1第16章二次根式第一部分基礎(chǔ)回顧101基礎(chǔ)知識 07第二部分考點過關(guān) 202二次根式的意義 09 09204最簡二次根式 10 10 207分母有理化 210二次根式的加減(字母類) 211二次根式混合運算 第四部分單元測試卷401單元測試卷 第五部分期末真題訓練501期末真題訓練 第六部分中考真題訓練601中考真題鏈接 2第17章勾股定理第一部分基礎(chǔ)回顧101基礎(chǔ)知識 201勾股定理 202勾股定理的證明 36203勾股定理的逆定理 39204勾股數(shù) 40 301思維訓練 42第四部分單元測試卷401單元測試卷 43第五部分期末真題訓練501期末真題訓練 47601中考真題鏈接 58 3205平行四邊形的性質(zhì)(面積類) 206平行四邊形的性質(zhì)(周長類) 207平行四邊形的判定(定義法) 208平行四邊形的判定(兩組對邊分別相等) 209平行四邊形的判定(一組對邊平行且相等) 64210平行四邊形的判定(對角線) 211平行四邊形的性質(zhì)和判定 66212菱形的性質(zhì)(四邊相等) 68213菱形的性質(zhì)(對角線問題) 69214菱形的判定(對角線加平四) 69215菱形的判定(定義法) 70 217矩形的性質(zhì)(角) 219矩形“特角問題” 74220矩形的判定(定義法) 75221矩形的判定(對角線) 76222矩形的判定(角) 223正方形的性質(zhì) 78224正方形的判定 79225三角形中位線定理 81226中點四邊形 82301思維訓練 84401單元測試卷 88第五部分期末真題訓練501期末真題訓練鏈接 4第六部分中考真題鏈接 第19章一次函數(shù) 第二部分考點過關(guān)201一次函數(shù)定義001 202一次函數(shù)定義002 203正比例函數(shù)定義001 204正比例函數(shù)定義002 206正比例函數(shù)的圖像 207一次函數(shù)的性質(zhì) 208正比例函數(shù)的性質(zhì) 214利用待定系數(shù)法確定正比例函數(shù)解析式 215利用待定系數(shù)法解決一次函數(shù)和正比例函數(shù)綜合問題 219一次函數(shù)圖像的平行問題 221一次函數(shù)的應(yīng)用 5 第四部分單元測試卷401單元測試卷 第六部分中考真題訓練 第20章數(shù)據(jù)的分析 201算術(shù)平均數(shù)001 158202算術(shù)平均數(shù)002 158203加權(quán)平均數(shù) 205眾數(shù) 206極差 207方差001 208方差002 209統(tǒng)計量的選擇 301統(tǒng)計量的選擇 6 166 170第六部分中考真題訓練 1837101基礎(chǔ)知識(3)√ab=√a·√b(a≥0,b≥0).(1)因式的外移和內(nèi)移(3)二次根式的加、減法8(4)二次根式的乘、除法二次根式相乘(除),把被開方數(shù)相乘(除),所得的積(商)仍作積(商)的被開方(1)把化為,然后分母有理化為7.運用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)[√ab=√a·√b,(a≥0,b≥0)],二次根式的性質(zhì) 然后列出不等式(組),求其解代入所求代數(shù)式9201二次根式的定義 A.√a+1A.√5 A.√-3B.√xC.√x2+1202二次根式的意義【課堂練習】式意義的條件是()A.x≠2B.x>-2A.x≥-1B.x>-1且x≠0C.x≠0D.x≥-1且x≠0A.x≤3B.x≤3且x≠0C.x<3203二次根式的性質(zhì)與化簡 A.-y√xB.x A.√(-3)2=-3B.-√(-3)2=-3C.√(±3)2=±3【考前再練】當a<-3時，化簡√(2a-1)2+√(a+3)2的結(jié)果是()A.a-4B.4-aC.-3a-2【案例分析】下列二次根式中，是最簡二次根式的是()【課堂練習】下列根式中，不是最簡二次根式的是()A.√17B.√0.1C.√26D.【課后鞏固】下列各式不是最簡二次根式的是()【考前再練】下列根式中，最簡二次根式是()C.a≥3D.a取任意實數(shù)【課堂練習】下列各數(shù)中，與√2的積仍為無理數(shù)的是()【課后鞏固】計算并化簡3√6×2√2,得到的結(jié)果是()【案例分析】計算：的結(jié)果是() 207分母有理化【考前再練】化208同類二次根式 209二次根式的加減(數(shù)字類)【案例分析】計算： 【課后鞏固】計算：【考前再練】計算：√72-3√18+2√8.210二次根式的加減(字母類)【案例分析】【課堂練習】計算題：【課后鞏固】化簡：【考前再練】化簡：211二次根式混合運算【案例分析】計算：【課后鞏固】計算： 212二次根式化簡求值【案例分析】已知,求：(x+1)2+x-1【課堂練習】已知求x2-4x+2的值.【課后鞏固】已知x+y=-4,xy=1,求的值.第三部分思維訓練301思維訓練一.填空題(共4小題)1.若關(guān)于x的方程-2x+m√2019-x+4020=0存在整數(shù)解，則正整數(shù)m的所有取值的和因此猜想：√12345678987654321=也叫三斜求積公式，即如果一個三角形的三邊長分別為a,b,c,則該三角形的面積為S二.解答題(共25小題)現(xiàn)已知△ABC的三邊長分別為1,2,√5,則△ABC角形的周長.6.閱讀下列解題過程：利用上述解法化簡下列各式7.觀察下列各式及驗證過程：式①:式②:(1)針對上述式①、式②的規(guī)律，請再寫出一條按以上規(guī)律變化的式子；(2)請寫出滿足上述規(guī)律的用n(n為任意自然數(shù)，且n≥2)表示的等式，并加以驗證.(1)求它的周長(要求結(jié)果化簡);(2)請你給出一個適當?shù)膞值，使它的周長為整數(shù)，并求出此時三角形周長的值.黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無敵.這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，取長補短，威力無比.(√5+√2)(√5-√2)=3,它們其中一個是另一個的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣理解：如：乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化.(1)4-√7的有理化因式可以是________,分母有理化得__.(2)計算：求x2+y2的值；6,xy=4,反之3-2√2=2-2√2+1=(√2-1)2(3)已知x=√4-√12,求的值(結(jié)果保留根號)16.