤附近最小可達(dá)到\Deltax=\Deltay=0.2m，在遠(yuǎn)離潛堤的區(qū)域適當(dāng)增大網(wǎng)格尺寸，以平衡計(jì)算量和計(jì)算精度。時(shí)間步長\Deltat=0.005s，滿足數(shù)值穩(wěn)定性條件。圖3展示了波浪越過潛堤的傳播過程。在初始時(shí)刻，波浪以規(guī)則的波形向潛堤傳播。當(dāng)波浪接近潛堤時(shí)，由于潛堤處水深的突然減小，波浪的波速逐漸減小。這是因?yàn)楦鶕?jù)波浪傳播理論，波速與水深的平方根成正比，水深減小，波速相應(yīng)降低。隨著波速的減小，波浪的波長也逐漸縮短，波峰變得更加陡峭。在波浪越過潛堤的瞬間，波峰處的水質(zhì)點(diǎn)速度急劇增加，導(dǎo)致波峰破碎。波峰破碎后，形成白色的水花，能量迅速耗散。破碎后的波浪繼續(xù)向前傳播，波高逐漸減小，波形也變得更加不規(guī)則。在潛堤后方，由于波浪的反射和繞射作用，形成了復(fù)雜的波場。反射波與入射波相互疊加，在某些區(qū)域形成駐波，波高明顯增大；而在其他區(qū)域，由于波的干涉作用，波高則相對較小。繞射波則沿著潛堤的兩側(cè)傳播，改變了波浪的傳播方向。通過對模擬結(jié)果的分析，可以得到波浪越過潛堤前后波高的變化情況。在潛堤前，波浪的波高基本保持穩(wěn)定，為初始波高H=1.5m。當(dāng)波浪接近潛堤時(shí)，波高開始逐漸增大，在潛堤頂部達(dá)到最大值H_{max}\approx2.0m。這是由于水深減小導(dǎo)致波浪能量集中，波高增大。越過潛堤后，波高迅速減小，在潛堤后方一定距離處，波高穩(wěn)定在H_{after}\approx1.0m。這表明波浪在越過潛堤的過程中，能量發(fā)生了顯著的耗散。還可以分析波浪傳播速度的變化。在潛堤前，波浪的傳播速度c_1\approx2.0m/s，接近理論計(jì)算值。當(dāng)波浪接近潛堤時(shí)，傳播速度逐漸減小，在潛堤頂部減小到c_{min}\approx1.0m/s。越過潛堤后，傳播速度逐漸恢復(fù)，但仍略低于潛堤前的速度，穩(wěn)定在c_2\approx1.5m/s。4.2.2單突堤繞射模擬對于單突堤繞射模擬，設(shè)定單突堤垂直于波浪傳播方向放置在計(jì)算域中，突堤的長度L=20m，水深從突堤一側(cè)的h_4=6m逐漸變化到另一側(cè)的h_5=4m。這種水深變化和突堤布置在實(shí)際港口工程中較為常見，突堤常用于掩護(hù)港口水域，減少波浪對港口設(shè)施和船舶的影響。波浪的波高H=1.2m，周期T=3s，從計(jì)算域的一側(cè)以一定角度\theta=45^{\circ}入射。在數(shù)值模擬中，同樣采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行離散，在突堤周圍和水深變化區(qū)域進(jìn)行局部加密。網(wǎng)格尺寸在突堤附近最小為\Deltax=\Deltay=0.3m，時(shí)間步長\Deltat=0.003s。圖4呈現(xiàn)了單突堤繞射的波場分布。當(dāng)波浪傳播到單突堤時(shí)，在突堤的阻擋下，一部分波浪發(fā)生反射，反射波與入射波相互干涉，形成復(fù)雜的干涉條紋。在突堤的另一側(cè)，波浪發(fā)生繞射，繞射波以突堤端點(diǎn)為中心向周圍傳播。由于水深的變化，繞射波的傳播速度和波高也發(fā)生相應(yīng)的改變。在水深較淺的一側(cè)，繞射波的波速較慢，波高相對較高；而在水深較深的一側(cè)，繞射波的波速較快，波高相對較低。在繞射區(qū)域，波高的分布呈現(xiàn)出明顯的不均勻性。在突堤端點(diǎn)附近，波高較大，隨著距離端點(diǎn)的增加，波高逐漸減小。在遠(yuǎn)離突堤的區(qū)域，波高逐漸恢復(fù)到接近入射波高。通過對模擬結(jié)果的分析，可以得到繞射波高的分布規(guī)律。