第一章第2節(jié)常用邏輯用語(yǔ)[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.通過(guò)已知的數(shù)學(xué)實(shí)例,理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系、判定定理與充分條件的關(guān)系以及數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.通過(guò)已知的數(shù)學(xué)實(shí)例,理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.積累·必備知識(shí)01回顧教材,夯實(shí)四基1.充分條件、必要條件與充要條件的概念充分不必要必要不充分充要充分、必要條件與對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系設(shè)A={x|p(x)},B={x|q(x)}.①若p是q的充分條件,則A?B;②若p是q的充分不必要條件,則A?B;③若p是q的必要不充分條件,則A?B;④若p是q的充要條件,則A=B.口訣:小充分,大必要.2.全稱量詞命題與存在量詞命題(1)短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號(hào)“

”表示.含有

的命題,叫做全稱量詞命題.(2)短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號(hào)“

”表示.含有

的命題,叫做存在量詞命題.?全稱量詞?存在量詞3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定含量詞命題含量詞命題的否定結(jié)論?x∈M,p(x)?x∈M,﹁p(x)存在量詞命題的否定是

命題?x∈M,p(x)?x∈M,﹁p(x)全稱量詞命題的否定是

命題全稱量詞存在量詞1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”).(1)設(shè)集合A={1,3,5,7},B={1,3},則“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件.(

)(2)“三角形的內(nèi)角和為180°”是全稱量詞命題.(

)(3)當(dāng)p是q的充要條件時(shí),也可說(shuō)成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立.(

)(4)?x∈M,p(x)與?x∈M,﹁p(x)的真假性相反.(

)×√√√2.(必修第一冊(cè)P22習(xí)題1.4T2改編)命題“三角形是等邊三角形”是命題“三角形是等腰三角形”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√解析:由“三角形是等邊三角形”可得“該三角形一定是等腰三角形”,但反之不成立.故選A.3.(必修第一冊(cè)P31練習(xí)T1改編)已知命題p:?n∈N*,n2>n-1,則命題p的否定﹁p為(

)A.?n∈N*,n2≤n-1 B.?n∈N*,n2<n-1C.?n∈N*,n2≤n-1 D.?n∈N*,n2<n-1√解析:由全稱量詞命題的否定為存在量詞命題可得命題p:?n∈N*,n2>n-1的否定﹁p為?n∈N*,n2≤n-1.故選C.4.(多選題)(必修第一冊(cè)P28練習(xí)T1改編)下列命題是全稱量詞命題且為真命題的是(

)A.?x∈R,-x2-1<0B.?m∈Z,nm=mC.所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑√√解析:對(duì)于A,?x∈R,-x2≤0,所以-x2-1<0,故A選項(xiàng)是全稱量詞命題且為真命題;對(duì)于B,當(dāng)m=0時(shí),nm=m恒成立,故B選項(xiàng)是存在量詞命題且為真命題;對(duì)于C,任何一個(gè)圓的圓心到其切線的距離都等于半徑,故C選項(xiàng)是全稱量詞命題且為真命題;對(duì)于D,因?yàn)閤2-2x+3=(x-1)2+2≥2,所以,故D選項(xiàng)是存在量詞命題且為假命題.故選AC.5.若“x>3”是“x>m”的必要不充分條件,則m的取值范圍是

.

(3,+∞)解析:因?yàn)椤皒>3”是“x>m”的必要不充分條件,所以(m,+∞)是(3,+∞)的真子集,由圖可知m>3.02提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實(shí)四翼考點(diǎn)一充分、必要條件的判斷[例1](1)設(shè)x∈R,則“l(fā)og2x<1”是“x2+x-6<0”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√解析:(1)由log2x<1,解得0<x<2;由x2+x-6<0,解得-3<x<2,由(0,2)?(-3,2),得“l(fā)og2x<1”是“x2+x-6<0”的充分不必要條件.故選A.(2)(2023·天津卷)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件√解析:(2)由a2=b2,則a=±b,當(dāng)a=-b≠0時(shí),a2+b2=2ab不成立,充分性不成立;由a2+b2=2ab,則(a-b)2=0,即a=b,顯然a2=b2成立,必要性成立;所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分條件.故選B.充分條件、必要條件的兩種判定方法(1)定義法:根據(jù)p?q,q?p進(jìn)行判斷,適用于定義、定理判斷性問(wèn)題.(2)集合法:根據(jù)p,q對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷,多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問(wèn)題.[針對(duì)訓(xùn)練](1)(2024·山東濰坊模擬)“b∈(-2,2)”是“?x∈R,x2-bx+1≥0成立”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√解析:(1)因?yàn)?x∈R,x2-bx+1≥0成立,則Δ=(-b)2-4≤0,即-2≤b≤2.所以“b∈(-2,2)”是“?x∈R,x2-bx+1≥0成立”的充分不必要條件.故選A.(2)(2022·浙江卷)設(shè)x∈R,則“sinx=1”是“cosx=0”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件√考點(diǎn)二充分、必要條件的應(yīng)用[例2](1)不等式ax2-2x+1>0(a∈R)恒成立的一個(gè)充分不必要條件是(

