第十六章軸對稱和中心對稱

16.3角的平分線

教學目標

1.掌握角平分線的性質定理及其逆定理；

2.能利用角平分線的性質定理及其逆定理證明相關結論.

3.能利用尺規(guī)作出一個已知角的平分線.

教學重難點

重點：角平分線的性質定理及逆定理，利用尺規(guī)作一個角的平分線.

難點：角平分線性質定理的逆定理的得出.

教學過程

舊知回顧

1.角平分線的定義

從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這

個角的平分線.

2.線段垂直平分線的性質定理和逆定理

線段垂直平分線的性質定理.：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等;

線段垂直平分線的性質定理的逆定理：到線段兩端距離相等的點，在這條線段

的垂直平分線上.

導入新課

1.圖中表示點P到直線I的距離的是線段尸。的長.

2.本章中，從哪些方面學習線段的垂直平分線？

①線段的垂直平分線的定義；

②線段的軸對稱性；

③線段的垂直平分線的性質定理；

④線段的垂直平分線的性質定理的逆定理；

⑤線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖.

類似地，今天我們將從這些角度學習角的平分線的相關知識.

教師板書課題

探究新知

探究點一角平分線的性質定理

1.角平分線的軸對稱性A

問題：角是軸對稱圖形嗎？如圖所示，將乙對折，你發(fā)現(xiàn)/

了什么？Z------------

OB

學生自己動手操作.

歸納：角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸.

2.角平分線的性質定理

動手操作：如圖所示，。。是乙4。8的平分線，在角平分線0C上任意選一點P,

在邊0A上取點D,邊0B上取點E,怎樣才能使PD=PE'l同學們拿出課前準

備好的乙4。8,用折紙的方法確定。，E的位置.

師生活動:

學生的折紙方法有可能出現(xiàn)的情況很多，讓小組同學展示，然后從班內選擇以下

兩種對本節(jié)課有幫助的情況，展開后的圖形如圖所示.

第一種情況：

由折疊過程可得，PD=PE.

第二種情況：

這樣的折疊過程，實際上是給出了PE10B,也能得到夕。=尸￡

下面來證明第二種情況結論的正確性.

已知：0C是乙4。3的平分線，P是0c上任意一點，PD10AfPE20B,垂足分

別為。，E.

求證：PD=PE.

你能用什么方法說明你的結論是正確的？教師指點，學生自行討論，完成證明過

程.展不成果：

方法一：用刻度尺測量PD,PE,得到兩條線段的長度相等.

方法二：利用用的對稱性，當沿0C所在的直線對折時，P。與PE重合，因此

PD=PE.

方法三：證明：???PQ10A,PELOB,0C平分乙4。8,

：?乙PD0=￡PE0=9。。,乙AOC=CBOC.

NPDO=NPEO、

在△PDO和ZiPE。中，＜ZAOC=ZBOC,

OP-OP,

三△PEO（AAS）,

:.PD=PE.

教師：請你用語言描述你所得到的結論.

學生：角平分線的性質定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

它常用于證明兩條垂線段相等.

教師：利用角的平分線的性質可直接推導出與角的平分線有關的兩條線段相等，

但在推導過程中不要漏掉垂直關系的書寫，同時涉及角平分線上的點與角的兩邊

的垂直關系時.，可直接得到垂線段相等，不必再證兩個三角形全等而走彎路.

練習：判斷下列的寫法是否正確？

（1）如圖所示，AZ）平分乙8AC,（已知）

.?.30=8.（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）

解：錯誤，理由：沒有垂直，不能確定BQ,CD是點。到角兩邊的距離.

(2)v如圖所示，DBLAB,QCLAC,(已知)

BD=CD（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）

解：錯誤；理由：無法確定點。在NB4C的平分線上.

探究點二探究角平分線的性質定理的逆定理

思考：線段垂直平分線的性質定理的逆命題是一個真命題，那么角平分線的性質

定理的逆命題呢？

師生活動：教師引導學生寫出其逆命題，引導學生畫出圖形，判斷其真假，討論

如何驗證其正確性.

學生：畫出圖形如圖所示，有可能的驗證方法：

1.想證明三角形全等但條件不足.

2.如圖所示，連接0C,測量所給圖形中的CE和C尸的長，得至并測

量得到“0C和480C的大小也相等，從而得到C點在角的平分線上.

A

3.折疊所給圖形，使CE與C”重合，此時角的兩條邊也重合，展開后折痕恰好

經(jīng)過角的頂點和。點，所以OC是角的平分線，即點C在角的平分線上.

