第十五章軸對(duì)稱大單元教學(xué)設(shè)計(jì) “軸對(duì)稱”位于人教版八年級(jí)上冊(cè)第15章，在初中數(shù)學(xué)體系里占據(jù)關(guān)鍵位置。它是對(duì)圖形變換的深入探究，此前學(xué)生已接觸簡(jiǎn)單平面圖形，像三角形、四邊形等，也了解平移這一圖形變換方式。軸對(duì)稱作為又一基礎(chǔ)圖形變化，不但豐富了圖形變換的知識(shí)架構(gòu)，還為后續(xù)學(xué)習(xí)等腰三角形方形等特殊圖形的性質(zhì)與判定筑牢根基。在現(xiàn)實(shí)生活中，軸對(duì)稱現(xiàn)象隨處可見(jiàn)，如建筑設(shè)日常用品等，通過(guò)對(duì)這一章節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能更好地感2022版初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)在“圖形與幾何”領(lǐng)域著重強(qiáng)調(diào)圖形的變化，軸對(duì)稱便屬于其中關(guān)鍵主題。依邏輯推理：在探究軸對(duì)稱性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)定理與判定定理、等腰三角直觀想象：借助繪制軸對(duì)稱圖形、利用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱等活動(dòng)，增強(qiáng)對(duì)圖形數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)解決諸如最短路徑等實(shí)際問(wèn)題，將實(shí)際情境抽象八年級(jí)學(xué)生正處于從形象思維向抽象思維過(guò)渡的關(guān)鍵階段，他們且具備一定的觀察、分析和歸納能力。此前已學(xué)習(xí)過(guò)一些基本圖形和圖形變換知識(shí)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，但在抽象概念的理解以及邏輯推理的嚴(yán)密性上還有待提升。在學(xué)習(xí)本章時(shí)，學(xué)生能夠輕松識(shí)活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，可對(duì)于精準(zhǔn)提煉軸對(duì)稱的數(shù)學(xué)概念或許存在一定難度；程中，部分學(xué)生可能在思路梳理和推理表述 單元教學(xué)目標(biāo)●透徹理解線段垂直平分線、等腰三角形、等邊三角形的概念，牢固掌握其性質(zhì)定理與判定定理，并能●在解決問(wèn)題過(guò)程中，積極嘗試不同策略●在解決問(wèn)題遭遇困難時(shí)，勇于堅(jiān)持和 活動(dòng)一軸對(duì)稱及其性質(zhì)活動(dòng)二線段的垂直平分線活動(dòng)三軸對(duì)稱的圖形的畫(huà)法活動(dòng)四等腰三角形活動(dòng)五最短路徑問(wèn)題 躍度和對(duì)知識(shí)的理解程度。對(duì)于主動(dòng)發(fā)言且回答正確的學(xué)生給予口頭表?yè)P(yáng)；●作業(yè)完成情況：認(rèn)真批改作業(yè)，對(duì)作業(yè)完成質(zhì)量高、解題思路清晰、書(shū)寫(xiě)規(guī)范的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng)，并在班級(jí)展示優(yōu)秀作業(yè)；針對(duì)作業(yè)中存在的普遍問(wèn)題，在課堂上集中講解；對(duì)于個(gè)別學(xué)生的問(wèn)題，進(jìn)行單現(xiàn)突出的小組和個(gè)人進(jìn)行記錄，活動(dòng)結(jié)束后進(jìn)行總結(jié)評(píng)價(jià)，可通過(guò)小組自評(píng)、互評(píng)和教師評(píng)價(jià)相結(jié)合 知識(shí)的掌握程度，包括概念理解、性質(zhì)運(yùn)用、定理證明、圖形繪制以及實(shí)際問(wèn)題解決等方面。嚴(yán)格按●項(xiàng)目式學(xué)習(xí)成果展示：布置項(xiàng)目式學(xué)習(xí)任務(wù)，如讓學(xué)生利用軸對(duì)稱知識(shí)設(shè)計(jì)一個(gè)校園景觀方案藝術(shù)品等。學(xué)生以小組形式完成項(xiàng)目，在課堂上進(jìn)行成果展示。從項(xiàng)目的創(chuàng)新性、實(shí)用性、數(shù)學(xué)知識(shí) 反思性教學(xué)改進(jìn) 單元教學(xué)結(jié)構(gòu)圖相關(guān)分線關(guān)于y軸對(duì)稱等腰三角形軸對(duì)稱活動(dòng)一軸對(duì)稱及其性質(zhì)如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這條直線就是它的對(duì)稱軸.追問(wèn)：以下是我們常見(jiàn)的電子設(shè)備中的液晶數(shù)字，哪些是軸對(duì)稱?活動(dòng)：每人輪流按順序報(bào)一個(gè)字母，如果你認(rèn)為你所報(bào)的字母的形狀是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，你就迅速站起來(lái)報(bào)是，并說(shuō)出它有幾條對(duì)稱軸；如果你認(rèn)為你報(bào)的字母的形狀不是軸對(duì)稱圖形，那么,你只需坐在座位上報(bào)不是就可以了.其他同學(xué)認(rèn)真聽(tīng)，如果報(bào)錯(cuò)了，及時(shí)提醒.K追問(wèn)：常見(jiàn)的國(guó)旗中哪些是軸對(duì)稱圖形?圖形圖形形2形4四邊02三角形三角3131思考：下面的每對(duì)圖形有什么共同特點(diǎn)?又有什么區(qū)別?把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這圖形區(qū)別1.都是沿著某條直線折疊后能重合2.可以通過(guò)分割或整合互相轉(zhuǎn)化.兩個(gè)有特殊位置關(guān)系的全等圖形;■情境引入■探究新知CC⊥MN.線段垂直平分線的定義：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.如圖，MN⊥AA',AP=A'P.直線MN是線段AA′的垂直平分線.圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分思考：如圖，直線1垂直平分線段AB,P1,P2,P3,……是1上的點(diǎn)，請(qǐng)你猜想點(diǎn)P1,P2,P3,…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之間的數(shù)量關(guān)系.AP?的長(zhǎng)猜想：AP=BP.追問(wèn)：你能證明以上猜想嗎?點(diǎn)P在1上.線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.師生活動(dòng)：觀察圖片，動(dòng)手實(shí)踐，得出線段垂直平分線的性質(zhì)。