第4節(jié)復(fù)數(shù)[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.通過(guò)方程的解,認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù).2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義,理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.3.掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.積累·必備知識(shí)01回顧教材,夯實(shí)四基1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義:形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中

是實(shí)部,

是虛部,i為虛數(shù)單位.ab(2)復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)=≠=(3)復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di?

(a,b,c,d∈R).a=c且b=d兩復(fù)數(shù)只有相等關(guān)系,若兩復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù),則沒(méi)有大小關(guān)系.(4)共軛復(fù)數(shù)a+bi與c+di互為共軛復(fù)數(shù)?

(a,b,c,d∈R).a=c,b=-d(5)復(fù)數(shù)的模向量的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對(duì)值,記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=

(a,b∈R).2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面的概念建立

來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面實(shí)軸、虛軸在復(fù)平面內(nèi),x軸叫做

,y軸叫做

,實(shí)軸上的點(diǎn)都表示

;除原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示

復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)

復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)(a,b∈R)

平面向量直角坐標(biāo)系實(shí)軸虛軸實(shí)數(shù)純虛數(shù)3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=

;②減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=

;③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=

;(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)i(2)幾何意義:復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N).1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”).(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)中,虛部為bi.(

)(2)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念,因此復(fù)數(shù)可以比較大小.(

)(3)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).()(4)已知z=a+bi(a,b∈R),當(dāng)a=0時(shí),復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).(

)(5)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模.(

)××√×√2.(2+2i)(1-2i)等于(

)A.-2+4i B.-2-4iC.6+2i D.6-2i√解析:(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i+4=6-2i.故選D.3.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限√√5.若復(fù)數(shù)z=,則|z|=

.

02提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實(shí)四翼考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念[例1](1)(2023·全國(guó)乙卷)|2+i2+2i3|等于(

)A.1 B.2 C. D.5√解析:(1)由題意可得2+i2+2i3=2-1-2i=1-2i,則|2+i2+2i3|=|1-2i|.故選C.A.i B.-i C.1 D.-1√解析:(2)因?yàn)?1-i,所以z(1+i)(-i)=(2-i)(1-i),所以z(1-i)=(2-i)(1-i),所以z=2-i,所以=2+i,所以的虛部為1.故選C.(3)已知m,n∈R,且mi(3+i)=2+ni,則m+n等于(

)A.-8 B.-4 C.4 D.8√(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),其中a,b分別是它的實(shí)部和虛部.若z為實(shí)數(shù),則虛部b=0,與實(shí)部a無(wú)關(guān);若z為虛數(shù),則虛部b≠0,與實(shí)部a無(wú)關(guān);若z為純虛數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a=0且b≠0.[針對(duì)訓(xùn)練](1)(2023·全國(guó)甲卷)若復(fù)數(shù)(a+i)(1-ai)=2,a∈R,則a等于(

)A.-1 B.0 C.1 D.2解析:(1)因?yàn)?a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,所以解得a=1.故選C.√(2)已知=1-yi,其中x,y是實(shí)數(shù),i是虛數(shù)單位,則x+yi的共軛復(fù)數(shù)為(

)A.2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i√解得x=2,y=1,所以x+yi=2+i,所以其共軛復(fù)數(shù)為2-i.故選B.考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算[例2](1)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知z=,則z-等于(

)A.-i B.i C.0 D.1√(2)設(shè)2(z+)+3(z-)=4+6i,則z等于(

)A.1-2i B.1+2iC.1+i D.1-i解析:(2)設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則=a-bi,代入2(z+)+3(z-)=4+6i,可得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.故選C.√(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng),不含i的看作另一類同類項(xiàng),分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù),解題時(shí)要注意把i的冪寫成最簡(jiǎn)形式.[針對(duì)訓(xùn)練](1)(2023·全國(guó)甲卷)等于(

)A.-1 B.1 C.1-i D.1+i√√解析:(2)因?yàn)?2z+3)i=3z,2zi+3i=3z,(3-2i)z=3i,考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的幾何意義[例3](1)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)在復(fù)平面內(nèi),(1+3i)·(3-i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限√解析:(1)因?yàn)?1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,則所求復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(6,8),位于第一象限.故選A.√√(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)一一對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(a,b),一一對(duì)應(yīng)向量=(a,b).(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,使問(wèn)題的解決更加直觀.[針對(duì)訓(xùn)練](1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)2z=5-2i,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限√解析:(1)因?yàn)?1+i)2z=5-2i,