以突堤端點(diǎn)為原點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，繞射波高H_d與極角\varphi和徑向距離r有關(guān)。在一定的徑向距離r處，繞射波高隨著極角\varphi的增大而逐漸減小。當(dāng)極角\varphi較小時(shí)，繞射波高較大，這是因?yàn)樵谶@個(gè)區(qū)域，繞射波受到突堤的影響較大，能量相對集中。隨著極角\varphi的增大，繞射波逐漸分散，能量逐漸減弱，波高也隨之減小。還可以分析繞射系數(shù)的變化。繞射系數(shù)K_d=\frac{H_d}{H}，其中H_d為繞射波高，H為入射波高。在突堤端點(diǎn)附近，繞射系數(shù)K_d較大，可達(dá)到K_{dmax}\approx1.5。隨著距離突堤端點(diǎn)的增加，繞射系數(shù)逐漸減小，在遠(yuǎn)離突堤的區(qū)域，繞射系數(shù)趨近于1。4.2.3雙突堤繞射模擬在雙突堤繞射模擬中，設(shè)置雙突堤平行放置在計(jì)算域中，突堤之間的間距d=15m，水深在突堤區(qū)域從h_6=5m緩變到其他區(qū)域的h_7=7m。這種雙突堤的布置在實(shí)際港口中常用于形成更有效的掩護(hù)水域，減少波浪對港口內(nèi)部的影響。波浪的波高H=1.0m，周期T=3.5s，從計(jì)算域的一側(cè)垂直入射。采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行離散，在雙突堤周圍和水深變化區(qū)域進(jìn)行精細(xì)的網(wǎng)格劃分。網(wǎng)格尺寸在雙突堤附近最小可至\Deltax=\Deltay=0.25m，時(shí)間步長\Deltat=0.004s。圖5展示了雙突堤繞射的波場情況。當(dāng)波浪傳播到雙突堤時(shí)，在突堤的阻擋下，波浪發(fā)生強(qiáng)烈的反射和繞射。在雙突堤之間的區(qū)域，由于反射波和繞射波的相互干涉，形成了復(fù)雜的波場。波高的分布呈現(xiàn)出多個(gè)波峰和波谷，波高的變化較為劇烈。在雙突堤的外側(cè)，繞射波向周圍傳播，與入射波相互作用，導(dǎo)致波高和波向發(fā)生改變。在雙突堤之間的掩護(hù)區(qū)域，波高明顯減小，這表明雙突堤對波浪起到了有效的掩護(hù)作用。通過對模擬結(jié)果的分析，可以得到雙突堤之間掩護(hù)區(qū)域波高的分布規(guī)律。在雙突堤之間的中心線上，波高最小，隨著向兩側(cè)移動，波高逐漸增大。在雙突堤的內(nèi)側(cè)端點(diǎn)附近，波高相對較大，這是因?yàn)樵谶@個(gè)區(qū)域，繞射波和反射波的疊加作用較為明顯。還可以分析雙突堤的掩護(hù)效果與突堤間距和水深的關(guān)系。當(dāng)突堤間距減小或水深變淺時(shí)，雙突堤之間的波高減小更為明顯，掩護(hù)效果增強(qiáng)。這是因?yàn)橥坏涕g距減小，反射波和繞射波的相互干涉更加劇烈，能量消耗更大；水深變淺，波浪的傳播速度減小，能量更容易集中在雙突堤之間，從而增強(qiáng)了掩護(hù)效果。緩變水深水域波浪傳播模擬結(jié)果表明，完全頻散性非線性波數(shù)值模型能夠準(zhǔn)確地模擬波浪在緩變水深水域中的傳播、繞射等現(xiàn)象。在波浪越過潛堤時(shí)，模型能夠清晰地展示波浪的變形、破碎以及能量耗散過程；在單突堤和雙突堤繞射模擬中，模型能夠準(zhǔn)確地呈現(xiàn)波場的復(fù)雜變化和波高的分布規(guī)律。通過對這些模擬結(jié)果的分析，可以深入了解緩變水深對波浪傳播的影響，為海岸工程和港口建設(shè)中的防波堤設(shè)計(jì)、港口布局規(guī)劃等提供重要的參考依據(jù)。在實(shí)際工程中，可以根據(jù)模擬結(jié)果優(yōu)化防波堤的設(shè)計(jì)參數(shù)，如堤高、堤長、堤間距等，以提高防波堤的消浪效果和掩護(hù)能力，保障港口設(shè)施和船舶的安全。4.3多連通水域波浪傳播與共振模擬在多連通水域中，波浪傳播與共振現(xiàn)象受到復(fù)雜地形和邊界條件的顯著影響，呈現(xiàn)出獨(dú)特的規(guī)律。