高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市南開(kāi)區(qū)2026屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共9個(gè)小題，每小題5分，共45分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，，．故選：A．2.命題“，”的否定形式是（）A.， B.，C.，或 D.，或【答案】C【解析】命題“，”的否定形式是，或.故選：C.3.若（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：A4.“為第二象限角”是“是第一象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由為第二象限角，當(dāng)，得是第三象限角，不滿足充分性，當(dāng)時(shí)，，不滿足必要性，則“為第二象限角”是“是第一象限角”的既不充分也不必要條件．故選：D．5.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，，又，．故選：A．6.已知函數(shù)在定義域中滿足，且在上單調(diào)遞減，則可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于Ａ，函數(shù)的定義域是R，在上單調(diào)遞增，與題目要求單調(diào)遞減不符，A不是；對(duì)于Ｂ，函數(shù)的定義域是，，B不是；對(duì)于C，函數(shù)的定義域是R，.，，因，則，有，即有，因此，在上單調(diào)遞減，C正確；對(duì)于D，函數(shù)的定義域是，，D不是．故選：C．7.若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得，所以，所以得最小值為．故選：D．8.已知球的表面積為，，，，為球面上四點(diǎn)，，，與平面所成的角均為，若是正三角形，則四面體的體積為（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】由題意三棱錐為正三棱錐，球O為該正三棱錐的外接球，設(shè)其半徑為，因?yàn)榍騉的表面積為，所以，設(shè)，即正的邊長(zhǎng)為，取中點(diǎn)，連接，作，根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可知球心O在上，如下圖所示：根據(jù)線面角的定義知，則，因?yàn)椋?，所以，在中，，所以，解得或，即?四面體的體積故選：C.9.若不等式對(duì)任意的恒成立，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以即求直線的縱截距的最小值，設(shè)，所以，所以在單調(diào)遞增，所以在的圖象上凹，所以直線與相切，切點(diǎn)橫坐標(biāo)越大，縱截距越小，令切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以直線過(guò)點(diǎn)，且直線斜率為所以的直線方程為，當(dāng)時(shí)，，即直線與相切時(shí)，直線與無(wú)交點(diǎn)，設(shè)，所以，所以在時(shí)斜率為，在時(shí)斜率為，均小于直線的斜率，所以可令直線在處與相交，在處與相交，所以直線方程為，所以截距為.故選：A.二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分，試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)一個(gè)給3分，全部答對(duì)的給5分．10.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則_____________.【答案】2【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得．故答案為：2.11.設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．【答案】【解析】或，又，，所以.故答案為：.12.若函數(shù)的值域?yàn)閇0,＋∞)，則a的取值范圍是________．【答案】[3,＋∞)【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)閇0,＋∞)，所以函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋3的最小值要小于等于0顯然a不為0，所以，解得a≥3.故答案為：[3,＋∞)．13.已知，且，則最小值為_(kāi)_____________．【答案】【解析】因?yàn)?，又，所?則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故答案為：.14.在中，，，，為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，若，則___________；___________．【答案】①.1②.【解析】因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，有，因?yàn)?，所以，可?，.故答案為：.15.已知方程有4個(gè)不同解，，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________；的取值范圍為_(kāi)__________．【答案】①.②.【解析】根據(jù)題意作圖如下：方程有4個(gè)不同解，，，，所以，且，，，，即的取值范圍為．故答案為：；．三、解答題：本大題共5題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知.（1）求；（2）求；（3）求的值．解：（1）由及正弦定理得，，所以．因?yàn)?，所以．?）由余弦定理，可得，所以．（3）由（2）可得，所以，．所以．17.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，求在上的值域．解：（1），所以的最小正周期．令，，可得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，，可得．因?yàn)?，所以．所以．因?yàn)椋?，所以，?8.如圖所示，在幾何體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形是等腰梯形，，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：依題意，，，所以．因?yàn)?，則有，所以．又，所以平面．則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，因?yàn)椋?，，所以，，所以，，平面，所以平面．?）解：，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即解得令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．（3）解：由（1）知，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上存在極值，求的取值范圍；（2）若的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意給定的，總存在唯一的，使得成立，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，由已知，令，解得或，因?yàn)?，所以要使函?shù)在區(qū)間上存在極值，只需，解得．（2）當(dāng)時(shí)，，的圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得或．當(dāng)時(shí)，0200極大值極小值，．若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則，解得，所以；當(dāng)時(shí)，0200極小值極大值，．則函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以；綜上，.（3）由題意知，，因?yàn)?，，所以由，解或，由，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和，，，，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以的值域?yàn)椋李}意，對(duì)任意給定的，總存在唯一的，使得成立，可得，即，解得的取值范圍是．20.已知函數(shù)，曲線的一條切線的方程為．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，求函數(shù)的最小值；（3