綿陽市高中級(jí)第一次診斷性考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、考號(hào)填寫在答題卡上.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)寫在本試卷上無效.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合中不等式的解集，然后根據(jù)交集的概念求出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)榧?，所?故選：B.2.設(shè)命題，，則）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可求解.【詳解】由題意：命題，，則：，，故選：D.3.已知，，均為實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是（）第1頁/共18頁A.若，則B.若，則C.若，則D.若，，則【答案】C【解析】【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題設(shè)，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，則，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義，結(jié)合單調(diào)性的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，令，可得定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)于B，令，可得定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，可得定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)椋院瘮?shù)不為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，第2頁/共18頁所以不為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：A.5.已知，則（）A.B.C.D.3【答案】B【解析】分析】解出，代入求解即可．【詳解】由得，所以，，因此，．故選：B．6.已知為第二象限角，且，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式可得，根據(jù)同角三角關(guān)系運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，即且，即，可得，且為第二象限角，則，可得，.故選：A.7.如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時(shí)間（單位：周）的關(guān)系為（列說法中正確的是（）第3頁/共18頁A.浮萍每周的面積與上周面積之比不為定值B.時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過C.浮萍每周增加的面積都相等D.若浮萍面積為，，時(shí)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間分別是，，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與對(duì)數(shù)運(yùn)算，結(jié)合圖像逐一判斷即可.【詳解】由圖可得：函數(shù)過點(diǎn)，則，解得，即.對(duì)于選項(xiàng)A：浮萍每周的面積與上周面積之比為，為定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若時(shí)，則，所以浮萍面積不會(huì)超過，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：第二周比第一周增加，第三周比第二周增加，即，所以浮萍每周增加的面積不一定相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由題意可得：，則，所以，故D正確.故選：D.8.已知函數(shù)（，且在處取得極值為1，則（）第4頁/共18頁A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】因?yàn)楹瘮?shù)（，且.由題可知，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)（，且.若在處取得極值為1，則，所以.化簡(jiǎn)得，整理得，所以.故選：C.36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知定義在上的偶函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A.B.CD.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的偶函數(shù)特性以及函數(shù)的周期性逐項(xiàng)判斷并計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以.因?yàn)椋?，?頁/共18頁所以，即.所以函數(shù)的周期為2.當(dāng)時(shí)，，所以，所以B錯(cuò)誤；，因?yàn)?，所以，所以C正確；因?yàn)椋瘮?shù)周期為2，所以D正確.故選：ACD.10.已知數(shù)列共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，后三項(xiàng)成等差數(shù)列，且，，.若的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)可能正確的是（）A.B.為最大項(xiàng)C.D.數(shù)列，，的公差為64【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)前三項(xiàng)成等比數(shù)列、后三項(xiàng)成等差數(shù)列，設(shè)后三項(xiàng)的公差為，根據(jù)題意將表示成關(guān)于d的方程，解出d，分情況逐項(xiàng)討論即可．【詳解】設(shè)后三項(xiàng)公差為，因?yàn)椋瑒t，，由，得，由前三項(xiàng)成等比數(shù)列，公比，所以，第6頁/共18頁結(jié)合，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為；對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，兩種情況的最大項(xiàng)分別是和180，均不是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，公差為16或，均不是64，故D錯(cuò)誤．故選：AC．已知函數(shù)，，且，則（）A.函數(shù)的一個(gè)周期為B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.曲線關(guān)于對(duì)稱D.函數(shù)與函數(shù)的最大值相等【答案】ABD【解析】【分析】由判斷A；由在上單調(diào)遞減，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；利用可判斷C；求得函數(shù)與函數(shù)的最大值可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以函?shù)的一個(gè)周期為，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，第7頁/共18頁由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于C，，所以曲線關(guān)于對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最大值為，又，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，所以函數(shù)與函數(shù)的最大值相等，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共分.12.