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力。例1.如圖，AD⊥BC,BD=DC,點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AB,AC,CE的長(zhǎng)度有什么關(guān)系?AB+BD與DE有什么關(guān)系?例2.如圖，在△ABC中，BC=8,AB的垂直平分線交BC于D,AC的垂直平分線交BC于E,求△ADE的周長(zhǎng).=8.思考：如果PA=PB,那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢?已知：如圖，PA=PB.求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.證明：過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線PC,垂足為點(diǎn)C.在Rt△PCA和Rt△PCB中，線段垂直平分線的判定：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.應(yīng)用格式：∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.例3.△ABC中，AB=AC,D在AB邊上，M在線段AD上，且MB=MC,求證：DB=DC.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題的解答，讓學(xué)生真正掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生變相思考問(wèn)題的能力，運(yùn)用知識(shí).學(xué)生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).從上面兩個(gè)結(jié)論可以看出，線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.所以線段的垂直平分線可以看成與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.思考：分析上面關(guān)于線段的垂直平分線的兩個(gè)命題，它們的題設(shè)和結(jié)論有什么關(guān)系?你還學(xué)習(xí)過(guò)其他具有類似關(guān)系的命題嗎?這兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反.我們把具有這種關(guān)系的兩個(gè)命題叫作互逆命題，如果把其中一個(gè)叫作原命題，那么另一個(gè)叫作它的逆命題.一般地，原命題成立時(shí)，它的逆命題可能成立，也可能不成立.例如，上面關(guān)于垂直平分線的兩個(gè)互逆命題都是成立的；如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫作互逆定理，其中一個(gè)定理叫作另一個(gè)定理的逆定理.在幾何中，有許多互逆的定理.例如，上面關(guān)于垂直平分線的兩個(gè)互逆命題是互逆定理，“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”和“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”也是互逆定理.你還能舉出類似的例子嗎?例4.命題：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角的平分線互相垂直.(1)請(qǐng)寫(xiě)出該命題的逆命題；(2)判斷(1)中的命題是否是真命題?如果是真命題，請(qǐng)畫(huà)圖，寫(xiě)出已知、求證，并證明：如果是假命題，請(qǐng)舉反例畫(huà)圖說(shuō)明.思考：我們知道下面的圖形是對(duì)稱的，那么我們應(yīng)該如何驗(yàn)證呢?又如何作出它們的對(duì)稱軸呢?如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，你能作出這條直線嗎?分析：我們只要連接點(diǎn)A和點(diǎn)B,作出線段AB的垂直平分線，就可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的對(duì)稱軸.為此作出到點(diǎn)A,B的距離相等的兩點(diǎn)，即線段AB的垂直平分線上的兩點(diǎn)，從而作出線段AB的垂直平分線.(1)分別以點(diǎn)A,B為圓心，以大于1/2AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于C,D兩點(diǎn)；(2)作直線CD.CD即為所求.例5.如圖，某小區(qū)有A,B,C三個(gè)單元，現(xiàn)準(zhǔn)備在小區(qū)內(nèi)建一個(gè)純凈水取水點(diǎn)，要求取水點(diǎn)到三個(gè)單元追問(wèn)：根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法，你會(huì)作軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸嗎?對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就得到此圖形的對(duì)稱軸.師生活動(dòng)：利用尺規(guī)作圖，明確作圖步驟和方法，教師指導(dǎo)。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)習(xí)線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖，解決實(shí)際問(wèn)題，為學(xué)習(xí)作圖形的對(duì)稱軸做鋪墊。思考：右圖中的六角星有幾條對(duì)稱軸?如何作出這些對(duì)稱軸呢?(1)找出六角星上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A和B,連接AB.(2)作出線段AB的垂直平分線1.則1就是這個(gè)六角星的一條對(duì)稱軸.用同樣的方法，一共可以找出六條對(duì)稱軸，所以六角星有六條對(duì)稱軸.例6.畫(huà)出下列圖形的對(duì)稱軸.思考：尺規(guī)作圖：經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.追問(wèn)：你能寫(xiě)出已知和求作嗎?求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.追問(wèn)1:為什么直線CF即為所求?∵從作法的(2)(3)步可知CD=CE,DF=EF,追問(wèn)2:為什么任意取一點(diǎn)K,使點(diǎn)K與點(diǎn)C在直線兩旁?追問(wèn)3:為什么要以大于1/2DE的長(zhǎng)為半徑作弧?活動(dòng)三軸對(duì)稱的圖形的畫(huà)法■情境引入個(gè)圖形的對(duì)稱軸的方法.■探究新知追問(wèn)：1.點(diǎn)P和點(diǎn)P’有何關(guān)系?2.線段PP’與對(duì)稱軸有何關(guān)系?