)A.a≥1 B.a>1C.0<a< D.a>2√解析:(1)不等式ax2-2x+1>0(a∈R)恒成立,顯然a=0不成立,故應(yīng)滿足解得a>1,即不等式ax2-2x+1>0(a∈R)恒成立的充要條件是a>1,因?yàn)閍>2是a>1的真子集,故“a>2”是“a>1”的充分不必要條件.故選D.(2)(2024·遼寧沈陽(yáng)模擬)已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|x2-3mx+2m2+m-1<0},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(

)A.[-3,2] B.[-1,3]√解析:(2)因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”的必要不充分條件,故B?A,由題意,集合A={x|x2-x-12≤0}=[-3,4],B={x|x2-3mx+2m2+m-1<0}={x|(x-m-1)(x-2m+1)<0},若m>2,則2m-1>m+1,此時(shí)B=(m+1,2m-1),若m<2,則2m-1<m+1,此時(shí)B=(2m-1,m+1),故選C.(1)對(duì)于充分、必要條件的探求,一般轉(zhuǎn)化為集合問(wèn)題.根據(jù)“小充分、大必要”判斷求解其充分、必要條件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“沒(méi)它不行”.(2)求參數(shù)問(wèn)題的解題策略①把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.②要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).[針對(duì)訓(xùn)練](1)(2024·寧夏銀川模擬)a>b的一個(gè)充要條件是(

)A. B.ac2>bc2C.log2a>log2b D.1.7a>1.7b√B項(xiàng),若a>b,取c=0,則ac2>bc2不成立,故B不符合題意;C項(xiàng),函數(shù)y=log2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,由log2a>log2b,得a>b>0,故C不符合題意;D項(xiàng),函數(shù)y=1.7x在R上單調(diào)遞增,由1.7a>1.7b,得a>b;由a>b,得1.7a>1.7b,所以“1.7a>1.7b”是“a>b”的充要條件,故D符合題意.故選D.(2)已知“m≤t”是表示圓”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為

.

[1,+∞)考點(diǎn)三全稱量詞命題與存在量詞命題角度一含量詞命題的否定[例3](2024·云南昆明模擬)命題“?x>1,x-2lnx≤1”的否定為(

)A.?x>1,x-2lnx≤1B.?x≤1,x-2lnx>1C.?x>1,x-2lnx>1D.?x≤1,x-2lnx≤1√解析:根據(jù)存在量詞命題“?x∈M,p(x)”的否定形式是全稱量詞命題“?x∈M,﹁p(x)”,可知“?x>1,x-2lnx≤1”的否定為“?x>1,x-2lnx>1”.故選C.角度二含量詞命題真假的判斷[例4](多選題)在下列命題中,真命題是(

)A.?x∈R,x2+x+3=0√C.?x,y∈Z,使3x-2y=10D.?x∈R,x3-x2+1≤0√角度三含量詞命題的應(yīng)用[例5](2024·湖北孝感模擬)若命題“任意實(shí)數(shù)x使得不等式ax2+(a-2)x+>0成立”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(-∞,1]∪[4,+∞)(1)含量詞命題的否定,一是要改寫量詞,二是要否定結(jié)論.(2)判定全稱量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題,需要對(duì)集合M中的每一個(gè)元素x,證明p(x)成立;要判定存在量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題,只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)x,使p(x)成立即可.(3)由命題真假求參數(shù)的取值范圍,一是直接由命題的含義,利用函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍;二是利用等價(jià)命題,即p與﹁p的關(guān)系,轉(zhuǎn)化成由﹁p的真假求參數(shù)的取值范圍.[針對(duì)訓(xùn)練](1)(角度一)已知命題p:?x∈[0,+∞),ln(x2+1)≥0,則﹁p為(

)A.?x∈(-∞,0),ln(x2+1)<0B.?x∈[0,+∞),ln(x2+1)<0C.?x∈(-∞,0),ln(x2+1)<0D.?x∈[0,+∞),ln(x2+1)<0√解析:(1)因?yàn)槊}p:?x∈[0,+∞),ln(x2+1)≥0,所以﹁p:?x∈[0,+∞),ln(x2+1)<0,故選B.(2)(角度二)(多