高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市S9聯(lián)盟2025-2026學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在復平面內，復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，對應的點位于第四象限.故選：D.2.“”是“直線與直線平行”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】因為，所以直線，直線，則與平行，故充分條件成立；當直線與直線平行時，，解得或，當時，直線與直線重合，當時，直線，直線平行，故必要條件成立.綜上知，“”是“直線與直線平行”的充要條件.故選：A.3.已知是空間直角坐標系中一點，與點關于平面對稱的點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知點關于平面對稱的點的坐標是.故選：B.4.如圖，在平行六面體中，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設，因為六面體是平行六面體，所以，因為，代入計算可得：，故有：，所以，所以，因為，所以.故選：B.5.已知是正實數(shù)，直線平分圓：所圍成的面積，則的最小值為（）A.12 B.10 C.8 D.25【答案】D【解析】由圓：整理可得：，則該圓的圓心為，由題意可得直線過圓心，則，整理可得，所以，由為正實數(shù)，則，當且僅當時，等號成立，所以.故選：D.6.函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，其圖象關于軸對稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】把函數(shù)（）的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)是（），且它是偶函數(shù)，所以（），，（），又因為，所以.故選：B．7.若直線在軸上的截距為，且它的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則的值為（）A. B.1 C. D.7【答案】A【解析】由直線在軸上的截距為，得，解得，由直線的傾斜角為，得，直線的傾斜角為，因此，解得，所以.故選：A.8.，過定點的動直線和過定點的動直線交于點（與不重合，為坐標原點），則以下結論：（1）為定值；（2）的面積的最大值為；（3）的最大值為5；（4）的最大值為.其中正確的結論有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】對于直線，變形為，令，解得，定點，對于直線，變形為，令，解得，定點，對直線和直線，，故兩條直線垂直，,,，為定值，故（1）正確，設，由以上可知，根據(jù)基本不等式可得，當且僅當時等號成立，的面積，的面積的最大值為，故（2）正確；設，，，則，，，即，在以為圓心，為半徑的圓上，故的最大值為，故（3）正確；設，由上可知，根據(jù)柯西不等式可得，即，，當且僅當時取等號，的最大值為，故（4）正確.故選：.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，且，則B.若，且，則C.若，且，則D.若，且，則【答案】AD【解析】A，因為，，所以，又，所以不同的平面滿足，故A正確；B，若，且，則或兩平面相交，比如：正方體的底面和側面中分別取直線，且，但是底面和側面并不平行，故B錯誤；C，若，且，則兩平面相交或平行，比如：正方體的上下兩個底面中分別取直線，且，上底面與平行，但是上底面與下底面并不垂直；故C錯誤；D，因為，，則，又，所以，故D正確.故選：AD.10.以下四個命題表述正確的是（）A.過點）且在軸、軸上截距相等的直線方程為B.圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1C.圓與圓恰有三條公切線，則D.已知圓，過點向圓引兩條切線為切點，則直線方程為【答案】BCD【解析】A選項，如果截距為零，則直線方程為，故A錯誤.B選項，圓的圓心為原點，半徑為，圓心到直線的距離為，所以圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1，B選項正確.C選項，圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為，由于、有三條公切線，所以兩個圓外切，所以，，C選項正確.D選項，圓的圓心為原點，半徑為.，以為直徑的圓的方程為，即，則所在直線方程為即.故D選項正確.故選：BCD.11.棱長為2的正方體中，點在棱上運動，點是棱的中點，則下列說法正確的是（）A.若是棱中點，則平面B.存在點使C.若與平面所成的角記為，則D.