第6節(jié)雙曲線[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率).3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基1.雙曲線的定義一般地,把平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個

叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.其數(shù)學(xué)表達式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|,|F1F2|=2c,其中a,c為常數(shù),且c>a>0}.定點若2a=2c,則軌跡是以F1,F2為端點的兩條射線;若2a>2c,則軌跡不存在;若2a=0,則軌跡是線段F1F2的垂直平分線.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤-a,y∈R

對稱性對稱軸:

;對稱中心:

頂點

A1(0,-a),A2(0,a)漸近線離心率,e∈(1,+∞)y≤-a或y≥a,x∈R坐標(biāo)軸原點A1(-a,0),A2(a,0)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸,它的長度|A1A2|=2a;線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,它的長度|B1B2|=2b;a叫做雙曲線的實半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長a,b,c的關(guān)系c2=

a2+b23.等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線,其漸近線方程為

,離心率為.y=±x1.雙曲線的焦點到其漸近線的距離為虛半軸長b.2.若P是雙曲線右支上一點,F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點,則|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.3.同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦),其長為.4.與雙曲線(a>0,b>0)有共同漸近線的方程可表示為(λ≠0).1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)平面內(nèi)到點F1(0,4),F2(0,-4)距離之差等于6的點的軌跡是雙曲線.(

)(2)方程(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線.(

)(3)雙曲線(a>0,b>0)的漸近線相同.(

)(4)雙曲線(a>0,b>0)的形狀相同,離心率相同.(

)×√××2.若方程表示雙曲線,則實數(shù)m的取值范圍為(

)A.(5,+∞) B.(4,+∞)C.(4,5) D.(-∞,4)∪(5,+∞)√解析:方程表示雙曲線,則(m-5)(2m-8)>0,解得m>5或m<4.故選D.3.雙曲線的離心率為(

)√解析:由題意得a2=16,b2=9,4.雙曲線2y2-x2=1的漸近線方程是(

)√解析:令2y2-x2=0得.故選C.5.(選擇性必修第一冊P127T6改編)已知雙曲線

(a>0,b>0)過點

,且離心率為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.02提升·關(guān)鍵能力類分考點,落實四翼考點一雙曲線的定義及應(yīng)用角度一根據(jù)定義判斷曲線的形狀[例1]已知定點F1(-2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點,點F1關(guān)于點N的對稱點為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P,則點P的軌跡是(

)A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.圓√解析:如圖,連接ON,由題意可得|ON|=1,且N為MF1的中點,又O為F1F2的中點,所以|MF2|=2|ON|=2.因為點F1關(guān)于點N的對稱點為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P,由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|=|PF1|,所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|,所以由雙曲線的定義可得,點P的軌跡是以F1,F2為焦點的雙曲線.故選B.求與雙曲線有關(guān)的點的軌跡問題的方法尋找?guī)缀侮P(guān)系列出動點滿足的關(guān)系式,結(jié)合是否滿足雙曲線的定義,得出相應(yīng)的方程.求解時要注意判斷所求軌跡對應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支,同時要注意與橢圓定義的區(qū)別.角度二雙曲線的焦點三角形[例2]雙曲線的兩焦點為F1,F2,點P在雙曲線上,直線PF1,PF2的傾斜角之差為則△PF1F2的面積為(

)C.32 D.42√整理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100,①根據(jù)點P在雙曲線上可得||PF1|-|PF2||=6,則(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,②①-②得,|PF1||PF2|=64,則△PF1F2的面積為(1)涉及雙曲線上的點到焦點的距離問題的易錯點:若F1,F2分別是雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點,點P在雙曲線上,若|PF1|≥a+c,則點P可在雙曲線的兩支上,若|PF1|<a+c,則點P只在雙曲線的左支上.(2)在“焦點三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,結(jié)合||PF1|-|PF2||=2a,運用平方的方法,建立與|PF1||PF2|的聯(lián)系.[針對訓(xùn)練](1)(角度一)與圓x2+y2=1及圓x2+y2-8x+12=0都外切的圓P的圓心在(

)A.一個橢圓上 B.一個圓上C.一條直線上 D.雙曲線的一支上√解析:(1)由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,畫出圓O:x2+y2=1與圓M:(x-4)2+y2=4的圖象如圖,設(shè)圓P的半徑為r,因為圓P與圓O和圓M都外切,所以|PM|=r+2,|PO|=r+1,則|PM|-|PO|=1<4,所以根據(jù)雙曲線定義知點P在以O(shè),M為焦點的雙曲線的左支上.故選D.(2)(角度二)(2024·福建福州模擬)設(shè)P是雙曲線

上一點,F1,F2分別是雙曲線左、右兩個焦點,若|PF1|=9,則|PF2|等于(

)A.1B.17C.1或17D.8√解析:(2)對于,a2=16,b2=20,所以c2=a2+b2=36,a=4,c=6,又|PF1|=9<a+c,所以點P在雙曲線的左支,則有|PF2|-|PF1|=2a=8,所以|PF2|=17,故選B.考點二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程[例3](1)若雙曲線C1與雙曲線有相同的焦距,且C1過點(3,1),則雙曲線C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)√(2)在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線C過點P(1,1),且其兩條漸近線的方程分別為2x+y=0和2x-y=0,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)√解析:(2)設(shè)雙曲線方程為4x2-y2=λ(λ≠0),又其過點P(1,1),所以λ=4×12-12=3,所以方程為4x2-y2=3,即.故選B.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法:由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線,確定2a,2b或2c,從而求出a2,b2.(2)待定系數(shù)法:求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時,先確定焦點在x軸還是y軸上,設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再由條件確定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦點的位置不好確定,可將雙曲線的方程設(shè)為

