第11節(jié)圓錐曲線中的證明與存在性問題提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實(shí)四翼考點(diǎn)一證明問題[例1](2024·遼寧沈陽(yáng)模擬)已知橢圓(a>b>0)的離心率,由橢圓E的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為

.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)A為橢圓E的右頂點(diǎn),過點(diǎn)M(-2a,0)且斜率不為0的直線l與橢圓E相交于點(diǎn)B,C(點(diǎn)B在點(diǎn)M,C之間),若N為線段BC上的點(diǎn),且滿足,證明:∠ANC=2∠AMC.因此點(diǎn)N在直線x=-2上,而直線x=-2垂直平分線段MA,所以|NM|=|NA|,即∠AMC=∠MAN,因?yàn)椤螦NC為△MNA的一個(gè)外角,所以∠ANC=∠AMC+∠MAN=2∠AMC.圓錐曲線證明問題的類型及求解策略(1)圓錐曲線中的證明問題,主要有兩類:一是證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系,如:某點(diǎn)在某直線上、某直線經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)、某兩條直線平行或垂直等;二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等).特別注意,這兩種類型不是孤立的,是相互轉(zhuǎn)化的.(2)解決證明問題時(shí),主要根據(jù)直線與圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等,通過相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明.[針對(duì)訓(xùn)練](2024·福建泉州模擬)已知直線y=3與曲線C:x2+2py=0的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離為.(1)求C的方程;(1)解:將y=3代入x2+2py=0,得x2=-6p.當(dāng)p≥0時(shí),不合題意;解得p=-4,故C的方程為x2=8y.(2)設(shè)P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn),過P作C的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,且直線PA,PB與y軸分別交于M,N兩點(diǎn),直線AB的斜率為k0.證明:k1·k2為定值,且k1,k0,k2成等差數(shù)列.(2)證明:由(1)可知C的準(zhǔn)線方程為y=-2,不妨設(shè)P(m,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),由題意,過點(diǎn)P且與C相切的直線l的斜率一定存在,設(shè)為k,則l:y=k(x-m)-2,且k≠0,考點(diǎn)二存在性問題[例2](2024·江蘇南通模擬)已知雙曲線(a>0,b>0)的離心率為2,且過點(diǎn)

.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)Q為雙曲線C右支第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F為雙曲線C的右焦點(diǎn),在x軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)M使得∠QFM=2∠QMF?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.解:(2)假設(shè)存在點(diǎn)M(t,0)(t<0)滿足題設(shè)條件.由(1)知雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(2,0).設(shè)Q(x0,y0)(x0>1)為雙曲線C右支第一象限上一點(diǎn).當(dāng)x0=2時(shí),因?yàn)椤螿FM=2∠QMF=90°,所以∠QMF=45°,于是|MF|=|QF|=3,所以t=-1,即M(-1,0).存在性問題的解題策略存在性的問題,先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,若結(jié)論正確則存在,若結(jié)論不正確則不存在.書寫步驟時(shí),可以先直接寫出探求的結(jié)論,然后說明理由(證明).(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí),要分類討論.(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí),先假設(shè)成立,再推出條件.(3)當(dāng)要討論的量能夠確定時(shí),可先確定,再證明結(jié)論符合題意.[針對(duì)訓(xùn)練](2024·山東青島模擬)已知?jiǎng)訄AP經(jīng)過點(diǎn)A,并且與圓B:相切,記圓心P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)若動(dòng)圓Q的圓心在曲線C上,定直線l:x=t與圓Q相切,切點(diǎn)記為M,探究:是否存在常數(shù)m,使得|QB|=m|QM|?若存在,求m