閱讀下面的文字后，回答問題：其中a=5.”甲、乙兩人的解答不同；(1)的解答是錯誤的.(2)錯誤的解答在于未能正確運用二次根式的性質(zhì)：_·(3)模仿上題解答：化簡并求值：17.是否存在這樣的整數(shù)x,使它同時滿足以下兩個條件：若存在，求出x的值，若不存在，說明理由.求的值.18.已知實數(shù)a、b滿求的值.19.我們學習了整式的乘法，對于完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2至今我們還記憶猶新，利用這個公式可把3+2√2=(√2)2+2×1×√2+12(1)請把下列各式都配成完全平方的形式20.閱讀材料：規(guī)定初中考試不能使用計算器后，小明是這樣解決問題的：已知他是這樣分析與解的：請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：(2)使用以上方法化簡：21.斐波那契(約1170-1250,意大利數(shù)學家)數(shù)列是按某種規(guī)律排列的一列數(shù)，他發(fā)現(xiàn)該數(shù)列中的每個正整數(shù)都可以用無理數(shù)的形式表示，如第n(n為正整數(shù))個數(shù)an可表(1)計算第一個數(shù)a1;(2)計算第二個數(shù)a2;22.閱讀：古希臘的幾何家海倫，在數(shù)學史上以解決幾何測量問題而聞名，在他的著作《度量》一書中，給出了一公式：如果一個三角形的三邊長分別為a、b、c.記：則三角形的面積S為S=√p(p-a)(p-b)(p-c),此公式稱為“海倫公式”思考運用：已知李大爺有一塊三角形的菜地，如圖，測得AB=7m,AC=5m,BC=8m,你能求出李大爺這塊菜地的面積嗎?試試看.(結(jié)果精確到0.1)參考數(shù)據(jù)√2=1.414,23.在學習了“二次根式”后，李梅在練習冊上遇到了下列這道題，請你幫李梅完成該題.一個長方體的塑料容器中裝滿水，該塑料容器的底面是邊長為√224cm的正方形，現(xiàn)將塑料容器的一部分水倒入一個高為√490cm的圓柱形玻璃容器中，當玻璃容器裝滿水時，塑料容器中的水面下降了√40cm(提示：圓柱的體積=πr2h,其中，r為底面的半徑，h為高，π取3)(1)求從塑料容器中倒出的水的體積；(2)求圓柱形玻璃容器的底面的半徑.以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.還可以用以下方法化簡：①參照(Ⅲ)式(2)化簡：,并完成后面兩問的作答：解：由,解得：x=2017,∴y=2018.27.二次根式的乘法在生活和高科技領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.如圖，在“神州八號”中要將√35πcm,那么圓的半徑應(yīng)是多少? 28.根據(jù)愛因斯坦的相對論，當?shù)孛嫔辖?jīng)過1秒時，宇宙飛船內(nèi)只經(jīng)過,其中r是指宇宙飛船的速度，c是指光速(約30萬千米/秒).假定有一對親兄弟，哥哥23歲，弟弟20歲，哥乘著以光速0.98倍的速度飛行的宇宙飛船做了5年宇宙旅行后回來了，這個5年是指地面上的5年，所以弟弟的年齡為25年.可是哥哥的年齡在這段時間里只長了一歲，只有24歲，就這樣，宇宙旅行后弟弟比哥哥反而大了1歲，請你用以上公式驗證一下這個結(jié)論.29.若a+b=2,則稱a與b是關(guān)于1的平衡數(shù).(1)3與是關(guān)于1的平衡數(shù)，5-√2與是關(guān)于1的平衡數(shù)；數(shù)，并說明理由.第四部分單元測試401《二次根式》單元測試卷一.選擇題(共6小題)1.下列各式中，正確的是()2.下列二次根式中，是最簡二次根式的是()A.√0.2B.√a2-b23.把二次根式化為最簡二次根式結(jié)果是()B.√xy(y>0)D.以上都不對A.①和②B.②和③5.化簡：的結(jié)果是()C.①和④D.③和④6.當a≥0時，√a2,√(-a)2,-√a2中，比較它們的結(jié)果，下面四個選項中正確的是A.√a2=√(-a)2≥-√a2B.√a2>√(-a)2>-√a2C.√a2<√(-a)2<-√a2二.填空題(共8小題)是二次根式.三.解答題(共4小題)由于4+3=7,4×3=12,即(√4)2+(√3)2=7,√4·√3=√12,第五部分期末真題鏈接501《二次根式》期末真題鏈接一.選擇題(共3小題)A.2a√2aB.4√2a3C.2√2a32.下列二次根式中，是最簡二次根式的是()3.√9的平方根是()A.3二.填空題(共4小題)7.估計與0.5的大小關(guān)系是：.5.(填“>”、“=”、“<”)三.解答題(共3小題)9.計算：(2)(x-2)2-(x+3)(x-3).第六部分中考真題鏈接一.選擇題(共1小題)A.√3B.2√3C.3√3D二.填空題(共2小題)三.解答題(共8小題)4.計算4sin45°+(π-2)?-√18+|-1|101基礎(chǔ)知識1.勾股定理表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理.我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊2.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.大正方形面積為S=(a+b)2=a2+方法三：,化簡得證3.勾股定理的適用范圍4.勾股定理的應(yīng)用5、利用勾股定理作長為n的線段思路點撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于√2,直角邊為√2和1的直角三角形斜邊長就是√3,,類似地可作√5。作法：如圖所示(1)作直角邊為1(單位長)的等腰直角△ACB,使AB為斜邊；(2)以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角△B?BA。斜邊為B?A;(3)順次這樣做下去，最后做到直角三角形AB?B?,,這樣斜邊AB、AB1、AB?、AB?的長度就是舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示√10的點。為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)，而10又是9和1這兩個完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點，使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以O(shè)C為半徑，以0為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點B即為√10。