點到直線的距離最小值為【答案】ACD【解析】對于A，由題意取的中點為，并連接，作圖如下：在正方體中，由分別為的中點，則易知，且，所以在平行四邊形中，，因為平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，由題意作圖如下：設，則，，，，在中，，令，化簡可得，由，則方程無實數(shù)解，故B錯誤；對于C，以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，作圖如下：則，，，，取，，，設平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量，可得，當時，，當時，令，由函數(shù)在上單調遞減，則，所以，可得，綜上可得，故C正確；對于D，取的中點，連接交于，在平面內，過作于，連接，，，作圖如下：在正方形中，易知，，在正方體中，易知，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，由，當且僅當重合時，等號成立，在中，，在中，由，則，所以，即到的距離最小值為，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在空間直角坐標系中，已知，則的最小值是__________.【答案】2【解析】，，當時，最小，的最小值為2.故答案為：2.13.圓心在直線上且與直線相切于點的圓的方程是________．【答案】【解析】依題意，過切點的圓的半徑所在直線方程為，即，由解得，因此所求圓的圓心為，半徑，所以所求圓的方程為.故答案為：.14.已知直線與圓心在原點的圓相切，函數(shù)過定點，過點作圓的兩條互相垂直的弦，則四邊形面積的最大值為__________.【答案】15【解析】由原點到直線的距離，則圓的半徑，由，則，即，由題意作，，分別垂足為，如下圖：易知四邊形為矩形，則，易知四邊形的面積，當且僅當，等號成立.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在銳角中，內角的對邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面積.解：（1）中，，根據(jù)正弦定理，得，銳角中，，是銳角的內角，.（2），，由余弦定理，得，化簡得，，平方得，兩式相減，得，可得．因此，的面積．16.已知兩直線.（1）求過兩直線的交點且與直線平行的直線方程.（2）已知兩點，動點在直線運動，求的最小值.解：（1）聯(lián)立，所以兩直線的交點為.設與直線平行的直線方程為，將代入得，所以所求的直線方程為.（2）設點關于直線對稱的點為，，解得.則，故的最小值為.17.如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2菱形，，，點分別為棱的中點.（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的大小為，求二面角的余弦值.（1）證明：如圖：取中點，連接，因為為中點，所以且，又四邊形為菱形，且為中點，所以且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.（2）解：如圖：連接，交于點，因為四邊形為菱形，所以，且為的中點，又因為，所以平面，且，所以平面，平面，所以平面平面，所以是直線在平面內的射影，則為直線與平面所成的角的平面角，則，又，所以，如圖，以為原點，直線所在直線分別為軸，過點O垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則，所以.取平面一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，令，得，則，則，所以二面角的余弦值為.18.公元前3世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯（Apollonius）在《平面軌跡》一書中，研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下著名結果：平面內到兩個定點A，B距離之比為（且）的點P的軌跡為圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓.已知兩定點，，若動點P滿足，動點P軌跡為圓C.（1）求圓C的方程；（2）過點的直線l與圓C交于D、E兩點，若弦長，求直線l的方程；（3）若Q是x軸上的動點，，與圓C相切，切點分別為F，G，試問直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標：若不是，請說明理由.解：（1）設，則由可得，即，則點P的軌跡方程為：.（2）易知，直線l的斜率不存在時，直線與圓相離，不滿足題意；故直線l存在斜率，設直線l為，則點到直線l的距離為.則.則，所以或.直線l為或.（3）設，則以為直徑的圓的圓心為，記，半徑為，則此圓的方程為，即，記此圓為圓P.因為直線為圓C與圓P的相交弦所在直線，所以兩圓方程作差可得直線FG的方程為，即.由，解得所以直線恒過定點，定點坐標為.19.在空間直角坐標系中，定義：過點，且方向向量為的直線的點方向式方程為；過點，且法向量為的平面的點法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．（1）已知直線的點方向式方程為，平面的一般式方程為，求直線與平面所成角的余弦值；（2）已知平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，若，證明：；（3）已知斜三棱柱中，側面所在平面經(jīng)過三點，側面所在平面的一般式方程為，側面所在平面的一般式方程為，求平面與平面夾角的余弦值．（1）解：由直線的點方向式方程為可知直線的一個方向向量坐標為.由平面的一般式方程為可知平面的一個法向量為，設直線與平面所成角為，所以有，所以，即直線與平面所成角的余弦值為