歸納：由一個(gè)平面圖形可以得到與它關(guān)于一條直線1對(duì)稱的圖形，這個(gè)圖形與原圖形的形狀、大小完全相同(位置、朝向可能不同);新圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)；連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分.■應(yīng)用新知例1.已知點(diǎn)A和直線1,畫(huà)出點(diǎn)A關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)A'.解：如圖所示即為所求，步驟如下：1.過(guò)點(diǎn)A作直線1的垂線，垂足為O,2.在垂線上截取OA′=OA,3.點(diǎn)A'就是點(diǎn)A關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn).例2.已知線段AB和直線1,畫(huà)出線段AB關(guān)于直線1的對(duì)稱線段A'B'.1(1)過(guò)點(diǎn)A作直線1的垂線，垂足為0,在垂線上截取OA′=OA,點(diǎn)A′就是點(diǎn)A關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn).(2)過(guò)點(diǎn)B作直線1的垂線，垂足為P,在垂線上截取PB′=PB,點(diǎn)B'就是點(diǎn)B關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn).(3)連接A’、B',則線段A'B′即是所畫(huà).思考：已知線段AB,畫(huà)出AB關(guān)于直線1對(duì)稱的線段.歸納總結(jié)：幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，對(duì)于某些圖形，只要畫(huà)出圖形中的一些特殊點(diǎn)(如線段端點(diǎn))的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.(1)特殊點(diǎn)對(duì)畫(huà)軸對(duì)稱圖形特別重要，找特殊點(diǎn)時(shí)，要把確定圖形形狀的特殊點(diǎn)找全，否則畫(huà)出的圖形將不準(zhǔn)確或不完整.(2)常見(jiàn)的特殊點(diǎn)，除線段的端點(diǎn)外，還有線與線的交點(diǎn)、中點(diǎn)等.1.在原圖形上找特殊點(diǎn)(如線段端點(diǎn))例3.如圖，把下列圖形補(bǔ)成關(guān)于直線1對(duì)稱的圖形.例4.如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC是格點(diǎn)三角形.(請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺完成以下作圖，保留作圖痕跡).(2)請(qǐng)?jiān)谥本€1上找一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到A,C兩點(diǎn)的距離相等.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)踐，讓學(xué)生真正掌握軸對(duì)稱圖形的畫(huà)法，加深對(duì)軸對(duì)稱性質(zhì)的理解.思考：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中你能畫(huà)出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′嗎?追問(wèn)1:你能說(shuō)出點(diǎn)A與點(diǎn)A'坐標(biāo)的關(guān)系嗎?追問(wèn)2:你能寫(xiě)出其他點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)嗎?這些對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)有何特點(diǎn)?已知點(diǎn)總結(jié)：關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)：橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).思考：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中你能畫(huà)出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′嗎?追問(wèn)1:你能說(shuō)出點(diǎn)A與點(diǎn)A'坐標(biāo)的關(guān)系嗎?追問(wèn)2:你能寫(xiě)出其他點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)嗎?這些對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)有何特點(diǎn)?已知點(diǎn)總結(jié)：關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)：縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).-3.2)關(guān)手A(3.2)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)觀察、操作、交流得出體會(huì)一對(duì)關(guān)于x軸或者y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，加強(qiáng)學(xué)生用數(shù)■應(yīng)用新知1.點(diǎn)P(-5,6)與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為2.點(diǎn)M(a,-5)與點(diǎn)N(-2,b)關(guān)于x軸對(duì)稱，則a=,b=3.點(diǎn)P(-5,6)與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為4.點(diǎn)M(a,-5)與點(diǎn)N(-2,b)關(guān)于y軸對(duì)稱，則a=,b=.5.點(diǎn)M(a,-5)與點(diǎn)N(-2,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a=,b=.例6.如圖，已知網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.解：(1)如右圖所示；A'(3,3),B'(5,1),C"(1(2)S△ABC連接：按原圖對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接所描各點(diǎn)得到對(duì)稱圖形.例7.已知點(diǎn)A(2a—b,5+a),B(2b-1,—a(1)若點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，(2)若A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，求(4a+b)2025的值.解得a=-8,b=-5.