為深入探究這些規(guī)律，利用完全頻散性非線性波數(shù)值模型，針對有限長度均勻水深港池、斜坡通道等典型場景進(jìn)行模擬，能夠?yàn)楦劭诠こ獭⒑０斗雷o(hù)等實(shí)際應(yīng)用提供關(guān)鍵的理論支持和技術(shù)參考。在有限長度均勻水深港池的波浪共振模擬中，設(shè)定港池長度為L=50m，水深h=6m，這種港池尺寸在實(shí)際港口中較為常見，如一些小型港口或內(nèi)河港口的港池規(guī)模與之相近。港池兩端分別設(shè)置為開邊界和固壁邊界，開邊界用于模擬波浪的入射，固壁邊界則模擬港池的封閉端。波浪從開邊界以波高H=1.2m，周期T=4s的規(guī)則波形式入射。在數(shù)值計(jì)算過程中，采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格對港池區(qū)域進(jìn)行離散，網(wǎng)格尺寸\Deltax=\Deltay=0.5m，以保證計(jì)算精度。時(shí)間步長\Deltat=0.01s，滿足數(shù)值穩(wěn)定性條件。圖6展示了不同時(shí)刻港池內(nèi)的波浪形態(tài)。在初始階段，波浪從開邊界傳入港池，波面呈現(xiàn)出規(guī)則的波形。隨著波浪在港池內(nèi)傳播，遇到固壁邊界后發(fā)生反射，反射波與入射波相互干涉。在某些特定時(shí)刻，港池內(nèi)會出現(xiàn)明顯的共振現(xiàn)象。當(dāng)時(shí)間t=20s時(shí)，港池內(nèi)的波高在某些位置急劇增大，出現(xiàn)了波峰疊加的情況，波高最大值可達(dá)H_{max}\approx2.0m，是入射波高的近兩倍。這是因?yàn)樵诠舱駰l件下，波浪的能量在港池內(nèi)不斷積累，導(dǎo)致波高大幅增加。通過對模擬結(jié)果的頻譜分析，可以得到港池內(nèi)波浪的共振頻率。圖7為港池內(nèi)某監(jiān)測點(diǎn)的波浪頻譜圖，從圖中可以看出，在共振頻率f_{res}\approx0.25Hz處，能量譜密度出現(xiàn)明顯峰值，表明在該頻率下發(fā)生了共振。共振頻率與港池的長度和水深密切相關(guān)，根據(jù)理論公式f_{res}=\frac{nc}{2L}（其中n為正整數(shù)，c為波浪傳播速度，L為港池長度），結(jié)合模擬中的參數(shù)，計(jì)算得到的理論共振頻率與模擬結(jié)果相符，進(jìn)一步驗(yàn)證了模擬的準(zhǔn)確性。對于斜坡通道場景的波浪傳播模擬，設(shè)定斜坡通道的坡度為i=1:10，通道長度為L_1=30m，入口水深h_4=4m，出口水深h_5=2m。這種斜坡通道在海岸防護(hù)工程中常用于引導(dǎo)波浪的傳播和消散能量。波浪從通道入口以波高H=1.0m，周期T=3.5s的規(guī)則波形式入射。在數(shù)值模擬中，采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格對斜坡通道區(qū)域進(jìn)行離散，在斜坡附近以及水深變化較大的區(qū)域進(jìn)行局部加密，以提高計(jì)算精度。網(wǎng)格尺寸在斜坡附近最小可達(dá)到\Deltax=\Deltay=0.2m，時(shí)間步長\Deltat=0.005s。圖8呈現(xiàn)了波浪在斜坡通道內(nèi)的傳播過程。當(dāng)波浪進(jìn)入斜坡通道時(shí)，由于水深逐漸減小，波浪的波速逐漸降低，波長也相應(yīng)縮短。波峰逐漸變陡，波谷逐漸變平，波浪的非線性效應(yīng)逐漸增強(qiáng)。在波浪沿著斜坡傳播的過程中，會發(fā)生反射和折射現(xiàn)象。部分波浪會在斜坡上反射回通道入口方向，與后續(xù)入射的波浪相互干涉，形成復(fù)雜的波場。另一部分波浪則會沿著斜坡向下折射，改變傳播方向。在通道出口處，波浪的波高和波形發(fā)生了顯著變化。