廣東省深圳市外國語學校2026屆高二數(shù)學第一學期期末考試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足，則（）A. B.C. D.2．已知點在拋物線：上，則的焦點到其準線的距離為（）A. B.C.1 D.23．不等式的解集為（）A.或 B.C. D.4．中國大運河項目成功人選世界文化遺產(chǎn)名錄，成為中國第46個世界遺產(chǎn)項目，隨著對大運河的保護與開發(fā)，大運河已成為北京城市副中心的一張亮麗的名片，也成為眾多旅游者的游覽目的地．今有一旅游團乘游船從奧體公園碼頭出發(fā)順流而下至漕運碼頭，又立即逆水返回奧體公園碼頭，已知游船在順水中的速度為，在逆水中的速度為，則游船此次行程的平均速度V與的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.5．已知三個頂點都在拋物線上，且為拋物線的焦點，若，則（）A.6 B.8C.10 D.126．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分又不必要條件7．已知點在拋物線上，則點到拋物線焦點的距離為（）A.1 B.2C.3 D.48．函數(shù)，的值域為（）A. B.C. D.9．已知為偶函數(shù)，且當時，，其中為的導數(shù)，則不等式的解集為()A. B.C. D.10．已知等比數(shù)列的前n項和為，且，則（）A.20 B.30C.40 D.5011．已知定義在上的函數(shù)滿足下列三個條件：①當時，；②的圖象關(guān)于軸對稱；③，都有.則、、的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.12．已知拋物線，則它的焦點坐標為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；14．如圖，某建筑物的高度，一架無人機上的儀器觀測到建筑物頂部的仰角為，地面某處的俯角為，且，則此無人機距離地面的高度為________15．已知，為橢圓C的焦點，點P在橢圓C上，，則的面積為___________.16．在長方體中，若，，則異面直線與所成角的大小為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，設，求數(shù)列的前n項和.18．（12分）已知直線恒過拋物線的焦點F（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于A，B兩點，且，求直線的方程19．（12分）已知圓C：的半徑為1（1）求實數(shù)a的值；（2）判斷直線l：與圓C是否相交？若不相交，請說明理由；若相交，請求出弦長20．（12分）已知為數(shù)列的前項和，且.（1）求的通項公式；（2）若，求的前項和.21．（12分）已知（1）若函數(shù)在上有極值，求實數(shù)a的取值范圍；（2）已知方程有兩個不等實根，證明：（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）22．（10分）已知圓與x軸交于A，B兩點，P是該圓上任意一點，AP，PB的延長線分別交直線于M，N兩點.（1）若弦AP長為2，求直線PB的方程；（2）以線段MN為直徑作圓C，當圓C面積最小時，求此時圓C的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消法即可計算作答.【詳解】因，則，所以，所以.故選：D2、B【解析】由點在拋物線上，求得參數(shù)，焦點到其準線的距離即為.【詳解】由點在拋物線上，易知，，故焦點到其準線的距離為.故選：B.3、A【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法可得答案.【詳解】由不等式可得或不等式的解集為或故選：A4、A【解析】求出平均速度V，進而結(jié)合基本不等式求得答案.【詳解】易知，設奧運公園碼頭到漕運碼頭之間的距離為1，則游船順流而下的時間為，逆流而上的時間為，則平均速度，由基本不等式可得，而，當且僅當時，兩個不等式都取得“=”，而根據(jù)題意，于是.故選：A.5、D【解析】設，，，由向量關(guān)系化為坐標關(guān)系，再結(jié)合拋物線的焦半徑公式即可計算【詳解】由得焦點，準線方程為，設，，由得則，化簡得所以故選：D6、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可求解.【詳解】由可得或，所以由得不出，故充分性不成立，由可得，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.7、B【解析】先求出拋物線方程，焦點坐標，再用兩點間距離公式進行求解.【詳解】將代入拋物線中得：，解得：，所以拋物線方程為，焦點坐標為，所以點到拋物線焦點的距離為故選：B8、D【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)在函數(shù)最值上的應用，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，令，又，所以或；所以當時，；當時，；所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以；又，，所以；所以函數(shù)的值域為.故選：D.9、A【解析】根據(jù)已知不等式和要求解的不等式特征，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式.通過已知條件研究g(x)的奇偶性和單調(diào)性即可解該不等式.【詳解】令，則根據(jù)題意可知，，∴g(x)是奇函數(shù)，∵，∴當時，，單調(diào)遞減，∵g(x)是奇函數(shù)，g(0)＝0，∴g(x)在R上單調(diào)遞減，由不等式得，.故選：A.10、B【解析】利用等比數(shù)列的前n項和公式即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的首項為，公比為，則，由得，即，解得或（舍），且代入①得，則，所以.故選：B.11、A【解析】推導出函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合已知條件可得出，，，利用導數(shù)可知函數(shù)在上為減函數(shù)，由此可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則，故，，又因為，都有，所以，，所以，，，，因為當時，，，當且僅當時，等號成立，且不恒為零，故函數(shù)在上為減函數(shù)，因為，則，故.