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)例題鞏固所學(xué)，熟悉點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)活動(dòng)四等腰三角形■情境引入■探究新知另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.思考：找一張等腰三角形紙片，動(dòng)手折一折，它是軸對(duì)稱圖形嗎?其中有哪些相等的角和線段?相等的角∠BAD與∠CAD追問(wèn)1:你能寫(xiě)出已知和求證嗎?追問(wèn)2:你能寫(xiě)出證明過(guò)程嗎?方法1:作底邊上的中線.證明：作頂角的平分線AD,師生活動(dòng)：學(xué)習(xí)等腰三角形的概念，舉手回答問(wèn)題，學(xué)生思考等邊對(duì)等角的證明方法。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)折紙活動(dòng)理解等腰三角形的性質(zhì)1,通過(guò)一題多解鍛煉學(xué)生的邏輯思維。例1.填空：(1)等腰直角三角形的每一個(gè)銳角的度數(shù)是;(2)如果等腰三角形的底角等于40°,那么它的頂角的度數(shù)是_;(3)如果等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角等于80°,那么這個(gè)三角形的最小內(nèi)角等于例2.如圖，∠AOB=15°,且OA=AB=BC=CD.求∠1的度數(shù).例3.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理完成下列填空.(2)∵AD是中線，(3)∵AD是角平分線，CC總結(jié)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡(jiǎn)寫(xiě)成“三線合一”).注意：一定是需要底邊上的中線和高才行!例4.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.求證：(1)△AEF≌△CEB;(2)AF=2CD.CC證明：(1)∵AD⊥BC,∴∠B+∠BAD=90°,CC解：(2)設(shè)∠A=x,則x+2x+2x=180°,師生活動(dòng)：學(xué)生思考例題，主動(dòng)練習(xí)，教師引導(dǎo)學(xué)生解題并講評(píng)。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)例題鞏固所學(xué)，熟悉等腰三角形的性質(zhì)，并能利用其熟練解題。等腰三角形的判定方法：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.(簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”).cc圖形性質(zhì)的三角形是等邊對(duì)等角三線合一師生活動(dòng)：結(jié)合猜想，學(xué)生說(shuō)出已知和求證，指定學(xué)生板演。教師歸納定理，寫(xiě)出幾何語(yǔ)言，同時(shí)講解判定和性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系。習(xí)的過(guò)程中領(lǐng)悟得到真命題的方法。例6.如圖，D是AC上的一點(diǎn).例7.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC,過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線DE交AB于E,試說(shuō)明DE=BE的理由.∴∠ABD=∠DBC(角的平分線的意義)∵DE//BC(已知)∴∠DBC=∠EDB(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∴∠ABD=∠EDB(等量代換)例8.尺規(guī)作圖：已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為a,底邊上的高為h(如圖所示),求作這個(gè)等腰三角形.(1)作線段AB=a.(2)作線段AB的垂直平分線MN與AB相交于點(diǎn)D.(4)連接AC,BC,則△ABC就是所作的等腰三角形思考：下面的交通標(biāo)志是什么圖形?什么是等腰三角形?在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底與腰相等，即三角形的三邊相等，我們把三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.追問(wèn)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角之間有何關(guān)系?等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.已知：△ABC中，AB=AC=BC.求證：∠A=∠B=∠C=60°.證明：∵AB=AC,∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角).同理，∠A=∠C.追問(wèn)：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎?有幾條對(duì)稱軸?等邊三角形一定是銳角三角形嗎?(1)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有3條對(duì)稱軸.(2)等邊三角形三個(gè)角都相等，都是60°(3)等邊三角形三條邊都相等.(4)等邊三角形一定是銳角三角形.(5)等邊三角形每條邊上的中線，高和所對(duì)角的平分線都“三線合一”三條對(duì)稱軸圖形三個(gè)角都相等，且都是60°底邊上的中線、相重合1條對(duì)稱軸例9.如圖，△ABC為等邊三角形，DEI|BC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.∴△ADE為等邊三角形.CC等腰三角形是等邊三角形.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形思考：如圖，在Rt△ABC中，∠BCA=90°,如果∠A=30°,那么直角邊BC與斜邊AB有什么關(guān)系呢?在Rt△ABC中，若∠A=30°,則活動(dòng)三：結(jié)論證明含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊■II■II例13.如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB例13.如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題的解答，讓學(xué)生真正掌握知識(shí)的應(yīng)用，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生變相思考問(wèn)題的能力，運(yùn)用知識(shí).學(xué)生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).