注：逆命題與勾股定理逆定理可以判斷真假的陳述句叫做命題，寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1.原命題：貓有四只腳.(正確)2.原命題：對頂角相等(正確)3.原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等.(正確)4.原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等.(正確)思路點撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。解析：1.逆命題：有四只腳的是貓(不正確)2.逆命題：相等的角是對頂角(不正確)3.逆命題：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.(正確)4.逆命題：到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.(正確)總結(jié)升華：本題是為了學習勾股定理的逆命題做準備。勾股定理的逆定理的證明方法要掌握，書74頁如果三角形三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形，其中c為(2)驗證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2=a2+b2,則△ABC是以∠C為直角的直角(定理中a,b,c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a,b,c滿足a2+c2=b2,那么以a,b,c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊)3:勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系4:互逆命題的概念規(guī)律方法指導(dǎo)2.勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)3.勾股定理在應(yīng)用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應(yīng)用過程中易犯4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a,b,c角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法.5.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數(shù)運算，一個叫做它的逆命題。(例：勾股定理與勾股定理逆定理)時，以a,b,c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2+b2>c2,時，以a,b,c為三邊的②定理中a,b,c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a,b,c滿足a2+c2=b2,那么以a,b,c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊③勾股定理的逆定理在用問題描述時，說成：當斜正整數(shù)時，稱a,b,c為一組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等n2-1,2n,n2+1(n≥2,n為正整數(shù));2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1(n為正整數(shù))m2-n2,2mn,m2+n2(m>n,m,n為正整數(shù))8.勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題.在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了和直角邊各是什么,以便運用勾股定理進行計算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線(通常作垂線),構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解.9勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論.勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是相成，完成對問題的解決.201勾股定理【案例分析】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°.EDABC,AD=3則CD的長為()A.6A.√2A.2【考前再練】在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=5,BC=4,則AC的長是()202勾股定理的證明x(1)小明發(fā)明了求正方形邊長的方法：因為AB=BD+AD,所以a-x+b-x=c,解得(2)小亮也發(fā)現(xiàn)了另一種求正方形邊長的方法：(3)請結(jié)合小明和小亮得到的結(jié)論驗證勾股定理.【課堂練習】閱讀理解：【問題情境】教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1,利用此圖，可以驗證勾股定理嗎?【探索新知】從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn)：大正方形的面積=小正方形的面積+4個直角三角形的面積從而得數(shù)學等式：;(用含字母a、b、c的式子表示)【初步運用】(1)如圖1,若b=2a,則小正方形面積：大正方形面積=;(2)現(xiàn)將圖1中上方的兩直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2,若a=4,b=6此時空白部分的【遷移運用】如果用三張含60°的全等三角形紙片，能否拼成一個特殊圖形呢?帶著這個疑問，小麗拼出圖3的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗證，發(fā)現(xiàn)含60°的三角形三邊a、b、c之間的關(guān)系，寫出此等量關(guān)系式及其推導(dǎo)過程.