第一章第6節(jié)指數(shù)函數(shù)[課程標準要求]1.通過實例,了解指數(shù)函數(shù)的實際意義,能用描點法或借助計算工具畫出指數(shù)函數(shù)的圖象.2.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點等性質(zhì),并能簡單應用.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基1.指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,定義域是R.2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)項目a>10<a<1圖象定義域R值域

性質(zhì)過定點

,即x=0時,y=1當x>0時,

;當x<0時,

當x<0時,

;當x>0時,

在(-∞,+∞)上是

在(-∞,+∞)上是

y=ax與

的圖象關于y軸對稱(0,+∞)

(0,1)y>10<y<1y>10<y<1增函數(shù)減函數(shù)1.作指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象,應抓住三個關鍵點:(1,a),(0,1),2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關,要特別注意應分a>1與0<a<1來研究.3.在第一象限內(nèi),指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象越高,底數(shù)越大.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)函數(shù)y=2x-1是指數(shù)函數(shù).(

)(2)函數(shù)y=(a>1)的值域是(0,+∞).(

)(3)2-3>2-4.(

)(4)若am<an(a>0,且a≠1),則m<n.(

)××√×2.如圖,①②③④中不屬于函數(shù)y=3x,y=2x,y=中一個的是(

)A.① B.②

C.③ D.④√解析:由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,①是y=的部分圖象;③是y=2x的部分圖象;④是y=3x的部分圖象,所以只有②不是指數(shù)函數(shù)的圖象.故選B.3.(必修第一冊P119習題4.2T6改編)已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,則(

)A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.c>a>b解析:因為函數(shù)y=1.01x在(-∞,+∞)上是增函數(shù),且3.5>2.7,0<0.750.1<1,故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a.故選C.√4.函數(shù)的值域為

.

(0,1)∪(1,+∞)解析:函數(shù)的定義域為{x|x≠1},因為≠0,所以y≠1,又指數(shù)函數(shù)y=2x的值域為(0,+∞),故所求函數(shù)的值域為(0,1)∪(1,+∞).02提升·關鍵能力類分考點,落實四翼考點一指數(shù)函數(shù)的圖象及應用[例1](1)已知0<a<1,b<-1,則函數(shù)y=ax+b的圖象必定不經(jīng)過(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限√解析:(1)因為0<a<1,故y=ax的圖象經(jīng)過第一象限和第二象限,且當x越來越大時,圖象與x軸無限接近.因為b<-1,故y=ax的圖象向下平移超過一個單位長度,故y=ax+b的圖象不經(jīng)過第一象限.故選A.(2)(2024·廣東深圳質(zhì)檢)若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|(a>0且a≠1)的圖象有兩個交點,則a的取值范圍是

.

解析:(2)y=|ax-1|的圖象是由y=ax的圖象先向下平移1個單位長度,再將x軸下方的圖象翻折到x軸上方,保持x軸上及其上方的圖象不變得到的.當a>1時,如圖①,兩圖象只有一個交點,不符合題意;(1)對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖象問題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手,通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地,當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時應注意分類討論.(2)有關指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖象,數(shù)形結合求解.[針對訓練](1)(2024·陜西咸陽模擬)下圖中的函數(shù)圖象所對應的解析式可能是(

)√解析:(1)根據(jù)圖象可知,函數(shù)關于直線x=1對稱,且當x=1時,y=-1,故排除B,D兩項;當x>1時,函數(shù)圖象單調(diào)遞增,無限接近于0,對于C項,當x>1時,y=-2|x-1|單調(diào)遞減,故排除C項.故選A.(2)(多選題)(2024·福建福州模擬)已知實數(shù)a,b滿足等式2023a=2024b,下列等式可以成立的是(

)A.a=b=0 B.a<b<0C.0<a<b D.0<b<a√√√解析:(2)如圖,觀察易知,a<b<0或0<b<a或a=b=0.故選ABD.考點二指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用角度一比較大小[例2](1)(2024·江蘇蘇州模擬)若a=0.30.7,b=0.70.3,c=1.20.3,則a,b,c的大小關系是(

)A.a>b>c B.c>b>aC.b>c>a D.a>c>b√解析:(1)因為函數(shù)y=0.3x,y=0.7x在R上是減函數(shù),所以0<0.30.7<0.30.3<0.30=1,0.70.3<0.70=1,又因為冪函數(shù)y=x0.3在(0,+∞)上單調(diào)遞增,0.3<0.7,所以0<0.30.3<0.70.3,所以0<a<b<1,而函數(shù)y=1.2x是R上的增函數(shù),所以c=1.20.3>1.20=1,所以c>b>a.故選B.(2)(2024·遼寧葫蘆島模擬)若ex+πy>e-y+π-x,則(

)A.ln(y+x+e)>1 B.ln(y+x+e)<1C.logπ|x+y|>0 D.logπ|x+y|<0√解析:(2)不等式ex+πy>e-y+π-x?ex-π-x>e-y-π-(-y),令函數(shù)f(x)=ex-π-x,x∈R,因為函數(shù)y=ex,y=-π-x在R上都是增函數(shù),因此函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),又ex+πy>e-y+π-x?f(x)>f(-y),于是x>-y,即x+y>0,則x+y+e>e,從而ln(x+y+e)>lne=1,A正確,B錯誤;給定條件不能比較x+y與1的大小,當x+y=1時,logπ|x+y|=0,C,D錯誤.故選A.角度二解簡單的指數(shù)方程或不等式√(2)已知實數(shù)a≠1,函數(shù)f(x)=若f(1-a)=f(a-1),則a的值為

.

解析:(2)當a<1時,41-a=21,解得a=;當a>1時,代入不成立.故a的值為.角度三指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用[例4](2024·江蘇鎮(zhèn)江模擬)設函數(shù)f(x)=a·2x-2-x(a∈R).(1)若函數(shù)y=f(x)的圖象關于原點對稱,求函數(shù)g(x)=f(x)+的零點x0;解:(1)因為f(x)的圖象關于原點對稱,所以f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)+f(x)=0,所以a·2-x-2-x+a·2x-2x=0,即(a-1)·(2-x+2x)=0,所以a=1.則2·(2x)2+3·2x-2=0,所以(2x+2)·(2·2x-1)=0,又2x>0,所以2·2x-1=0,解得x=-1,即x0=-1,所以函數(shù)g(x)的零點為-1.(2)若函數(shù)h(x)=f(x)+4x+2-x在x∈[0,1]時的最大值為-2,求實數(shù)a的值.(1)比較指數(shù)式的大小的方法①能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪,再利用單調(diào)性比較大小;②不能化成同底數(shù)的,一般引入“0或1”等中間量比較大小.(2)指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化.(3)涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題,首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關性質(zhì),其次要明確復合函數(shù)的構成,涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時,都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.易錯警示在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時,當?shù)讛?shù)a與“1”的大小關系不確定時,要分類討論.[針對訓練](1)(角度一)(2024·河南焦作模擬)若a=21.9,b=21.5,c=31.9,則(

)A.c>a>b B.b>a>cC.a>c>b D.a>b>c√解析:(1)因為指數(shù)函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增,且1.9>1.5,所以21.9>21.5,即a>b;因為冪函數(shù)y=x1.9在(