高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算主要內(nèi)容第二節(jié)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算則稱為函數(shù)在點(diǎn)處關(guān)于的偏增量,于是極限記:定義1說明:2.實(shí)際上,定義2若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)

,記為或

y

偏導(dǎo)數(shù)存在,例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).x的偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出)例1

設(shè)f(x,y)=x3

+2x2y–y3,求fx(1,3)及fy(2,0).解：求fx(x,y)時(shí),將y看作常量,得到

fx(x

,y)

=3x2

+4xy.

于是,

fx(1,3)=3+12=15;同理,

fy(x,y)=2x2

–3y2,

fy(2,0)=8.

解:應(yīng)用冪函數(shù)求導(dǎo)公式應(yīng)用指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式例2例3.

求的偏導(dǎo)數(shù).解:偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例4.

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號(hào),偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面得的曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)x軸的斜率.所截偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面得的曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)y軸的斜率.所截

此函數(shù)在(0,0)處不連續(xù).例5討論函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)性.在點(diǎn)(0,0)處

解：

此函數(shù)在(0,0)處連續(xù).例6討論函數(shù)存在性與連續(xù)性.在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)解：評(píng)注:綜合例5和例6知:二元函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性與可導(dǎo)性(兩個(gè)偏導(dǎo)是否存在)沒有關(guān)系!!!解練習(xí)1解練習(xí)2后兩者稱為二階混合偏導(dǎo).二、高階偏導(dǎo)數(shù)解解注:

例7和例8中每個(gè)函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)恰好相等.此結(jié)論對(duì)任意函數(shù)都成立嗎？例9解:時(shí)，所以例如,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有：證明本定理對(duì)n

元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.

驗(yàn)證函數(shù)滿足拉普拉斯方程解由x,y

的對(duì)稱性,

例10拉普拉斯方程(Laplace‘sequation)又稱調(diào)和方程、位勢方程，是一種偏微分方程，因由法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯首先提出而得名。對(duì)三元函數(shù)

拉普拉斯方程為

拉普拉斯算子

拉普拉斯，1749年3月23日生于法國西北部卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日，曾任巴黎軍事學(xué)院數(shù)學(xué)教授。1795年任巴黎綜合工科學(xué)校教授，后又在高等師范學(xué)校任教授等等。1827年3月5日卒于巴黎。拉普拉斯在研究天體問題的過程中，創(chuàng)造和發(fā)展了許多數(shù)學(xué)的方法，以他的名字命名的拉普拉斯變換、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

練習(xí)3練習(xí)4解內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;記號(hào);幾何意義

函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方