最短路徑問(wèn)題入思考：如圖，一位將軍從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊1飲馬，然后到B地，將軍到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短?思考：如何把前面我們提到的“將軍飲馬”問(wèn)題抽象成我們熟知的數(shù)學(xué)問(wèn)題?將A,B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河1抽象為一條直線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在直線1上確定一點(diǎn)C,使得AC+BC最短.分別是直線1異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在1上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離的和最短?連接AB,與直線1相交于點(diǎn)C.根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”,可知這個(gè)交點(diǎn)C即為所求.追問(wèn)2:如果點(diǎn)A,B分別是直線1同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決?能夠借助異側(cè)兩點(diǎn)的思路來(lái)解決同如果將點(diǎn)B“移”到1的另一側(cè)B′處，滿足直線1上的任意一點(diǎn)C,都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等，就可以了!利用軸對(duì)稱，作出點(diǎn)B關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)B'.(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)B';(2)連接AB',與直線1相交于點(diǎn)C.則點(diǎn)C即為所求.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)情境引入，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，利用異側(cè)兩點(diǎn)之間的最短距離的學(xué)習(xí)，類比同側(cè)兩點(diǎn)之例1.如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C在小正方形(2)在直線MN上找一點(diǎn)P,使PB+PC的長(zhǎng)最短.(1)分別作出點(diǎn)A,B,C關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接即可；(2)由題意，PB+PC=PB+PF,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可求作.最小值.解：如圖，作D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)M,關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)N,連接CM,CN,CD,EN,FM,DN,DM.DE+EF+FD的值最小為MN=2CD,∴CD=12/5,∴DE+EF+FD的最小值為24/5.A理由：另任作橋M?N?,連接AM,BN?,A?N?.由平移的性質(zhì)知AM=A?N,AA?=MN=MAM+MN+BN轉(zhuǎn)化為AA?+A?B,+M?N?+BN?轉(zhuǎn)化為AA?+A?N?+BN?.(1)如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)A';(3)連接A'B',分別交直線/1,12于點(diǎn)C,D,解：作AF⊥CD,且AF=河寬，作BG⊥CE,且BG=河寬，連接GF,與內(nèi)河岸相交于E',D'.過(guò)E',D'作河岸的垂線段DD',EE′即為橋.理由：由平移的性質(zhì)可知，AD//FD',AD=FD'.由兩點(diǎn)之間線段最短可知，GF最小.1.本節(jié)課你學(xué)到了什么?2.什么是軸對(duì)稱?其性質(zhì)是什么?3.什么是線段的垂直平分線?其性質(zhì)是什么?如何用尺規(guī)作圖?4.如何畫(huà)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸?5.如何用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱?6.等腰三角形的概念是什么?有何性質(zhì)?如何判定?7.如何判定一個(gè)三角形是等邊三角形?8.含有30°的直角三角形有何性質(zhì)?什么是互逆命題?9.如何解決“將軍飲馬”和“造橋選址”兩類問(wèn)題?依據(jù)是什么?1.加快建設(shè)體育強(qiáng)國(guó)，就是要弘揚(yáng)中華體育精神.下列體育圖標(biāo)是軸對(duì)稱圖形的是()A.6給出下列四個(gè)結(jié)論：①DE=DF,②DB=DC,③ADIBC,④AC=3BF,其中正確的結(jié)論共有()11.如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5,點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為()A.7.5B.5C.4D.不能確定CC12.仔細(xì)觀察下列圖案，并按規(guī)律在橫線上畫(huà)出合適的圖案.13.如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙按圖那樣折疊后，B、D兩點(diǎn)落在B'、D′兩點(diǎn)處，若∠AOB′=70°,則∠B'OG的度數(shù)為若點(diǎn)P與點(diǎn)P’關(guān)于x軸對(duì)稱，則a=,b=若點(diǎn)P與點(diǎn)P’關(guān)于y軸對(duì)稱，則a=,b=15.畫(huà)出下列軸對(duì)稱圖形的所有的對(duì)稱軸.17.如圖，已知△ABC和直線1,畫(huà)出與△ABC關(guān)于直線1對(duì)稱的圖形.(1)作△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A?B?C1;(2)將△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度；做出平移后的△A?B?C?;(3)求四邊形AA?B?C的面積.FFCC師生活動(dòng)：學(xué)生做練習(xí)，教師訂正答案.∴直線1是AB的垂直平分線；A.108°B.72°C.144°6.如圖所示，現(xiàn)要在一塊三角形草坪上建一涼亭供大家休息，使涼亭到草坪三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，涼亭的A.VABC三條角平分線的交點(diǎn)B.VABC三條高所在直線的交點(diǎn)C.VABC三條中線的交點(diǎn)D.VABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】【答案】D【分析】本題考查了垂直平分線的判定，根據(jù)到線段的端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，進(jìn)行分析，即可作答.