知識補充：如圖4,含60°的直角三角形，對邊y:斜邊x=定值k.aaba【課后鞏固】(1)我國著名的數(shù)學家趙爽，早在公元3世紀，就把一個矩形分成四個全等的直角三角形，用四個全等的直角三角形拼成了一個大的正方形(如圖1),這個矩形稱為趙爽弦圖，驗證了一個非常要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系證明：∵大正方形面積表示為S=c2,又可表示為S=即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.(2)愛動腦筋的小明把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形(如圖2),也能驗證這個結(jié)論，請你幫助小明完成驗證的過程，aCC【考前再練】閱讀材料，并完成相應(yīng)任務(wù).2000多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，不但因為這個定理重要、基本，還因為這個定理貼近人們的生活實際，所以很多人都探討、研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn).下面的圖形是傳說中畢達哥拉斯的證明圖形：證明：①在圖1中，∵S大正方形=(a+b)2,S大正方形=4個直角三角形的面積+兩個正的面積②在圖2中，∵S大正方形=(a+b)2,S大正方形=4個直角三角形的面積+正方形的面積整理得：2ab+a2+b2=2ab+c2任務(wù)：(1)將材料中的空缺部分補充完整；(2)如圖3,在△ABC中，∠A=60°,∠ACB=75°,CD⊥AB,AC=4,求BC的長.aa203勾股定理的逆定理【案例分析】如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=2,CD=3,AD=1,(2)求證△ACD是直角三角形.(3)求四邊形ABCD的面積?【課堂練習】在四邊形ABCD中，AC⊥DC,AD=13cm,DC=12cm,AB=3c求四邊形ABCD的面積.【課后鞏固】如圖所示，四邊形ABCD,∠B=90°,AB=3cm,BC=4cm,CD=12cm,AD(2)求四邊形ABCD的面積.【考前再練】如圖，每個小正方形的邊長都為1(1)求四邊形ABCD的周長；(2)求∠BCD的大小.204勾股數(shù)【案例分析】下列給出的四組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是()A.1,2,3B.2,3,4C.2,4,5【課堂練習】下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是()A.7,12,13C.0.3,0.4,0.5D.8,【課后鞏固】下列各組數(shù)中，為勾股數(shù)的是()A.1,2,3B.3,4,5C.1.5,2,2.5D.5,10,12【考前再練】下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是()A.1,2,3205勾股定理的應(yīng)用【案例分析】如圖，某校有一塊四邊形空地ABCD,現(xiàn)計劃在該空地上種草皮，經(jīng)測量∠B=90°,AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA=13m,求這塊場地的面積.【課堂練習】一塊土地的形狀如圖所示，∠B=90°=24m,求這塊地的面積.【課后鞏固】如圖，一架2.5m長的梯子AB斜靠在墻AC上，梯子的頂端A離地面的高度為2.4m,如果梯子的底部B向外滑出1.3m后停在DE位置上，則梯子的【考前再練】如圖，在吳中區(qū)上方山動物園里有兩只猴子在一棵樹CD上的點B處，且BC=5m,它們都要到池塘A處吃東西，其中一只猴子甲沿樹爬至C再沿CA走到離樹24m處的池塘A處，另一只猴子乙先爬到樹頂D處后再沿纜繩DA線段滑到A處.已知猴子甲所經(jīng)過的路程比猴子乙所經(jīng)過的路程多2m,設(shè)BD為xm.(1)請用含有x的整式表示線段AD的長為m;(2)求這棵樹高有多少米?第三部分思維訓練301思維訓練1.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為A(1,0),等腰直角三角形ABC的邊AB在x軸的正半軸上，∠ABC=90°,點B在點A的右側(cè)，點C在第一象限.將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)75°,如果點C的對應(yīng)點E恰好落在y軸的正半軸上，那么邊AB的2(人大附)小明將一張正方形包裝紙，剪成圖1所示形狀，用它包在一個棱長為10的正方體的表面(不考慮接縫),如圖2所示.小明所用正方形包裝紙的邊長至少為()A.40B.30+2√2C.20√2D.10+10√2的高，求AD第四部分單元測試401《勾股定理》單元測試卷一.選擇題(共4小題)1.下列三角形中，是直角三角形的是()A.三角形的三邊滿足關(guān)系a+b=cB.三角形的三邊比為1:2:3C.三角形的一邊等于另一邊的一半D.三角形的三邊為9,40,412.如圖，某市在“舊城改造”中計劃在一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米a元，則購買這種草皮至少要()ABCD的面積為8,則BE=()A.2B.3C.2√24.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB于點D,AB=13,CD=6,二.填空題(共8小題)5.一個三角形的三邊長分別為6,8,10,則這個三角形最長邊上的高是_6.若等邊三角形的邊長為2,則它的面積是_7.如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四個小正方形的面積的和是10cm2,則其中最大的正方形的邊長為cm.8.如圖，B、C是河岸邊兩點，A是對岸岸邊一點，測得∠ABC=45°,∠ACB=45°,BC9.已知：如圖，△ABC中，∠C=90°,點O為△ABC的三條角平分線的交點，OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,點D,E,F分別是垂足，且BC=8cm,CA=6cm,則點O到三邊AB,AC和BC的距離分別等于cm.10.如圖所示，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AB=6,BC=8,將直角邊AB折疊使它落在斜邊AC上，折痕為AD,則BD=_·11.△ABC中，AB=AC=13,若AB邊上的高CD=5,則BC=12.如圖，AB=5,AC=3,BC邊上的中線AD=2三.