故選：A.12、D【解析】將拋物線方程化標準形式后得到焦準距，可得結(jié)果.【詳解】由得，所以，所以，所以拋物線的焦點坐標為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：將拋物線方程化為標準形式是解題關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）（2）詳見解析【解析】（1）分別求得和，從而得到切線方程；（2）求導后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根據(jù)導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），，，，又，在處的切線方程為.（2），令，解得：，.①當時，若和時，；若時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；②當時，在上恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；③當時，若和時，；若時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.【點睛】本題考查利用導數(shù)的幾何意義求解曲線在某一點處的切線方程、利用導數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題，屬于?？碱}型.14、200【解析】在Rt△ABC中求得AC的值，△ACQ中由正弦定理求得AQ的值，在Rt△APQ中求得PQ的值【詳解】根據(jù)題意，可得Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300，∴AC200；△ACQ中，∠AQC＝45°+15°＝60°，∠QAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠QCA＝180°﹣∠AQC﹣∠QAC＝45°，由正弦定理，得，解得AQ200，在Rt△APQ中，PQ＝AQsin45°＝200200m故答案為200【點睛】本題考查了解三角形的應用問題，考查正弦定理，三角形內(nèi)角和問題，考查轉(zhuǎn)化化歸能力，是基礎(chǔ)題15、##【解析】設，然后根據(jù)橢圓的定義和余弦定理列方程組可求出，再由三角形的面積公式可求得結(jié)果【詳解】由，得，則，設，則，在中，，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以，故答案為：16、【解析】畫出長方體,再將異面直線與利用平行線轉(zhuǎn)移到一個三角形內(nèi)求解角度即可.【詳解】畫出長方體可得異面直線與所成角為與之間的夾角,連接.則因為,則,又,故,又,故為等腰直角三角形,故,即異面直線與所成角的大小為故答案為【點睛】本題主要考查立體幾何中異面直線的角度問題,一般的處理方法是將異面直線經(jīng)過平行線的轉(zhuǎn)換構(gòu)成三角形求角度,屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）.【解析】(1)由數(shù)列的前n項和與通項公式之間的關(guān)系即可完成.(2)由錯位相減法即可解決此類“差比”數(shù)列的求和.【小問1詳解】由，得當時，，上下兩式相減得，，又當時，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式；【小問2詳解】由（1）可知，所以，則，上下兩式相減得，所以.18、（1）（2）或【解析】（1）把直線化為，得到拋物線的焦點為，求得，即可求得拋物線的方程；（2）聯(lián)立方程組，得到，，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求得直線的方程【小問1詳解】解：將直線化為，可得直線恒過點，即拋物線的焦點為，所以，解得，所以拋物線的方程為【小問2詳解】解：由題意顯然,聯(lián)立方程組，整理得，設，，則，，因為，所以，解得，所以或，所以直線的方程為或19、（1）；（2）直線l與圓C相交，.【解析】（1）利用配方法進行求解即可；（2）根據(jù)點到直線距離公式，結(jié)合圓的弦長公式進行求解即可.【小問1詳解】將化為標準方程得：因為圓C的半徑為1，所以，得【小問2詳解】由（1）知圓C的圓心為，半徑為1設圓心C到直線l的距離為d，則，所以直線l與圓C相交，設其交點為A，B，則，即20、（1）（2）【解析】（1）由與的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義得出的通項公式；（2）由（1）得出，再由錯位相減法得出的前項和.【小問1詳解】因為，所以當時，，所以.當時，，兩式相減，得，所以，所以，所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，兩邊同乘以，得，兩式相減，得，所以.21、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）利用導數(shù)判斷出在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值，列不等式組，即可求出實數(shù)a的取值范圍；（2）記函數(shù)，把證明，轉(zhuǎn)化為只需證明，用分析法證明即可.【小問1詳解】，定義域為，.令，解得：；令，解得：所以在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值.要使函數(shù)在上有極值，只需，解得：，即實數(shù)a的取值范圍為.【小問2詳解】記函數(shù).則函數(shù)有兩個不等實根.因為，，兩式相減得，，兩式相加得，.因為，所以要證，只需證明，只需證明，只需證明，.證.設，只需證明.記，則，所以在上2單增，所以，所以，即，所以.即證.【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；(4)利用導數(shù)證明不等式22、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)圓的直徑的性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義進行求解即可；（2）根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式和圓的標準方程進行求解即可.【小問1詳解】在方程中，令，解得，或，因為AP，PB的延長線分別交直線于M，N兩點，所以，圓心在x軸上，所以，因為，，所以有，當P在