【詳解】解：∵涼亭到草坪三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，∴涼亭的位置應(yīng)選在VABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：DA.35°B.30°C.20°A.35°B.30°C.20°【答案】B【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的三線合一、三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.由三線合一得AD⊥BC,∠B=∠C,進(jìn)而求出∠BDE=75°,由BD=BE得∠BED=∠BDE=75°,求出∠B=30°即可求解.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.【詳解】解：∵AB=AC,AD是BC邊上的中線，故選：B.8.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A(1+m,1-n)與點(diǎn)B(-3,2)關(guān)于y軸對(duì)稱，則m+n【分析】本題主要考查了關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，關(guān)鍵是熟練掌握關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征.根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，它們的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)符號(hào)相反，即可得出答案.解得：m=2,n=-1,9.下列正多邊形中，對(duì)稱軸條數(shù)最多的是()A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形【分析】本題考查求對(duì)稱軸的條數(shù)，根據(jù)正n邊形有n條對(duì)稱軸，即可求解.【詳解】解：正三角形有3條對(duì)稱軸，正方形有4條對(duì)稱軸，正五邊形有5條對(duì)稱軸，正六邊形有6條對(duì)故選D.10.點(diǎn)P(1,-2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(-1,-2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(1,【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律.熟練掌握平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，根據(jù)此性質(zhì)來(lái)求解點(diǎn)P(1,-2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【詳解】解：P(1,-2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2【答案】6【答案】6【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì).根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=BE,再求出AC+BC=6,【詳解】解：∵DE垂直平分線段AB,QVBCE的周長(zhǎng)為BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=6,故答案為：6.12.若A(-1,m-1)與點(diǎn)B(n,2)關(guān)于y軸對(duì)稱.則m+n=【答案】4【答案】4【分析】此題主要考查了關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，直接利用關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，得出m,n的值，進(jìn)而得出答案.【詳解】解：∵點(diǎn)A(-1,m-1)與點(diǎn)B(n,2)關(guān)解得：m=3,則m+n=3+1=4.故答案為：4.(2)如果AB=5,AC=3,求BE的長(zhǎng).【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，正確找出全等三角形是解題關(guān)鍵.(2)先證出Rt△AED≌Rt△AFD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=AF,再設(shè)BE=CF=x(x>0),根據(jù)線段的和差建立方程，解方程即可得.【詳解】(1)證明：如圖，連接BD、CD,B<D由(1)已證：BE=CF,解得x=1,(1)在圖中畫(huà)出線段BC關(guān)于y軸對(duì)稱的線段B?C?,并直接寫(xiě)出點(diǎn)C?的坐標(biāo)為_(kāi);(2)在(1)的基礎(chǔ)上，直接寫(xiě)出△AB?C?的面積為_(kāi);(3)在x軸上有一條長(zhǎng)度是1的運(yùn)動(dòng)線段MN(點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊),使得BM+MN+NA最小，請(qǐng)畫(huà)出點(diǎn)M.(保留必要的畫(huà)圖的痕跡).(2)在x軸上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小(只需作圖保留作圖痕跡);【分析】(1)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此畫(huà)出圖形，進(jìn)而即可(2)利用軸對(duì)稱-最短路徑問(wèn)題的原理，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A’,連接A'B與x軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短.(3)先根據(jù)坐標(biāo)求出VABC的面積，再設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形面積公式列出關(guān)于Q點(diǎn)縱坐標(biāo)的方程，求解得到Q點(diǎn)坐標(biāo).本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形變換、最短路徑問(wèn)題以及三角形面積于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征和利用圖形割補(bǔ)法求三角形面積是解題的關(guān)鍵.【詳解】(1)解：求VABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A?B?C?及頂點(diǎn)坐標(biāo)已知A(1,1),關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)A?,根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，B4CB(3)解：3即*或*(2)若點(diǎn)A,B關(guān)于y軸對(duì)稱，求(4a+b)2?22的值.