解答題(共7小題)13.已知：如圖，在△ABC中，∠CAB=120°,AB=4,AC=2,AD⊥BC,D是垂足.求AD的長.BB14.如圖，已知一塊四邊形的草地ABCD,其中∠A=60°,∠B=∠D=90°,AB=20米，CD=10米，求這塊草地的面積.15.△ABC中，AB=AC=4,點P在BC邊上運動，猜想AP2+PB·PC的值是否隨點P位置的變化而變化，并證明你的猜想.17.如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm,高為6cm,如果用一根細線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達B(B為棱的中點),那么所用細線最短需要多長?如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達點B,那么所用細線最短需要多長?為3,另一種紙片的兩條直角邊長分別為1和3.圖1、圖2、圖3是三張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1.(1)請用三種方法(拼出的兩個圖形只要不全等就認為是不同的拼法)將圖中所給四塊直角三角形紙片拼成平行四邊形(非矩形),每種方法要把圖中所給的四塊直角三角形紙片全部用上，互不重疊且不留空隙，并把你所拼得的圖形按實際大小畫在圖1,圖2,圖3的方格紙上(要求：所畫圖形各頂點必須與方格紙中的小正方形頂點重合；畫圖時，要(2)三種方法所拼得的平行四邊形的面積是否是定值?若是定值，請直接寫出這個定值；(3)三種方法所拼得的平行四邊形的周長是否是定值?若是定值，請直接寫出這個定值；若不是定值，請直接寫出三種方法所拼得的平行四邊形的周長各是多少.圖2圖1圖3圖2圖1圖319.有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為6m,8m.現(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形，求擴充后等腰三角形綠地的周第五部分期末真題鏈接501《勾股定理》期末真題鏈接一.選擇題(共7小題)D重合，折痕為MN,則線段BN的長為()A.4A.23.下列以a,b,c為邊的三角形，不是直角三角形的是()A.a=1,b=1,c=√2B.a=1,b=√3,c=2C.a=3,b=4,c=54.如圖，將△ABC放在正方形網(wǎng)格圖中(圖中每個小正方形的邊長均為1),點A,B,C恰好在網(wǎng)格圖中的格點上，那么△ABC中BC的高是()5.下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是()A.4,5,6B.5,12,13C.2,3,4D.1,√6.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的對邊分別是a,b,c,下列條件中，不能判定△ABC是直角三角形的是()7.小紅同學經(jīng)常要測量學校旗桿的高度，她發(fā)現(xiàn)旗桿的繩子剛好垂到地面上，當她把繩子下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)這時繩子的下端正好距地面1m,學校旗桿的高度是()A.21mB.13mC.10m9.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(4,-3),且OA=5,在x軸上確定一點P,使△AOP為等腰三角形.(1)寫出一個符合題意的點P的坐標(2)請在圖中畫出所有符合條件的△AOP.10.《九章算術(shù)》中記載“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.問：折者高幾何?”譯文：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部3尺遠.問：原處還有多高的竹子?(1丈=10尺)答：原處的竹子還有尺12.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架.其中第九卷《勾股》主要講述了以測量問題為中心的直角三角形三邊互求，之中記載了一道有趣的“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何?”譯文：“今有正方形水池邊長為1丈，有棵蘆葦生長在它長出水面的部分為1尺.將蘆葦?shù)闹醒?，向池岸牽引，恰好與水岸齊接.問水深，蘆葦?shù)拈L度分別是多少尺?”(備注：如果設(shè)水深為x尺，那么蘆葦長用含x的代數(shù)式可表示為尺，根據(jù)題意，可列方程為13.等腰三角形的一腰長為3,底邊長為4,那么它底邊上的高為_14.如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交AC,BC于點D,E.若△ABC的周長為30,BE=5,則△ABD的周長為15.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形.設(shè)直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b,若ab=8,大正方形的面積為25,則小正方形的邊長為_16.已知△ABC中，DE垂直平分AB,如果△ABC的周長為22,AB=10,則△ACD的周長17.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架.其中記載了一個“折竹抵地”問題：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，問折者高幾何?”譯文：“有一根竹子，原高二丈(1丈=10尺),現(xiàn)被風折斷，竹梢觸地面處與竹根的距離為6尺，問折斷處離地面的高度為多少尺?”如圖，我們用點A,B,C分別表示竹梢，竹根和折斷處，設(shè)折斷處離地面的高度BC=x尺，則可列方程為_.18.如圖，在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=11cm,BD19.如圖，在6×6正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1cm)中，網(wǎng)格線的交點稱為格點，AC=6cm,BC=8cm,那么EB的長為cm,DE的長為22.如圖，在△ABC中，∠C=90°,AB=10,則△ABD的面積為.是△ABC的一條角平分線.若CD=3,CAB的距離是cm.CC恰好落在對角線AC上的點F處，則BE的長為_.25.如圖，每個小正方形的邊長為1,在△ABC中，點D為AB的中點，則線段CD的長26.