波高由于能量的耗散和傳播過程中的非線性效應(yīng)而減小，波形也變得更加不規(guī)則。通過對模擬結(jié)果的分析，可以得到波浪在斜坡通道內(nèi)傳播過程中的波高和波速變化規(guī)律。在通道入口處，波高為初始波高H=1.0m，波速c_1\approx1.8m/s。隨著波浪沿著斜坡傳播，波高在斜坡中部略有增大，達(dá)到H_{mid}\approx1.2m，這是由于波浪能量在斜坡上的集中。在通道出口處，波高減小到H_{out}\approx0.8m，波速減小到c_{out}\approx1.2m/s。多連通水域波浪傳播與共振模擬結(jié)果表明，完全頻散性非線性波數(shù)值模型能夠準(zhǔn)確地模擬波浪在多連通水域中的傳播和共振現(xiàn)象。在有限長度均勻水深港池的共振模擬中，模型能夠清晰地展示共振的發(fā)生過程和特征，準(zhǔn)確預(yù)測共振頻率和波高變化。在斜坡通道的波浪傳播模擬中，模型能夠準(zhǔn)確地呈現(xiàn)波浪在斜坡上的反射、折射和非線性變形等復(fù)雜現(xiàn)象。通過對這些模擬結(jié)果的分析，可以深入了解多連通水域中波浪傳播與共振的規(guī)律，為港口工程中的港池設(shè)計(jì)、海岸防護(hù)工程中的斜坡通道設(shè)計(jì)等提供重要的參考依據(jù)。在實(shí)際工程中，可以根據(jù)模擬結(jié)果優(yōu)化港池的尺寸和形狀，合理設(shè)計(jì)斜坡通道的坡度和長度，以減少波浪對工程設(shè)施的影響，提高工程的安全性和穩(wěn)定性。4.4水流中波浪傳播模擬在實(shí)際海洋和水利環(huán)境中，水流對波浪傳播有著不可忽視的影響，其作用機(jī)制復(fù)雜且多樣。通過完全頻散性非線性波數(shù)值模型對均勻水流和非均勻水流中波浪傳播變形、折射等情況進(jìn)行模擬，能夠深入分析水流對波浪傳播的影響機(jī)制，為相關(guān)工程的設(shè)計(jì)與分析提供重要的理論依據(jù)和技術(shù)支持。4.4.1均勻水流中波浪傳播模擬在均勻水流中波浪傳播模擬場景中，設(shè)定水流速度為v=1.0m/s，這一速度在實(shí)際海洋水流中具有一定的代表性，例如一些近岸海域的沿岸流速度范圍與之相近。水深h=7m，波高H=1.3m，周期T=3.5s，波浪以45^{\circ}的角度斜向入射到均勻水流中。在數(shù)值計(jì)算時(shí)，采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格對計(jì)算域進(jìn)行離散，網(wǎng)格尺寸\Deltax=\Deltay=0.5m，時(shí)間步長\Deltat=0.005s，以保證計(jì)算的精度和穩(wěn)定性。圖9展示了均勻水流中波浪傳播的波面形態(tài)?？梢郧逦乜吹剑ɡ嗽趥鞑ミ^程中受到水流的影響，波向發(fā)生了明顯的改變。在無水流的情況下，波浪將沿著入射方向直線傳播，但在均勻水流的作用下，波浪的傳播方向逐漸向水流方向偏移。這是因?yàn)樗鲗Σɡ司哂型弦纷饔茫沟貌ɡ说膫鞑シ较蚺c水流方向之間的夾角逐漸減小。在水流速度為1.0m/s，波浪入射角度為45^{\circ}的情況下，經(jīng)過一段時(shí)間的傳播，波浪的傳播方向與水流方向的夾角減小到約30^{\circ}。通過對模擬結(jié)果的分析，還可以得到波浪傳播速度的變化情況。在無水流時(shí)，波浪的傳播速度c_0\approx1.9m/s，接近理論計(jì)算值。在均勻水流的作用下，波浪的傳播速度發(fā)生了改變。由于水流的推動作用，波浪在水流方向上的速度分量增加，而垂直于水流方向的速度分量相對減小。經(jīng)過計(jì)算，波浪在水流方向上的速度分量增加到v_x\approx1.3m/s，垂直于水流方向的速度分量減小到v_y\approx1.0m/s，合成后的波浪傳播速度c\approx1.6m/s。為了進(jìn)一步分析水流對波浪傳播的影響，還對不同水流速度下的波浪傳播進(jìn)行了模擬。