高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市五區(qū)縣重點(diǎn)校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分）1.若直線：的傾斜角為，則實(shí)數(shù)值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直線，則該直線的斜率，由題意可得，解得.故選：C.2.如圖，在空間四邊形中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且,則等于A. B.C. D.【答案】D【解析】詳由題意可得，故選D.3.“”是“曲線表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】曲線表示橢圓等價于，解得且，所以“”是“曲線表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B．4.已知直線與圓交于、兩點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，解得.故選：A.5.如圖，棱長為1的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A.直線與直線平行B.直線與平面平行C.直線與底面所成角的正切值為D.平面與底面夾角的正弦值為【答案】D【解析】在棱長為1正方體中，如圖，以D為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，對A，，則，又因?yàn)椴恢睾?，所以，故A正確；對B，由設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，由，則，因?yàn)槠矫?，所以直線與平面平行，故B正確；對C，，平面的法向量為，則，故直線與底面ABCD所成的角的正弦值為，即，則，故C正確；對D，由B知平面的法向量為，，設(shè)平面與底面ABCD的夾角，則，，，所以平面與底面的夾角的正弦值為，故D錯誤.故選：D.6.在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的右焦點(diǎn)，過的直線與圓切于點(diǎn)，則橢圓的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由過的直線與圓切于點(diǎn)可得：，則，由此可得切線的斜率為，即可得切線方程：，整理得：，令，可得，即焦點(diǎn)，所以即，所以橢圓方程為，故選：C.7.已知：，點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn)B在上，則面積的最大值為（）A. B.3 C. D.2【答案】B【解析】由：，即，則圓心，半徑為，因?yàn)椋?，則，，又，則，即，要使面積最大，則在延長線上，且在圓上，如圖，此時，則面積的最大值為.故選：B.8.已知A，B為圓上的兩個動點(diǎn)，P為弦AB的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】圓的方程可化為，，半徑，因，所以，又是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為．故選：B.9.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓的外部，點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，滿足恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的外部，所以，可得，由橢圓的離心率，又因?yàn)?，且，，要恒成立，即，則橢圓離心率的取值范圍是．故選：D．二、填空題（本題共6小題，每小題5分，共30分）10已知空間向量，，若，則_____.【答案】【解析】已知空間向量，，若，則，即，有，解得，所以，則，故答案為：.11.已知直線經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直.則直線的方程為_____.【答案】【解析】聯(lián)立，解得，所以直線和的交點(diǎn)為，設(shè)與直線垂直的直線為，將代入得，解得，所以直線的方程為，故答案為：.12.已知圓與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值為_____.【答案】16或-24【解析】由圓，可知圓心，半徑，由圓，可知，半徑，可知兩圓心之間的距離為,因?yàn)閳A與圓相切，所以①，即，解得②，即，解得則實(shí)數(shù)的取值為或.故答案為：或.13.已知，直線恒過定點(diǎn)，圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，則圓的方程為_____.【答案】【解析】直線的方程轉(zhuǎn)化為令，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則，設(shè)圓的方程為，且圓的圓心到直線的距離為，又，則.即圓的半徑為.則圓的方程為故答案為：.14.如圖，正方體的棱長為2，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在對角線上運(yùn)動，則點(diǎn)到直線距離的最小值為_____.【答案】或【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因正方體的棱長為，，分別是棱，的中點(diǎn)，則可得，則，，設(shè)，，則，過點(diǎn)作，垂足為，則，則當(dāng)時，取得最小值為，所以點(diǎn)到直線距離的最小值為，故答案為：.15.設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，，P是橢圓上一點(diǎn)，且，若的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r，當(dāng)時，橢圓的離心率為______．【答案】或0.6【解析】由題意得，由正弦定理得，故，由橢圓定義可知，，故，又，由余弦定理得，即，解得，故，解得，因?yàn)?，所以，解?故答案為：.三、解答題（本題共5小題，共75分）16.已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切.（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓相交與，兩點(diǎn)，當(dāng)時，求直線方程：（3）已知實(shí)數(shù)，滿足圓的方程，求的取值范圍.【答案】（1）（2）或.（3）.解：（1）由題意知點(diǎn)到直線的距離為圓C的半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，所以圓的方程為.（2）因?yàn)橹本€與圓相交與，兩點(diǎn)，且，利用垂徑定理和勾股定理，可得圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，圓心到直線的距離為1，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由題意可得，解得，所以直線的方程為，即，綜上所述：直線的方程為或.（3）表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，又圓心C到點(diǎn)的距離為，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，最大值為，所以的最小值為9，最大值為49，即的取值范圍是.17.在如圖所示的幾何體中，平面，，F(xiàn)是的中點(diǎn)，，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成夾角的余弦值；（3）求四面體的體積.（1）證明：方法一：取的中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，得，而，則.又，于是四邊形是平行四邊形，，在中，，，有，又由平面，平面，得，而，，平面，因此平面，所以平面.方法二：由已知平面，而，則直線，，兩兩垂直，如圖，以為原點(diǎn)，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，于是，，，，，是的中點(diǎn)，所以，，設(shè)是平面的一個法向量，則，故可取，因，則，所以平面.（2）解：由（1）方法二建系，則，，設(shè)是平面的一個法向量，則，故可取，顯然平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，因此，所以平面與平面夾角的余弦值是.（3）解：方法一：由（2）已知平面的一個法向量為，且，則點(diǎn)到平面的距離，又，，，，所以.方法二：由（1）知為點(diǎn)到面的距離，，，故.18.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，短軸長為2，且左焦點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)在橢圓的長軸上，過點(diǎn)且不與軸重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，求面積的最大值.解：（1）由橢圓短軸長為，得，又橢圓左焦點(diǎn)到直線的距離為，即，解得，又，解得，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）方法一：依題意直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為：，，，，聯(lián)立，消去整理得，顯然，，，，，則，，代入可得，所以，的面積，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，面積的最大值為.方法二：依題意直線的斜率存在且不為，設(shè)直線方程為：，，，，，聯(lián)立，消去整理得，所以，.，，，，則，可得，又，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，面積的最大值為1.19.如圖所示，正方形所在平面與梯形所在平面垂直，，，，（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在，請說明理由.（1）證明：因?yàn)闉檎叫?，所以，因?yàn)椋?，平面AND，平面BMC，所以平面平面BMC，又平面AND，所以平面.（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，所以平面，又平面，所以，在中，，所以在中，，所以，又，所以，所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，為x，y，z軸正方向建系，如圖所示：所以，則，設(shè)平面CDM的法向量，則，令，可得，所以一條法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，可得，所以一條法向量，因?yàn)槠矫?，所以即為平面法向量，所以，即，解得?1（舍），所以，則，所以存在一點(diǎn)E，使得平面與平面的夾角的余弦值為，此時20.已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)為F，且被橢圓C截得的線段長為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）橢圓C的下頂點(diǎn)為A，P是橢圓C上一動點(diǎn)，直線AP與圓O：相交于點(diǎn)M(異于點(diǎn)A)，M關(guān)于O的對稱點(diǎn)記為N，直線AN與橢圓C相交于點(diǎn)Q(異于點(diǎn)A).設(shè)直線MN，PQ的斜率分別為，試探究當(dāng)時，是