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則________.【答案】【解析】【分析】利用通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由有：，故答案：.13.已知,且,則的最小值為______.【答案】2第8頁/共18頁【解析】【分析】利用即可得出．【詳解】解：∵，，且，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.已知函數(shù)則使不等式成立的的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】分和，求出，代入化簡(jiǎn)，解一元二次不等式即可得出答案.【詳解】若，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，解得：，若，，則，由可得：，即，解得：，又因?yàn)?，所?故使不等式成立的的取值范圍是：.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，其中，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若，求函數(shù)第9頁/共18頁【答案】（1）（2）【解析】1）由，結(jié)合，可得，即可求出函數(shù)的解析式；（2，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【小問1詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所?小問2詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，所以，所以，令，所以.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：第10頁/共18頁16.設(shè)函數(shù)，其中，.（1）若函數(shù)為上的奇函數(shù)，求函數(shù)的解析式；（2）若，當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)奇函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；（2）把不等式問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)大小問題，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，所以有，即，又有，該等式在時(shí)恒成立，因此有；【小問2詳解】因?yàn)椋?，由?dāng)時(shí)，由，設(shè)函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，，兩個(gè)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系的圖象如下圖所示：由數(shù)形結(jié)合思想可知：兩個(gè)函數(shù)的圖象一定有交點(diǎn)，第11頁/共18頁因此要想當(dāng)時(shí)，，只需，實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）試探究：在數(shù)列中取三個(gè)不同的項(xiàng)，能否構(gòu)成等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）不能在數(shù)列中取三個(gè)不同的項(xiàng)，構(gòu)成等比數(shù)列，理由見證明.【解析】1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，進(jìn)行求解即可.（2）通過反證法以及等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意可得，為等差數(shù)列，所以，，所以，第12頁/共18頁解得，，所以，所以.【小問2詳解】假設(shè)能在數(shù)列中取三個(gè)不同的項(xiàng)，，，構(gòu)成等比數(shù)列，由數(shù)列單調(diào)遞增及等比中項(xiàng)的性質(zhì)知，所以，，，，所以，所以，因?yàn)?，，所以，解得，與，，為不同的整數(shù)矛盾，所以不能在數(shù)列中取三個(gè)不同的項(xiàng)，構(gòu)成等比數(shù)列.18.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，.（1）求證：函數(shù)有3個(gè)相異零點(diǎn)；（2）若，求實(shí)數(shù)的值；（3）若，求實(shí)數(shù)的最大值.第13頁/共18頁（2）（3）【解析】1）求導(dǎo)，根據(jù)韋達(dá)定理可得，且是極小值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)，結(jié)合，且，故，即可求證，（2）利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即可求解，（3）作差，因式分解，將代入化簡(jiǎn)，得，利用基本不等式即可求解.【小問1詳解】，令，則是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，故，且是極小值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)，由于當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，由于，且，故，又因此函數(shù)有3個(gè)相異零點(diǎn).【小問2詳解】，即，代入可得，化簡(jiǎn)可，則，由于方程無實(shí)數(shù)根，所以，故，第14頁/共18頁【小問3詳解】由可得，即，由于，故，由于可得，化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而由于，故，即，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，故，故，因此的最大值為19.（1）已知，函數(shù).證明：當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)函數(shù)與的圖象分別為，.點(diǎn)在上，且，在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，.在點(diǎn)處的切線交于，.已知.（i）證明：；（ii）求，其中表示不超過的最大整數(shù).【答案】（1）證明見解析（2i）證明見解析（ii）【解析】1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，從而得到當(dāng)時(shí)，的最大值為0，即可證得當(dāng)時(shí)，；第15頁/共18頁（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分析相應(yīng)切線的斜率，構(gòu)造新函數(shù)，分析新函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而獲得，證得.構(gòu)造新函數(shù)，得數(shù)列的性質(zhì)，進(jìn)而得到關(guān)于其前n項(xiàng)和的不等式，進(jìn)而得到求即可.1）因?yàn)?，所?令，則.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?，?所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.由此當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，.故當(dāng)時(shí)，.（2i）令，則.所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.令，則，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.所以.所以，，即，.第16頁/共18頁若，則；若，則；若，則.若，則；若，則；若，則.由，知；由，知.所以在點(diǎn)處的切線斜率為.由題可知