4.在角的內部任取一點，如果這點在角的平分線上，那么到角的兩邊的距離是相

等的，如果選取的點不在角的平分線上通過測量到角的兩邊的距離，它們不相等,

所以如果到角的兩邊距離相等的點，應該在角的平分線上.

教師總結：其逆命題是一個真命題，我們把它作為一個定理，它與角平分線的性

質定理是互逆的，稱為逆定理.

角平分線性質定理的逆定理：到角的兩邊距離相等的點在角平分線上.

符號表示：如圖所示，???C￡_L04,CFLOB,CE=CF,

:.0C平分NAOB.

證明過程將在第17章中學習.

例已知：如圖1所示，AABC的角平分線BM,CN相交于點P.

求證：點P到三邊BC,C4的距離相等.

教師點撥：因為已知、求證中都沒有具體說明哪些線段是距離，而證明它們相等

必須標出它們，所以要在證明中寫出，同作輔助線一樣處理.如果已知中寫明點P

到三邊的距離是哪些線段，那么圖中畫實線，在證明中就可以不寫.

證明：如圖2所示，過點P分別作PDLA&PELBC,PFLAC,垂足分別為D,

E,F.

?.?BM是AABC的角平分線，點、P在BM上,PD1AB,PELBC,

:.尸。=尸￡同理PE=PF.

.?.PD=PE=PF.

即點尸到三邊A8,BC,CA的距離相等.

思考：點。在〃的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關系？

點。在乙4的平分線上.

結論：三角形的三條角平分線交于一點，這點到三角形三邊的距離相等.

如圖所示，是一個角平分儀，其中BC=OC.將點A放在角的頂點，AB

和AO沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AEAE就是角平分線，你能說明

它的道理嗎？

小組討論后得出：根據(jù)三角形全等的“邊邊邊”的判定方法，可以說明這個儀器的

工作原理.

想一想：能夠運用這種方法作出任意角的平分線嗎？

探究點三用尺規(guī)作已知角的平分線

A

教師引導學生作圖：作〃。3的平分線.（如圖所示）

學生討論作法.

教師總結作法：

如圖所示.

⑴以點。為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交04,。8于點。，E.

⑵分別以點后為圓心，適當長為半徑，在4A08的內部畫弧，兩弧相交于

點、C.4

（3）作射線0C.夕＜…二

則射線OC為所要求作的〃08的平分線.

學生作圖.

教師：你能證明。。為什么是4A08的平分線嗎？

學生進行交流，寫出證明過程.

證明：如圖所示，連接CQ,CE.

由作圖過程知，0D=0E,CD=CE,

又oc=oc,

???2ODCZAOEC,

???乙4OC=480c.

即OC是乙403的平分線.

試一試：在練習本上分別作銳角，鈍角，平角的平分線.

課堂練習

1.如圖1所示，在四邊形A8CO中，ZBCD=90°,BD平分以BC,A3=6,BC=

9,8=4,則四邊形A5c。的面積是（）

A.24B.30C.36D.42

2.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖2所示，則能說明40C

=乙80。的依據(jù)是（）

A.SSSB.ASA

C.AASD.角平分線上的點到角兩邊的距離相等

B

圖1圖2

3.如圖3所示，。是△4BC內一點，且點。到三邊AB,BC,AC的距離?！?。。

OE,若NR4C=70。，則ZAOC=

4.如圖4所示，已知aABC的外角乙CB。和乙灰為的平分線相交于點E求證：點

產(chǎn)在乙QAE的平分線上.

參考答案

l.B2.A3.125°

4.證明：如圖所示，過點尸作/G_LAE于點G,FH工AD于點H,Ml/LBC于點

M.

?.?點/在匕8CE的平分線上，F(xiàn)GLAE,FM1BC,E

:,FG=FM.%/

又?.?點/在乙C8。的平分線上，F(xiàn)HlADfFM1BC,

:,FM=FH,AFG=FH./J

ZBHD

.?.點F在"AE的平分線上.

課堂小結

1.角平分線的性質定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距窗相等.

作用：直接證明兩線段相等.使用的前提是有角的平分線，關鍵是圖中是否有“垂

直”.

2.角平分線性質定理的逆定理：到角的兩邊距離相等的點在角平分線上.作用：證

明角相等.

3.區(qū)別與聯(lián)系：性質定理說明了只要是角平分線上的點，那么它到此角兩邊的距

離一定相等；性質定理的逆定理說明了只要是到角兩邊距離相等的點，都一定在

角平分線上.在實際應月中，前者用來證明線段相等，后者用來證明角相等（角平

分線）.

布置作業(yè)

完成教材習題A組，B組.

板書設計

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