2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線在軸上的截距為（

）A．-3 B． C． D．32．已知空間向量，，若，則（

）A． B． C．2 D．43．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上頂點(diǎn)，則（

）A．的長軸長為5 B．的離心率等于C． D．的周長為144．圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切5．在四面體中，是的重心.記，，，若，則（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，且關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，若，則的方程為（

）A． B．C． D．7．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若，為銳角三角形，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．如圖，若正方體的棱長為，為的中點(diǎn)，則（

）A．與所成的角為 B．C． D．與平面所成的角為10．已知曲線，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，則為橢圓B．若或，則表示雙曲線C．若為橢圓，則與橢圓有相同的焦距D．若為雙曲線，則與雙曲線有相同的焦距11．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為曲線.點(diǎn)，直線，則（

）A．曲線的方程為B．當(dāng)最小時(shí)，C．當(dāng)最大時(shí)，D．若曲線上僅有一點(diǎn)到直線的距離為2，則的值為三、填空題12．若雙曲線的實(shí)軸長為4，虛軸長為，則該雙曲線的離心率等于.13．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，則的取值范圍為．14．已知圓，過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則直線的方程為.四、解答題15．回答下面兩個(gè)問題(1)求焦點(diǎn)為，，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求與雙曲線有相同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.16．已知點(diǎn)，，.(1)求的面積；(2)求的外接圓的方程.17．已知三條直線，，.(1)若，，交于一點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，，可以圍成一個(gè)三角形，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．如圖，在三棱柱中，，，，，平面平面，為的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)求平面與平面的夾角的余弦值.19．已知右焦點(diǎn)為的橢圓過點(diǎn).(1)求的方程；(2)若點(diǎn)在上，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，求的最大值；(3)過點(diǎn)的直線與交于，，與雙曲線的右支交于點(diǎn)，，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

1．C令，求得對(duì)應(yīng)的即可【詳解】令，得，即在軸上的截距為.故選：C.2．A由向量共線定理可得.【詳解】因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使得，即.即，，，所以，，所以.故選：A.3．C結(jié)合題意并利用橢圓的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)求解即可.【詳解】如圖，作出符合題意的圖形，由題意知，，，對(duì)于A，結(jié)合題意可得的長軸長為10，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，結(jié)合題意可得的離心率為，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由題意得，由兩點(diǎn)間距離公式得，故C正確，對(duì)于D，結(jié)合橢圓的定義得的周長為，故D錯(cuò)誤.故選：C4．A由圓心距和半徑和、差的關(guān)系即可判斷.【詳解】由題意知，，兩圓的半徑分別為，，所以，故兩圓外離.故選：A.5．B根據(jù)題意，由空間向量的運(yùn)算，用表示，即可得到結(jié)果.【詳解】連接并延長交于，則為的中點(diǎn)，所以，，所以，所以，，所以.故選：B.6．A根據(jù)對(duì)稱性求出直線的傾斜角，由點(diǎn)斜式可得方程.【詳解】由題意知（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，故直線的斜率為，所以的方程為，即.故選：A.7．B設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，利用判別式求得的范圍即可.【詳解】設(shè)，則，可看作是一組與橢圓有公共點(diǎn)的平行直線.由，得.，解得.故選：B.8．D應(yīng)用雙曲線定義結(jié)合已知條件得出，，再結(jié)合余弦定理得出邊長間關(guān)系得出，即可得出離心率范圍.【詳解】由題意知，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，則，，又，，所以，，記，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，即，，，解得，所以.故選:D.9．AB先建立空間直角坐標(biāo)系，再應(yīng)用異面直線的余弦公式計(jì)算判斷A，應(yīng)用數(shù)量積公式計(jì)算判斷B，應(yīng)用模長公式計(jì)算判斷C，應(yīng)用線面角正弦計(jì)算判斷D.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，，，所以，，所以與所成的角為，，.平面的一個(gè)法向量為，設(shè)與平面所成的角為，所以，所以A，B正確，C，D錯(cuò)誤.故選:AB.10．ACD由橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可判斷AB，由焦距的概念可判斷CD.【詳解】因?yàn)?，但，即不是橢圓，故A錯(cuò)誤；當(dāng)，即，或時(shí)，為雙曲線，故B正確；當(dāng)時(shí)，為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，其焦距為，當(dāng)時(shí)，為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，其焦距為，而的焦距為，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其焦距為，當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其焦距為，與雙曲線的焦距不相同，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.11．ABC由動(dòng)點(diǎn)滿足的條件列得其軌跡方程，判斷A；由A知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為圓，結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，可分別使最小或最大，求出切線長可判斷B，C；由曲線上僅有一點(diǎn)到直線的距離為2，得圓心到直線的距離等于，由此可求得兩條滿足條件的直線，判斷D.【詳解】設(shè)，由，得，化簡得，曲線，故A正確；由曲線的方程，知曲線表示以為圓心，且半徑為的圓.當(dāng)最小或最大時(shí)，如圖所示，直線分別在的位置，均與曲線相切，，故B，C正確；