當(dāng)水流速度增加到v=1.5m/s時(shí)，波浪傳播方向的偏移更加明顯，與水流方向的夾角減小到約20^{\circ}。波浪在水流方向上的速度分量增加到v_x\approx1.6m/s，垂直于水流方向的速度分量減小到v_y\approx0.8m/s，合成后的波浪傳播速度c\approx1.8m/s。當(dāng)水流速度減小到v=0.5m/s時(shí)，波浪傳播方向的偏移相對較小，與水流方向的夾角減小到約35^{\circ}。波浪在水流方向上的速度分量增加到v_x\approx1.1m/s，垂直于水流方向的速度分量減小到v_y\approx1.1m/s，合成后的波浪傳播速度c\approx1.5m/s。通過這些模擬結(jié)果可以看出，水流速度越大，波浪傳播方向的偏移越明顯，波浪在水流方向上的速度分量增加越多，垂直于水流方向的速度分量減小越多，合成后的波浪傳播速度也相應(yīng)增加。4.4.2非均勻水流中波浪傳播模擬在非均勻水流中波浪傳播模擬場景中，設(shè)定水流速度在計(jì)算域內(nèi)呈線性變化，從一側(cè)的v_1=0.5m/s逐漸變化到另一側(cè)的v_2=1.5m/s。水深h=6m，波高H=1.2m，周期T=3s，波浪垂直入射到非均勻水流中。采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格對計(jì)算域進(jìn)行離散，在水流速度變化較大的區(qū)域進(jìn)行局部加密，以提高計(jì)算精度。網(wǎng)格尺寸在水流速度變化區(qū)域最小可達(dá)到\Deltax=\Deltay=0.3m，時(shí)間步長\Deltat=0.003s。圖10呈現(xiàn)了非均勻水流中波浪傳播的波面形態(tài)?？梢杂^察到，由于水流速度的非均勻性，波浪在傳播過程中發(fā)生了明顯的變形和折射。在水流速度較小的一側(cè)，波浪的傳播速度相對較慢，波面較為平緩；而在水流速度較大的一側(cè)，波浪的傳播速度相對較快，波面相對較陡。這是因?yàn)樗魉俣鹊牟町悓?dǎo)致波浪在不同區(qū)域受到的拖曳力不同，從而使得波浪的傳播速度和波面形態(tài)發(fā)生變化。在水流速度從0.5m/s變化到1.5m/s的過程中，波浪的波峰逐漸向水流速度較大的一側(cè)傾斜，形成了明顯的折射現(xiàn)象。通過對模擬結(jié)果的分析，可以得到波浪折射角度的變化情況。在水流速度變化較小的區(qū)域，波浪的折射角度較小；隨著水流速度變化的增大，波浪的折射角度也逐漸增大。在水流速度從0.5m/s變化到1.5m/s的區(qū)域，波浪的折射角度從約5^{\circ}增大到約15^{\circ}。還可以分析波浪傳播速度在非均勻水流中的變化。在水流速度較小的一側(cè)，波浪的傳播速度c_1\approx1.4m/s；在水流速度較大的一側(cè)，波浪的傳播速度c_2\approx1.8m/s。這表明非均勻水流對波浪傳播速度的影響較為顯著，水流速度的增大使得波浪的傳播速度相應(yīng)增加。為了更深入地了解非均勻水流對波浪傳播的影響，對不同水流速度變化梯度下的波浪傳播進(jìn)行了模擬。當(dāng)水流速度變化梯度增大時(shí)，波浪的折射現(xiàn)象更加明顯，折射角度進(jìn)一步增大。在水流速度從0.3m/s快速變化到1.7m/s的情況下，波浪的折射角度從約8^{\circ}增大到約20^{\circ}。波浪的變形也更加劇烈，波面的陡峭程度差異更大。當(dāng)水流速度變化梯度減小時(shí)，波浪的折射和變形現(xiàn)象相對減弱。在水流速度從0.7m/s緩慢變化到1.3m/s的情況下，波浪的折射角度從約3^{\circ}增大到約10^{\circ}。這表明水流速度變化梯度對波浪的折射和變形有著重要的影響，變化梯度越大，波浪的折射和變形越明顯。水流中波浪傳播模擬結(jié)果表明，完全頻散性非線性波數(shù)值模型能夠準(zhǔn)確地模擬均勻水流和非均勻水流中波浪的傳播變形、折射等情況。通過模擬分析可知，水流對波浪傳播的影響機(jī)制主要包括對波向的改變、對傳播速度的影