我國古代偉大的數(shù)學家劉徽將勾股形(古人稱直角三角形為勾股形)分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的就用了這種分割方法，若BD=2,AE=3,則正方形ODCE的邊長等于·27.如圖，正方形ABCD是由四個全等的直角三角形圍成的，若AE=5,BE=12,則EF三.解答題(共11小題)28.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(10,8),過點A作AB⊥x軸于點B,AC⊥y軸于點C,點D在AB上.將△CAD沿直線CD翻折，點A恰好落在x軸上的點(1)依題意在圖中畫出△CDE;29.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,分別以A、B為圓心，大于.長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N,作直線MN,與AB交于點D,與BC交于點E,連結(jié)AE.(1)由作圖可知：直線MN是線段AB的;(2)AEBE(填“>、<、=”);(3)當AC=3,AB=5時，求△ACE的周長.31.已知：如圖，有一塊凹四邊形土地ABCD,∠ADC=90°,AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,求這塊四邊形土地的面積.32.(1)在如下6×6的網(wǎng)格中(每個小正方形邊長均為1).畫出一個面積為10的正方形；(2)在如圖所示數(shù)軸上找到表示-√5的點(保留畫圖痕跡).AD的長度和△ABD的面積.請按要求解決問題.(1)在BC邊上求作一點D,使得點D到AB邊的距離等于DC的長.(用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法)35.如圖，四邊形ABCD中，∠B=90°,∠ACB=30°,AB=2,CD=3,AD=5.(1)求證：AC⊥CD;(2)求四邊形ABCD的面積.36.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°,BD⊥AC于點D,E是AC上一點，且DE=DA,若AB=15,BC=20,求EC的長.37.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1,每個小正方形的頂點叫做格點.(1)以格點為頂點畫△ABC,使AB=√2,BC=2√2,AC=√10(畫一個即可);(2)求△ABC的面積.38.如圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格，下面是勾股定理的探索與驗證過程，請補充完整：第六部分中考真題鏈接601《勾股定理》中考真題鏈接一.填空題(共1小題)點).第十八四邊形第一部分基礎(chǔ)知識(二)特殊四邊形的一些重要性質(zhì)邊角對角線四對邊平行；對邊相等。對角相等；互相平分中心對稱矩形對邊平行；對邊相等。四個角都是直角中心對稱軸對稱(2)菱形對邊平行；四邊相等。對角相等；1、互相垂直且平分；2、各自平分一組對角。中心對稱軸對稱(2)正方形對邊平行；四邊相等。四個角都是直角1、相等且互相垂直平2、各自平分一組對角。中心對稱軸對稱(4) (三)特殊四邊形的判定邊角對角線四1、四邊形+兩組對邊分別平2、四邊形+兩組對邊分別相3、四邊形+一組對邊相等且平4、四邊形+兩組對角相5、四邊形+對角線互矩形1、四邊形+三個直角；2、平行四邊形+一個直3、平行四邊形+對角線相等4、四邊形+對角線相菱形1、四邊形+四邊相等；2、平行四邊形+一組鄰邊相3、平行四邊形+對角線互相垂直；1、矩形+鄰邊相等；2、菱形十一個直角；3、四邊形+對角線相等且互相垂直平分；關(guān)鍵點：抓住其與上級四邊形的特殊性來判定。第二部分考點過關(guān)【案例分析】從八邊形一個頂點出發(fā)可以引()條對角線.A.4B.5【課堂練習】我們知道，四邊形有2條對角線，五邊形有5條對角線，那么十二邊形的對角線總條數(shù)是()A.9B.54【課后鞏固】五邊形的對角線一共有()【考前再練】若一個多邊形共有14條對角線，則這個多邊形的邊數(shù)是()A.10B.7C.14【案例分析】一個多邊形的內(nèi)角和比外角和多540°,這個多邊形為()【課堂練習】下列度數(shù)不能成為某多邊形的內(nèi)角和的是()A.1440°B.1080°C.900°【課后鞏固】若n邊形的內(nèi)角和等于外角和的4倍，則邊數(shù)n為()A.10B.8【考前再練】如圖所示，已知△ABC中，∠A=80°,若沿圖中虛線剪去∠A,則∠1+∠2A.90°B.135°C.260°203平行四邊形的性質(zhì)(線段類)【案例分析】如圖，口ABCD中，下列說法一定正確的是()A.AC=BDB.AC⊥BDC.AO=COD.AB=BC【課堂練習】在□ABCD中、如果∠A=65°、那么∠C的度數(shù)是()A.115°B.65°C.25°【課后鞏固】若平行四邊形其中兩個內(nèi)角的度數(shù)之比為1:4,則其中較小的內(nèi)角是()A.30°B.36°C.45°【考前再練】如圖，口ABCD的對角線AC與BD相交于點O,AC⊥BC,且AB=10,AD=6,則OB的長度為()204平行四邊形的性質(zhì)(角度類)【案例分析】在□ABCD中、如果∠A=65°、那么∠C的度數(shù)是()A.115°B.65°【課堂練習】若平行四邊形其中兩個內(nèi)角的度數(shù)之比為1:4,則其中較小的內(nèi)角是()A.30°B.36°C.45°=60°,則∠C的度數(shù)是()A.120°B.30°C.60°【考前再練】在平行四邊形ABCD中，∠A=65°,則∠C的度數(shù)是()A.65°B.105°C.115°205平行四邊形的性質(zhì)(面積類)【案例分析】如圖，口ABCD的對角線交于點O,已知△OCD的面積等于3,則ABCD的面積等于()例分析】則口ABCD的面積為()A.4B.6C.12ABCD=20,則S△DOE的值為()【考前再練】如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,AC=10,BD=6,AD⊥BD.在邊AB上取一點E,使AE=AO,則△AEO的面積為()206平行四邊形的性質(zhì)(周長類)【案例分析】如圖，在□ABCD中，對角線AC、BD交于點O,E是BC邊上的中點，若OE=2,AD=5,則ABCD的周長為()A.9B.16A.20cmB.22cmC.25cmD.30cm【課后鞏固】如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,點E是邊CD的中點，連接OE.