【分析】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，代數(shù)式求值.進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】(1)解：∵點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，解得(2)解：∵點(diǎn)A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，解得.(4a+b)2?22=(-4+3)2?2的周長(zhǎng).【答案】28【答案】28的周長(zhǎng)比△BCD的周長(zhǎng)長(zhǎng)2,求出AB=AC=10,最后再利用三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.∴(AB+AD+BD)-(BC+BD+CD)=2,即∠1=∠2.如圖2,OM和ON是兩塊平面鏡，入射光線AB經(jīng)過(guò)兩次反射后，得到反射光線CD.則下列A.若α=60°,則∠OBC=60°B.若BC⊥CD,則β=45°C.若α=β,則AB//CDD.若AB//CD,則α+β=90°【答案】C【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵.根據(jù)反射的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)和判定逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：A、∵入射光線與平面鏡的夾角等于反射光線與平面鏡的夾角，∴∠OBC=α=60°,正確，故此選項(xiàng)不符合題意；∴∠OCB=β=45°,正確，故此選項(xiàng)不符合題意；∴∠ABC=∠BCD,不能得出AB//CD,原結(jié)論錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；∴∠APB=∠APC=180°-30°=150°,與已知條件不符，故D符合題意.A.5cmB.6cmC.8【答案】【答案】D【分析】本題重點(diǎn)考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題等知識(shí)，正確地畫(huà)出圖形找到MH+NH的最小值時(shí)點(diǎn)H的位置是解題的關(guān)鍵.利用條件求解即可.【詳解】解：∵VABC是等邊三角形，BD是邊AC上的高，作點(diǎn)M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)M',連接M'N,則M'在BC上，MN與BD的交點(diǎn)為H,NDM'∴MH+NH的最小值為7cm.BE,證明AD垂直平分BB′,推出BE=BE,由三角形三邊關(guān)系可知，BE+EF=B+EF吵BFBY,即BE+EF的值最小為B'F′,通過(guò)證明△ABE′≌△AB'E,推出∠AEB=∠AE'B’,因此利用三角形外角的性本題考查垂直平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是找出BE+EF取最小值時(shí)點(diǎn)E的位置.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BB’⊥AD于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)B′,過(guò)點(diǎn)B'作BF⊥AB于點(diǎn)F′,與AD交于點(diǎn)E',連∴當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)E'處時(shí)，EF+BE最小，故答案為：125°.(1)由折疊得∠CFE=∠GEF,∠HEF=∠BEF,結(jié)合平行線的性質(zhì)求得∠BEF=110°,由角度的和差得到∠GEH;(2)設(shè)∠QHG=x,由翻折可得∠QHF=∠D=90°,∠GHE=∠B=90°,∠HGF=∠C=90°,所以∠GHF=7.已知一張三角形紙片ABC(如甲圖),其中∠B=∠C.將紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD(如乙圖),再將紙片沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF(如丙圖).甲乙丙解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)等腰三角形的特征，可作出判斷；(2)由等腰三角形的性質(zhì)，可得∠ABC=∠C,由折疊，得∠BED=∠C,∠EDF=∠A,則∠ABC=∠C=∠BED=2∠A,再在VABC中利用三角形內(nèi)角和定理列方程，求出∠A的度數(shù)，即可解決問(wèn)【詳解】(1)解：丙圖中除VABC外的所有等腰三角形：△BCD,△BDE,△EAD,DAB;(2)解：∵AB=AC,故甲圖VABC中各角的度數(shù)分別為∠A=36°,∠B=∠C=72°.8.【問(wèn)題呈現(xiàn)】段CD和CE的數(shù)量關(guān)系是【知識(shí)應(yīng)用】連接DE,且∠B+∠CED=180°.試判斷CE,CF,BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【拓展延伸】【答案】(1)【答案】(1)CD=CE;(2)CE=CF-BF,理由見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析.【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出答案；(2)先證明△DCF≌△DCA,得到CF=CA,再證明△DFB≌△DAE,得到BF=AE,即可得出答案；(2)∵CD平分∠ACB,∠A=90°,DF⊥BC,(3)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AC,交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,9.“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”,這是唐代詩(shī)人李顧《古從軍行》里的一句詩(shī)，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通常稱為“將軍飲馬”問(wèn)題.(1)如圖.直線a是一條輸氣管道，M,N是管道同側(cè)的兩個(gè)村莊，現(xiàn)計(jì)劃在直線a上修建一個(gè)供生站0,向M,N兩村莊供應(yīng)天然氣.在下面四種方案中，鋪設(shè)管道最短的是()A.A.D.(2)如圖，草地邊緣OM與小河河岸ON在點(diǎn)O處形成夾角，牧馬人從A地出發(fā)，先讓馬到草地吃草，然后再去河邊飲水，最后回到A地.