圓心到直線的距離，由題意得，解得，或，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．/記實(shí)軸長為，虛軸長為，焦距為，由及求解即可.【詳解】記實(shí)軸長為，虛軸長為，焦距為.則，，所以，，.所以該雙曲線的離心率.故答案為：.13．根據(jù)橢圓的定義，以及的范圍，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域.【詳解】由題意知，，所以，設(shè)，則，由，得，故，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值9，當(dāng)或時(shí)，取得最小值5，故的取值范圍為．故答案為：14．先根據(jù)切線得出在上，再兩圓作差得出直線的方程.【詳解】因?yàn)榍悬c(diǎn)分別為，，則，，所以，，，四點(diǎn)在以為直徑的圓上，因?yàn)?，所以在圓心為，半徑為的圓上，其方程為，所以與兩邊分別作差，得，即直線的方程為.故答案為：.15．(1)(2)（1）首先求和，再根據(jù)雙曲線的定義，即可求解；（2）首先設(shè)雙曲線方程為，再代入點(diǎn)，即可求解.【詳解】（1）由題意知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且半焦距，故設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

，，

所以，所以，

所以，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)所求雙曲線的方程為，

將點(diǎn)代入上述方程，得，

所以，所以，

故所求雙曲線的方程為.16．(1)7(2)（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求底邊，再代入點(diǎn)到直線的距離公式求高，即可求解；（2）將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，即可求解.【詳解】（1）直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離，

，

所以的面積.（2）設(shè)外接圓的方程為，

由題意得

解得

故的外接圓的方程為.17．(1)(2)（1）先求出，的交點(diǎn)，再應(yīng)用交點(diǎn)在上，列式計(jì)算求參；

（2）先求出，，不可以圍成一個(gè)三角形，即兩條直線平行或三線共點(diǎn)求參，進(jìn)而得出，，可以圍成一個(gè)三角形時(shí)參數(shù)范圍.【詳解】（1）聯(lián)立與的方程，得解得

即與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

由題意知點(diǎn)在上，所以，

解得.（2）由（1）知，

當(dāng)時(shí)，，所以，

當(dāng)時(shí)，，所以，

當(dāng)不與和平行，且不過同一點(diǎn)時(shí)，，，三條直線可以圍成三角形，所以，且，且，

故的取值范圍為.18．(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）證明：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面?/p>

又平面，所以；（2）因?yàn)?，，所以為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，

由（1）得，，故以為原點(diǎn)，直線、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即，解得，，所以，

所以點(diǎn)到平面的距離.

（3）由（2）得，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即令，解得，，所以，

由（2）知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則.19．(1)(2)(3)存在，【詳解】（1）由題意得

解得所以的方程為.（