若平行四邊形ABCD的周長為24,BD=8,則△DOE的周長為()A.10B.12C.1【考前再練】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AB邊上一點，連接DE、CE.若DE、A.10B.8√2207平行四邊形的判定(定義法)【案例分析】如圖，AD是△ABC邊BC上的中線，AE//中點，連結(jié)CE.求證：四邊形ADCE是平行四邊形.【課堂練習】如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，AE平分∠BAC,CP⊥AE,垂足為E,EF//BC.求證：四邊形BDEF是平行四邊形.【課后鞏固】平行四邊形的其中一個判定定理是：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.請你證明這個判定定理.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.(2)求證：四邊形AFDE是平行四邊形.208平行四邊形的判定(兩組對邊分別相等)【案例分析】已知如圖，點C、D在線段AF上，AD=CD=CF,∠ABC=∠DEF=90°,AB//EF.(2)求證：四邊形BCED是平行四邊形.【課堂練習】如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,BD⊥AD,點E,F分別是邊AB,CD的中點，且DE=BF.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.【課后鞏固】如圖已知△ABC,分別以△ABC的三邊為邊在△ABC的同側(cè)作三個等邊三角形：△ABE.△BCD.△ACF,求證：四邊形DEAF是平行四邊形.【考前再練】如圖，已知∠A=∠D,AB=DC,AC、BD相交于0,(3)作△BDC關(guān)于直線BC的對稱圖形△BEC,求證：四邊形ABEC是平行四邊形.209平行四邊形的判定(一組對邊平行且相等)【案例分析】如圖，已知，AE⊥BD于E點，CF⊥BD于F點，∠1=∠2,BE=DF,連接AB,CD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.BD,求證：四邊形ABDF是平行四邊形.【課后鞏固】如圖所示，△ABC中，∠ABC=90°,D、E分別為AB、AC的中點，延長DE到F,使EF=2DE.求證：四邊形BCFE是平行四邊形.【考前再練】如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CE//AB,DE交AC于點F,若FA=FC.210平行四邊形的判定(對角線)【案例分析】如圖，四邊形ABCD中，AC,BD求證：四邊形ABCD是平行四邊形.【課堂練習】如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°,E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線相交于點F,連接CF.四邊形BDFC是平行四邊形嗎?證明你的結(jié)論.【課后鞏固】如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°,AD=1,BC=3,E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線相交于點F.求證：四邊形BDFC是平行四邊形.【考前再練】如圖所示，四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O,且OA=0C,OB=OD,在線段OB和OD上，有點E和F且DE=BF,連接AE,CE,AF和CF,求證：四邊形AECF為平行四邊形.211平行四邊形的性質(zhì)和判定(2)連接BE和AF相交于點G,DF和CE相交于點H,求證：EF和GH互相平分.連接DE,F【課堂練習】如圖，將平行四邊形ABCD的BA邊延長至點連接DE,F是DC邊的中點，連接AF.(1)求證：四邊形AFDE是平行四邊形.【課后鞏固】如圖，已知E是平行四邊形ABCD中BC邊的中點，AC是對角線，連結(jié)AE并延長AE交DC的延長線于點F,連結(jié)BF.求證：四邊形ABFC是平行四邊形.【考前再練】如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O,直線EF過點0分別交BC,212菱形的性質(zhì)(四邊相等)【案例分析】如圖，在菱形ABCD中，BD=5√3,∠BAD=120°,則菱形ABCD的周長【課堂練習】如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E是AD的中點，連結(jié)OE.若OE=3,則菱形ABCD的周長是(CCA.6B.12C.18【課后鞏固】已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長度分別為8cm和6cm,則菱形ABCD的周長是()A.10cmB.16cmC.20cmD.40cm【考前再練】如圖，在菱形ABCD中，E,F分別是AC,AD的中點，若EF=2,則菱形ABCDA.8B.12【案例分析】菱形的邊長是2cm,一條對角線的長是2cm,則另一條對角線的長約是()A.4cmB.1cmC.√3cmD.2√3cm【課堂練習】菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6和8,則這個菱形的邊長是()A.6B.4【課后鞏固】如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點O,AC=16,BD=12,則菱形的A.5B【考前再練】菱形ABCD的邊長為13cm,其中對角線BD長10cm,菱形ABCD的面積為()A.60cm2B.120cm2C.130cm2D.240cm2【案例分析】已知：如圖，在□ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,AB=√5,OA=2,OB=1,求證：口ABCD是菱形.AH至點F,使FH=EH.求證：四邊形EBFC是菱形.F,連接AF、BE.求證：四邊形AFBE是菱形.【考前再練】在□ABCD中，對角線AC,BD相交于點O.EF過點O且與ABCD分別相交于點E,F(I)如圖①,求證：OE=OF;(II)如圖②,若EF⊥DB,垂足為0,求證：四邊形BEDF是菱形.圖①圖②215菱形的判定(定義法)AD于點F,AE與BF交于點O,連接EF.求證：四邊形ABEF是菱形.接DE,DF.求證：四邊形DFCE是菱形.A作AF//BC交BE的延長線于點F,連接CF.