請(qǐng)?jiān)趫D中設(shè)計(jì)一條路線，使其所走的路徑最短，并說(shuō)明理由.NN【答案】(1)【答案】(1)B(2)最短路徑如圖，理由見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱的最短路線問(wèn)題，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.(1)作點(diǎn)M關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)M',連接MM',根據(jù)軸對(duì)稱和垂直平分線的性質(zhì)可得正確選項(xiàng).(2)作點(diǎn)A關(guān)于直線OM和ON的對(duì)稱點(diǎn)B和C,連接AB和AC,連接BC,分別交直線OM和ON于點(diǎn)D和E,連接DA和EA,根據(jù)軸對(duì)稱和垂直平分線的性質(zhì)可得最短路徑.【詳解】(1)解：∵作點(diǎn)M關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)M',連接MM',故直線a是MM'的垂直平分線，(2)解：作點(diǎn)A關(guān)于直線OM和ON的對(duì)稱點(diǎn)B和C,連接AB和AC,連接BC,分別交直線OM和ON于草地小河M④BG-CH=GH,⑤∠AEC+∠ABE=90°其中正確的結(jié)論是()據(jù)∠AEC=180-x-z,于是得到∠AEC=180-(y+90°),推出y+∠AEC=90°,即可得到結(jié)論；④由BG=GE,【詳解】解：①∵BE平分∠ABC,同理CH=HE,②△HEF與VCBF不含相等的邊，所以不能得出全等的結(jié)論，故②錯(cuò)誤；③過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AC于N,ED⊥BC于D,EM⊥BA于M,如圖，E設(shè)∠ACE=∠DCE=x,∠ABE=∠CBE=y,∠MAE=∠CAE=z,即∠ACE+∠AEB=90°,故③正確；即∠ABE+∠AEC=90°,故⑤正確；∴BG-CH=GE-EH=GH.故④正確.綜上，①③④⑤正確，一共4個(gè).【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，角平分線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).△A?B?A?…均為等邊三角形，從左起第1個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)記為a?,第2個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)記為a?,以此類推，若OA?=1,則a2025=【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出a?=8a?=8,a?=16a?…進(jìn)而得出答案.又∵∠3=60°,以此類推：a?025=22024,故答案為：22024.【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出a?=4a?=4,a?=8a?=8,a?=16a1…進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵.3.小明同學(xué)喜歡玩折紙游戲，他在學(xué)習(xí)完角的知識(shí)后，他發(fā)現(xiàn)折紙的過(guò)程中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，于是他找到若干張長(zhǎng)方形紙片來(lái)研究折紙的過(guò)程中角的變化，首先他在長(zhǎng)方形紙片ABCD的邊AD上找到一點(diǎn)E,然后沿著CE進(jìn)行第一次折疊(如圖1),使得D點(diǎn)落在F處.(1)此時(shí)(如圖1)小明經(jīng)過(guò)測(cè)量得到∠DEC=38°,請(qǐng)你幫他計(jì)算∠AEF=(2)第一次折疊后，小明繼續(xù)對(duì)紙片進(jìn)行折疊，他將紙片沿著B(niǎo)E進(jìn)行第二次折疊(如圖2),使得A點(diǎn)落在G處，小明發(fā)現(xiàn)∠BEG的大小會(huì)隨著E點(diǎn)的位置改變而發(fā)生改變：①若點(diǎn)A經(jīng)過(guò)折疊后剛好落在線段EF上(如圖3),求出此時(shí)∠BEC的大?。?請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程)②小明將E改變到如圖4的位置的時(shí)候，經(jīng)過(guò)測(cè)量∠GEF=10°,請(qǐng)你計(jì)算出此時(shí)∠BEC的大小.(請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程)(3)小明繼續(xù)研究折紙游戲，他又發(fā)現(xiàn)有意思的折紙過(guò)程：他將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊后(如圖5),點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，AF和BC交于點(diǎn)M,再將△CFM沿CM折疊后，點(diǎn)F落在點(diǎn)H處，此時(shí)CH將∠ACB分成的兩個(gè)角滿足：∠ACH:∠BCH=1:3,請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠ACB的度數(shù).【分析】本題考查折疊問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握折疊前后對(duì)應(yīng)角相等.(1)由折疊前后對(duì)應(yīng)角相等得∠FEC=∠DEC=38°,進(jìn)而即可求解；(2)①由折疊前后對(duì)應(yīng)角相等得∠FEC=∠DEC,∠AEB=∠GEB,進(jìn)而即可求解；②(3)由折疊得，∠ACD=∠ACF,∠FCM=∠BCH,設(shè)∠ACH=α,則∠BCH=∠FCM=3α,∠ACB=4α,進(jìn)而可得∠ACD=∠ACF=7α,再根據(jù)∠BCD=∠ACB+∠ACD=11α=90°即可求解.【詳解】(1)解：由折疊得，∠FEC=∠DEC=38°,故答案為：104°;(2)解：①由折疊得，∠FEC=∠DEC,∠AEB=∠GEB,備用圖之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.(3)PE=AP+PD,見(jiàn)解析.【分析】本題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及角之間的關(guān)系，證明△BAD≌△C(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠CAE,AB=AC,AD=AE,由“SAS”可證△BAD≌△CAE,可(2)由全等三角形的性質(zhì)可得∠AEC=∠ADB,由三角形內(nèi)角和定理求出∠DPE=60°,進(jìn)而得到∠BPE=120°,作AG⊥BD,AH⊥CE,全等三角形的性質(zhì)，推出AG=AH,得到PA平分∠BPE,求出AO=AP,證明△APO是等邊三角形，可得AP=PO,可得PE=AP+PD,即可求解.ADBDC5.在VABC中，AB=AC,∠BAC=n°,作等腰△ACD,使(1)如圖1,若