遼寧省沈陽(yáng)市五校協(xié)作體2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．圓的半徑為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則（

）A． B．5 C． D．73．若直線與直線之間的距離為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．記點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．已知空間向量，若，則（

）A．4 B．8 C．12 D．166．已知點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別是的左、右焦點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知圓與圓交于兩點(diǎn)，且直線經(jīng)過(guò)線段上靠近的三等分點(diǎn)，則（

）A．1 B． C． D．28．已知半徑為2的球與平面相切，球面上兩點(diǎn)滿足，且點(diǎn)到平面的距離為3，則點(diǎn)到平面距離的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知直線與平行，則的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，若點(diǎn)在的內(nèi)部，點(diǎn)在的外部，則的離心率可能是（

）A． B． C． D．11．已知高為2的斜三棱柱中，在底面上的射影為點(diǎn)，且四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形．設(shè)分別為的中點(diǎn)，則（

）A．B．平面C．三棱錐的體積為D．直線與直線所成角的余弦值為三、填空題12．圓（其中）的周長(zhǎng)的取值范圍為．13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)分別在軸、軸上，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)．若，則點(diǎn)的軌跡方程為．14．在平面直角坐標(biāo)系中，直線過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最大值為.四、解答題15．在中，.(1)求的平分線所在直線的斜截式方程；(2)求邊上的高所在直線的一般式方程.16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線交于兩點(diǎn)．(1)若是上一動(dòng)點(diǎn)，求的周長(zhǎng);(2)探究是否成立，若成立，求出的方程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，．(1)若，求的斜率；(2)若的斜率為，求的面積．18．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2、中心為0的正方形，為平面外一動(dòng)點(diǎn)，滿足平面平面，且四棱錐的體積為．設(shè)線段的中點(diǎn)為為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）．

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的最大值．19．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，且點(diǎn)在圓上．(1)求的方程；(2)設(shè)為圓上三等分圓周的任意三點(diǎn)，設(shè)的延長(zhǎng)線與分別交于點(diǎn)．（?。┰O(shè)，求關(guān)于的表達(dá)式;（ⅱ）求的值．

參考答案題號(hào)12345678910答案BCBACBCDBCAB題號(hào)11答案BCD1．B【詳解】方程可化為，所以圓的半徑為2.故選：B2．C【詳解】由題意得，則，則.故選：C3．B【詳解】由題意知，又，解得，故選：B.4．A【詳解】圓的圓心為，半徑.原點(diǎn)到圓心的距離：.因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以的最小值為，最大值為.故的取值范圍是.故選：A.

5．C【詳解】由已知得，則，即，可得，因此.故選：C.6．B【詳解】當(dāng)點(diǎn)是短軸的端點(diǎn)時(shí)，取得最大值，取得最小值，因?yàn)?，所以，所?故選：.7．C【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑.圓心距為，由于兩圓相交，所以，將兩圓方程相減，得公共弦的方程：，化簡(jiǎn)為，即.線段的長(zhǎng)度為，靠近的三等分點(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)，將其代入公共弦方程得，解得.故選：C.8．D【詳解】過(guò)點(diǎn)得平面的垂線為，在平面內(nèi)作兩條互相垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則球的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為3，所以設(shè)的坐標(biāo)為，所以，設(shè)的坐標(biāo)為，則，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又由平面向量知識(shí)可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，兩邊平方得，所以，所以，解得，所以，所以點(diǎn)到平面距離的最大值為.故選：D.9．BC【詳解】由已知兩條直線平行，則，可得，所以或，當(dāng)時(shí)，，，滿足題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，，滿足題設(shè)，所以可以是2或3.故選：BC10．AB【詳解】由橢圓焦點(diǎn)，，得橢圓中心為，.設(shè)橢圓方程為，其中.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓外部，所以，因，故，即.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，通分整理得，因式分解得.因，故，即.綜上，，，離心率，則.所以AB選項(xiàng)符合，CD選項(xiàng)不符合.故選：AB11．BCD【詳解】正方形的邊長(zhǎng)為2，則是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.以點(diǎn)為原點(diǎn)，以的方向分別為軸，軸正方向，過(guò)點(diǎn)且垂直于底面的直線為軸，向上為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，由四邊形是正方形，得，因?yàn)轫旤c(diǎn)在底面上的射影是點(diǎn)，且棱柱的高為2，所以.故，則，則，則，，故直線與不垂直，A錯(cuò)誤.由.設(shè)平面的法向量為.由，得，由，得，取，得.由于，因此向量與共線，也即直線垂直于平面，B正確.三棱錐的體積等價(jià)于三棱錐的體積，，三棱錐的高即到平面的距離，等于1.故，C正確.，設(shè)直線與的夾角為，則，故D正確.故選：BCD.12．.【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：，則半徑.圓的周長(zhǎng).因?yàn)?，所以，即，?故答案為：.13．【詳解】設(shè)，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則，，為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)．則，所以若，則，即；則點(diǎn)的軌跡方程為：；故答案為：14．【詳解】直線可表示為，可知其過(guò)定點(diǎn).設(shè)，設(shè)，注意到，則，而，故，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：.15．(1)(2).【詳解】（1）由，易得直線的斜率為0，故其方程為，直線的斜率不存在，故其方程為，可得，易知的平分線所在直線的傾斜角為，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其方程為，故的平分線所在直線的斜截式方程為.（2）由可得直線的斜率，故邊上的高所在直線的斜率，又所求直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故其方程為，故邊上的高所在直線的一般式方程為.16．(1)6(2)結(jié)論不成立，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意得，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，所以的周長(zhǎng)為.（2）假定成立，設(shè)，由得，則，解得或，且，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，而，由得，則，整理得，此方程無(wú)解，所以結(jié)論不成立.17．(1)；(2).【詳解】（1）若的斜率為0，則，不合題意．故設(shè)的方程為，點(diǎn)到直線的距離，又，即，解得，故的斜率．（2）由題知．此時(shí)點(diǎn)到直線的距離，解得．而點(diǎn)到的距離，又，故的面積．18．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）由題意，得為的中點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，故是的中位線，故．又平面，而平面，故平面．（2）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為，軸正方向，垂直于平面向上的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可知，．設(shè)四棱錐的高為，由體積公式易有，解得．又平面平面，且平面平面，故點(diǎn)在平面內(nèi)的投影落在直線上．設(shè)點(diǎn)，，則．由題，為線段上一點(diǎn)，因此點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，即等價(jià)于求直線與平面所成角的最大值，設(shè)平面的法向量為．又．則即，令，可得平面的一個(gè)法向量．設(shè)直線與平面所成的角為．則．故當(dāng)時(shí)，取得最小值8，此時(shí)取得最大值，又，由正弦函數(shù)單調(diào)性可知，此時(shí)取得最大值，即直線與平面所成角的最大值為．

19．(1)(2)(i)

(ii)【詳解】（1）點(diǎn)滿足圓的方程：，解得或(舍去)，又，所以，因此，橢圓的方程為.（2）（i）直線的方向角為，參數(shù)方程為：，，.代入橢圓方程得：，整理得，，所以該方