(λ≠0)或mx2-ny2=1(mn>0),再根據(jù)條件求解.[針對訓(xùn)練](1)過點(2,1)的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)√解析:(1)設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=λ(λ≠0),代入點(2,1),得λ=3,故所求雙曲線的方程為x2-y2=3,其標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選A.(2)經(jīng)過點P的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)√解析:(2)設(shè)雙曲線的方程為mx2+ny2=1(mn<0),考點三雙曲線的簡單幾何性質(zhì)角度一漸近線[例4]已知雙曲線(a>0,b>0)的一個焦點與虛軸的兩個端點構(gòu)成等邊三角形,則C的漸近線方程為(

)√角度二離心率[例5](2024·山東煙臺調(diào)研)已知F1,F2分別是雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點,點P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點,若sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,則雙曲線C的離心率的取值范圍為

.(1,2)解析:在△PF1F2中,sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,由正弦定理得|PF1|=3|PF2|,又點P是雙曲線C上第一象限內(nèi)的一點,所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3a,|PF2|=a,在△PF1F2中,由|PF1|+|PF2|>|F1F2|,得3a+a>2c,即2a>c,所以又e>1,所以1<e<2.求雙曲線離心率或其范圍的常用方法:(1)求a及b或c的值,由離心率公式求e;(2)將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a,b,c的方程或不等式,利用c2=a2+b2和轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式),通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍).角度三雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用[例6]已知F1,F2分別為雙曲線C:x2-y2=36的左、右焦點,A是雙曲線C右支上(頂點除外)任意一點,若∠F1AF2的角平分線與以AF1為直徑的圓交于點B,則△BF1F2的面積的最大值為(

)√解析:由題可知,C的實軸長2a=12,如圖,延長AF2,F1B交于點D,因為點B在以AF1為直徑的圓上,所以AB⊥F1B,又AB為∠F1AF2的角平分線,所以|AF1|=|AD|,B為F1D的中點.連接OB,則OB是△DF1F2的中位線.由雙曲線的定義知|AF1|-|AF2|=2a=12,故|F2D|=|AD|-|AF2|=|AF1|-|AF2|=12,所以,故點B的軌跡是以原點O為圓心,6為半徑的圓,軌跡方程為x2+y2=36.顯然,當(dāng)點B的坐標(biāo)為(0,6)或(0,-6)時,△BF1F2的面積取得最大值,最大值.故選C.(1)雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用涉及知識面較寬,如雙曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、對稱性、漸近線、離心率等多方面的知識,在解決此類問題時要注意與平面幾何知識的聯(lián)系.(2)與雙曲線有關(guān)的取值范圍問題的解題思路①若條件中存在不等關(guān)系,則借助此關(guān)系直接變換轉(zhuǎn)化求解.②若條件中沒有不等關(guān)系,要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系或借助曲線中不等關(guān)系來解決.[針對訓(xùn)練](1)(角度一)(2022·北京卷)已知雙曲線

的漸近線方程為,則m=

.-3(2)(角度二)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2.點A在C上,點B在y軸上,

,則C的離心率為

.解析:(2)依題意,設(shè)|AF2|=2m,則|BF2|=3m=|BF1|,|AF1|=2a+2m,在Rt△ABF1中,9m2+(2a+2m)2=25m2,則(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去),所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|=|BF1|=3a,則|AB|=5a,(3)(角度三)若坐標(biāo)原點O和點F(-2,0)分別為雙曲線(a>0)的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,求的最小值.(3)解:因為F(-2,0)是已知雙曲線的左焦點,所以a2+1=4,即a2=3,所以雙曲線方程為1.焦點三角形的面積及離心率公式微點提能10橢圓、雙曲線中的二級結(jié)論2.中心弦的性質(zhì)設(shè)A,B為圓錐曲線關(guān)于原點對稱的兩點,點P是曲線上與A,B不重合的任意一點,則kAP·kBP=e2-1.3.中點弦的性質(zhì)設(shè)圓錐曲線以M(x0,y0)(y0≠0)為中點的弦AB所在的直線的斜率為k.4.焦半徑公式(1)當(dāng)點M(x0,y0)在橢圓

(a>b>0)上時,有|MF1|=ex0+a,|MF2|=-ex0+a.(2)當(dāng)點M(x0,y0)在雙曲線

(a>0,b>0)的右支上時,有|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;當(dāng)點M(x0,y0)在雙曲線(a>0,b>0)的左支上時,有|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.5.焦點弦定理B.-4 D.-2知識或方法的應(yīng)用方法一利用中點弦的性質(zhì)求離心率[典例1]已知斜率為k1(k1≠0)的直線l與橢圓交于A,B兩點,線段AB的中點為C,直線OC(O為坐標(biāo)原點)的斜率為k2,則k1·k2等于(

)√(1)若AB是不過橢圓(a>b>0)中心的弦,M是弦AB的中點,且AB,OM都存在非零斜率kAB,kOM,則有kAB·kOM=.(2)若AB是不過雙曲線(a>0,b>0)中心的弦,M是弦AB的中點,且AB,OM都存在非零斜率kAB,kOM,則有kAB·kOM=.[拓展演練]已知傾斜角為的直線與雙曲線(a>0,b>0)相交于A,B兩點,M(4,2)是弦AB的中點,則雙曲線的離心率為(

)√方法二利用焦點三角形求離心率[典例2](1)已知F1,F2是橢圓C的兩個焦點,P是C上的一點,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,則C的離心率為(

)√(2)已知F1,F2是雙曲線的左、右焦點,點M在E上