(2)證明四邊形ADCF是菱形.【考前再練】如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，已知DE平分∠ADC,交AB于點E,過點E作EF//AD,交DC于F,求證：四邊形AEFD是菱形.216菱形的判定(四邊相等)【案例分析】如圖，在△ABC中，點D,E,F分別是AB,AC,BC的中點，AF⊥BC.求證：四邊形ADFE是菱形.【課堂練習】如圖，在□ABCD中，點E,F分別在AD,BC邊上，且EF垂AC,垂足為0.求證：四邊形AECF為菱形.【課后鞏固】如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點E、F分別為AB、BC邊的中點，求證：四邊形BDEF為菱形.BC于點Q,連結(jié)BP,DQ,求證：四邊形PBQD是菱形.217矩形的性質(zhì)(角)【課堂練習】如圖，在長方形ABCD中，E為BC邊上一點，AE=AD,∠BAE的平分線交DE的延長線于點P,則∠P的度數(shù)為_.【課后鞏固】如圖，在長方形ABCD中，AB=2,BC=4,點P在AD上，若△PBC為直角三角形，則CP的長為【考前再練】在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O,若∠ACB=30°,則∠AOB218矩形的性質(zhì)(對角線)【案例分析】如圖，延長矩形ABCD的邊BC至點E,使CE=BD,連結(jié)AE,如果∠ABD=m°,則∠E=度(用含m的代數(shù)式表示).【課堂練習】如圖，矩形ABCD中，AB<BC,AC、BD交于點O,若AB=AO=4,則S矩【課后鞏固】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,若∠AOD=120°,AB【考前再練】如圖，矩形ABCD的對角線C與BD相交點O,AC=20,P、Q分別為AO、219矩形“特角問題”【案例分析】如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,∠AOB=120°,AD=3,【課堂練習】在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O,若∠ACB=30°,則∠AOB的度數(shù)是.【課后鞏固】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,若∠AOD=120°,AB【考前再練】若矩形的對角線長為8cm,兩條對角線的一個交角為120°,則該矩形的面積cm2220矩形的判定(定義法)【案例分析】在平行四邊形ABCD中，AB=6,AC=10,AD=8.求證：平行四邊形ABCD是矩形.【課堂練習】如圖，△ABC中，AC=BC,CD⊥AB于點D,四邊形DBCE是平行四邊形.求證：四邊形ADCE是矩形.【課后鞏固】如圖，在△ABC中，0是AC上的一個動點(不與點A、C重合),過0點作(1)試說明：OE=OF;(2)當0點運動到何處時，四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論.【考前再練】如圖，已知△ABC中，AB=AC,AD是角平分線，F(xiàn)為BA延長線上的一點，221矩形的判定(對角線)【案例分析】如圖，已知菱形ABCD,延長AD點到F,使DF=AD,延長CD到點E,使DE=CD,順次連接點A、C、F、E、A,求證：四邊形ACFE是矩形.(1)求證：四邊形ACDE是平行四邊形；(2)連接EC交AD于點O,若∠EOD=2∠B,求證：四邊形ACDE是矩形.【課后鞏固】如圖，將口ABCD的邊DA延長到點F,使DA=AF,CF交邊AB于點E.(1)求證：BE=AE;(2)若2∠D=∠BEF,求證：四邊形AFBC是矩形.【考前再練】如圖，AC、BD相交于點O,且O是AC、BD的中點，點E在四邊形ABCD外，且∠AEC=∠BED=90°,求證：四邊形ABCD是矩形.222矩形的判定(角)【案例分析】工人師傅在測量一個門框是否是矩形時，只需要用到一個直角尺，則他用到的∠BCD、∠CDA的平分線，AQ與BN相交于點P,CN與DQ相交于點M,判斷四邊形MNPQ的形狀，并證明你的結(jié)論.∠BCD,∠CDA的角平分線，且相交于點O,K,H,G,求證：四邊形HGOK是矩形.EF交正方形外角的平分線CF于點F.(1)若∠EAF=45°,求證：EF=BE+DF;(2)若該正方形ABCD的邊長為1,如果△CEF的周長為【課堂練習】求∠EAF的度數(shù).【課后鞏固】如圖，已知在正方形ABCD中、點E是BC邊上一點，F(xiàn)為AB延長線上一點，(1)若∠BAE=18°,求∠EFC的度數(shù)；(2)求證：AE⊥CF.【考前再練】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，∠EAF=45°.(2)如圖(2),若AH⊥EF于點H,試判斷線段AH與AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.224正方形的判定【案例分析】如圖，點D是線段AB的中點，點C是線段AB的垂直平分線上的任意點，DE⊥AC于點E,DF⊥BC于點F.(2)線段CD與AB滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形CEDF成為正方形?請說明理由.別是點EF,且BF=CE.(2)問：△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形，并說明理由.【課后鞏固】如圖，四邊形ABCD是矩形，E是BD上的一點，∠BAE=∠B∠CEB,求證：四邊形ABCD是正方形.角∠MAC的角平分線，延長DF交AN于點E,連接CE.(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)填空：①若BC=AB=4,則四邊形ABDE的面積為②當△ABC滿足_時，四邊形ADCE是正方形.225三角形中位線定理(1)AB=6,AC=4,求四邊形AEDF的周長；(2)EF與AD有怎樣的位置關(guān)系?證明你的結(jié)論.【課堂練習】如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=90°,AC=AD,E,F分別是AC,CD的中點，連接BE,EF,BE,求證：∠1=∠【課堂練習】【課后鞏固】如圖，四邊形ABCD中，E、F分別為AB、AD的中點，若E的中點，N為DC的中點.求證：∠PMN=∠PNM.【案例分析】我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