第七章多元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)內(nèi)容和基本要求

理解多元函數(shù)的極限與連續(xù)概念,以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念,了解全微分存在的必要和充分條件。掌握復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。會(huì)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全導(dǎo)數(shù)。會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡單函數(shù)的最大值和最小值，會(huì)解一些簡單應(yīng)用題。重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：多元函數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，用拉格朗日條件極值求最大值應(yīng)用問題。難點(diǎn)：全微分的概念，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。多元函數(shù)概念

多元函數(shù)的極限平面點(diǎn)集與n維空間主要內(nèi)容第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念

多元函數(shù)的連續(xù)性

一元函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R1的子集，一般是一個(gè)區(qū)間.區(qū)間分為開區(qū)間和閉區(qū)間.雖然“開”與“閉”僅相差兩個(gè)端點(diǎn)（邊界點(diǎn)）,但是對討論函數(shù)的性質(zhì)卻有很大的影響.因此，這種區(qū)分是十分必要的.

同樣，對多元函數(shù)也有類似的問題.為了討論多元函數(shù)的性質(zhì)，有必要將R1中“開”“閉”概念推廣到Rn.1.鄰域一、平面點(diǎn)集與n維空間在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)椋阂驗(yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.2.區(qū)域如果對于點(diǎn)集D內(nèi)任何兩點(diǎn)，都可以用折線連接起來，并且該折線上的點(diǎn)都屬于D，則稱點(diǎn)集D是連通的.（連通集）的直觀舉例例如連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．例.例.區(qū)域的定義有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域．例.中的有關(guān)概念3.

4.

中兩點(diǎn)間的距離設(shè)與為中的兩點(diǎn)，規(guī)定該兩點(diǎn)間的距離為：

5.

點(diǎn)的鄰域設(shè)，為一正數(shù)，則中的點(diǎn)集：稱為點(diǎn)的鄰域.引例:

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強(qiáng)

三角形面積的海倫公式二、多元函數(shù)概念1.二元函數(shù)的定義解:1例1x

注意定義域的

三種表示法(2)例2解:1(2)圖示法：函數(shù)的定義域D如右圖所示二元函數(shù)在三維空間的幾何圖形三維空間的曲面函數(shù)z=f(x,y)的定義域例3下列二元函數(shù)的圖形是什么？三、多元函數(shù)的極限定義1（二重極限）設(shè)是二元函數(shù)的定義域D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn),A是一個(gè)確定的數(shù).如果對任給的

，存在使得當(dāng)：恒有：則稱函數(shù)在動(dòng)點(diǎn)趨向于定點(diǎn)時(shí)以A為極限,記作：或者：時(shí),n重極限由此可見,二元函數(shù)的極限是一種“全面極限”,比一元函數(shù)極限復(fù)雜得多.通常我們稱它為二重極限.也記為：同理可以定義n元函數(shù)的極限：[注意]：

所謂二重極限存在，是指以任何方式趨于時(shí)，函數(shù)都無限接近于A例4證明例5設(shè)求證：

同一元函數(shù)極限類似，二元函數(shù)也有相應(yīng)的四則運(yùn)算法則，在此就不贅述了。證明根據(jù)二元函數(shù)極限的加法和乘方的運(yùn)算法則可知(無窮小與有界相乘仍為無窮小)

如何利用以前所學(xué)過的知識(shí)求二重極限呢？例6求解原式則所以原式例7

求極限

解其中評(píng)注：該題綜合運(yùn)用了轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)極限、夾逼定理、二重極限的乘法法則三種方法。計(jì)算二元函數(shù)極限的方法：1.極限的四則運(yùn)算法則2.夾逼定理3.無窮小量乘以有界量仍為無窮小量4.轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限在點(diǎn)(0,0)的極限.例8

討論函數(shù)反之，如何判斷二重極限不在？解:

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.則有k

值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.例8

討論函數(shù)思考：如果(x,y)沿任意直線y=kx

趨于點(diǎn)(0,0)時(shí),函數(shù)f(x,y)的極限都存在且相同，是否可以斷定f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處的極限一定存在呢？解:因?yàn)槔?確定極限不存在的方法：e10ABCD提交單選題1分0不存在ABCD提交2單選題1分不存在.四、多元函數(shù)的連續(xù)性1,連續(xù)的定義定義32.二元函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2解:例10解：例11例12一個(gè)間斷函數(shù)的例子即y軸即x軸例13求

由多元連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性

如果要求多元連續(xù)函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0處的極限

而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)

則解答：計(jì)算二元函數(shù)極限的方法1.函數(shù)的連續(xù)性2.極限的四則運(yùn)算法則3.夾逼定理4.無窮小量乘以有界量仍為無窮小量5.轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限結(jié)合二元函數(shù)連續(xù)的定義和運(yùn)算法則可知多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的。無定義極限不存在極限存在但不連續(xù)連續(xù)ABCD提交單選題1分ABCD提交單選題1分3.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似,在有界的閉區(qū)域上,多元連續(xù)函數(shù)也有如下性質(zhì):定理1（有界性）定理2（最值定理）定理3（介值定理）有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得它的最小值與最大值之間的任何一個(gè)值.內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集2.多元函數(shù)概念n

元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)3.多元函數(shù)的極限(1)定義有(2)二次極限和二重極限的關(guān)系(3)計(jì)算二元函數(shù)極限的方法1）函數(shù)的連續(xù)性2）極限的四則運(yùn)算法則3）夾逼定理4）