2025學(xué)年第一學(xué)期麗水發(fā)展共同體期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知空間向量，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，計(jì)算即可．【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確.故選：D2.頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與焦點(diǎn)的關(guān)系求解即可.【詳解】焦點(diǎn)坐標(biāo)為在軸正半軸上，可設(shè)拋物線方程為，又，則，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C3.若直線被圓截得的弦長為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓的弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式求出結(jié)果.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心到直線的距離為.因?yàn)閳A的弦長為，所以根據(jù)勾股定理得，解得.故選：A.4.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若且，則B.若且，則C.若且，則D.若且，則【答案】D【解析】【分析】由空間中直線與直線、直線與平面及平面與平面位置關(guān)系逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．【詳解】若且，則可以相交平面且交線平行，故A錯(cuò)誤；若且，則可以平行，故B錯(cuò)誤；若且，則可以平行，故C錯(cuò)誤；若且，則，故D正確．故選：D．5.如圖，在平行六面體中，，，則線段的長為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由空間向量線性運(yùn)算，可得，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【詳解】，又，，，，，；故選：B.6.已知點(diǎn)在棱長為1的正方體的內(nèi)部且滿足，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分別以為軸作出空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的坐標(biāo)，根據(jù)求出的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線距離的向量法公式計(jì)算即可.【詳解】分別以為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w棱長為1，所以所以，由，所以，所以，又，，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為：故選：C.7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，則（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】【分析】設(shè)，，應(yīng)用向量數(shù)量關(guān)系的坐標(biāo)表示得到，再令有，結(jié)合斜率的兩點(diǎn)式求.【詳解】設(shè)，不妨設(shè)，所以，則，令，所以，則，由，所以.故選：B8.閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是平面與平面的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題目材料確定平面的法向量，由于同時(shí)滿足兩個(gè)平面方程的點(diǎn)在交線上，因此可取兩個(gè)特殊點(diǎn)，作為交線的方向向量，再求解即可.【詳解】由題意可知，平面的法向量.因?yàn)橹本€是平面與平面的交線，因此直線上的點(diǎn)均滿足兩個(gè)平面方程,我們可以取上的兩個(gè)點(diǎn)，來計(jì)算直線的一個(gè)方向向量.令,則,即在交線上；令,則,即在交線上.故直線的方向向量.設(shè)直線與平面所成角為,則.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.9.下列說法中不正確的是（）A.平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線B.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離之和等于4的點(diǎn)的軌跡是橢圓C.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離之差等于3的點(diǎn)的軌跡是雙曲線D.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離之比等于2的點(diǎn)的軌跡是圓【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)A,舉反例，定點(diǎn)在直線上判斷即可；對(duì)B，根據(jù)判斷即可；對(duì)C，根據(jù)雙曲線的定義判斷即可；對(duì)D，設(shè)所求點(diǎn)為，再根據(jù)條件化簡求解即可.【詳解】對(duì)A，當(dāng)定點(diǎn)在直線上時(shí)，軌跡為過且與垂直的直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離之和等于4的點(diǎn)的軌跡是線段，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離之差等于3的點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支，不是雙曲線，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)所求點(diǎn)為，則，即，則，化簡可得，軌跡是圓，故D正確.故選：ABC10.傾斜角為的直線與拋物線相交于不同兩點(diǎn)，且，則（）A.的準(zhǔn)線方程為B.當(dāng)時(shí)，C.存在，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)）D.對(duì)任意的，總存在點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)）【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、向量的數(shù)量積以及角平分線的性質(zhì)逐一分析.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，拋物線中，，準(zhǔn)線方程為，故A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，直線斜率為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線，得，由韋達(dá)定理可知，，，當(dāng)，方程，此時(shí)判別式，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，舍去，當(dāng)，方程，由韋達(dá)定理可知，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦長公式，故B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線，得，由韋達(dá)定理可知，，且，，即，則若，則，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不存在，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)）故C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線與直線的斜率之和為，即,，則，即，將代入，得，化簡得，即，不一定為，，即，由以上可知，則，對(duì)任意的，總存在點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)），故D正確.故選：.11.已知E，F(xiàn)，G，H分別是正方體的棱的中點(diǎn)，，則（）A.直線與直線異面B.直線交于同一點(diǎn)C.過三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形的周長為D.動(dòng)點(diǎn)K在側(cè)面內(nèi)（含邊界），且，則動(dòng)點(diǎn)K的軌跡長度為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意畫出立體圖形，再依據(jù)平行直線共面、中位線性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)軌跡等知識(shí)逐一對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而選出正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，G，H分別是的中點(diǎn)，則，又，則，所以共面，所以A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，取中點(diǎn)為M，延長交于點(diǎn)N，連接，如圖1，因?yàn)榍沂堑闹悬c(diǎn)，所以，且．同理，延長交于點(diǎn)T，則，即點(diǎn)N與點(diǎn)T重合，直線交于同一點(diǎn)，所以B正確；C選項(xiàng)，延長交于點(diǎn)Q，連接交于點(diǎn)P，如圖2，則同B選項(xiàng)，易證，P為的中點(diǎn)，所以四邊形為過點(diǎn)的截面，，所以截面周長為，所以C正確；圖1圖2D選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，所以，即，所以，因此K的軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，所以軌跡長度為，所以D錯(cuò)誤.故選：BC．非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為______．【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)過兩點(diǎn)的直線斜率公式求出直線的斜率，再結(jié)合直線傾斜角與斜率的關(guān)系求出傾斜角.【詳解】由直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，得直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，所以，解得．故答案為：13.有一個(gè)封閉的正三棱柱容器，高為，內(nèi)裝水若干（如圖1，底面處于水平狀態(tài)），將容器放倒（如圖2，一個(gè)側(cè)面處于水平狀態(tài)），這時(shí)水面與各棱交點(diǎn)、、、分別為所在棱的中點(diǎn)，則圖1中水面的高度為_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)正三棱柱的底面邊長為，在圖1中，設(shè)水面的高度為，根據(jù)圖1和圖2中水的體積相等可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】設(shè)正三棱柱的底面邊長為，則，在圖1中，設(shè)水面的高度為，則水的體積為，在圖2中，易知幾何體為直棱柱，因?yàn)闉榈冗吶切?，且、分別為、的中點(diǎn)，則，且，則是邊長為的等邊三角形，且，則水的體積為，解得.故答案為：.14.設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，雙曲線的漸近線的斜率的絕對(duì)值小于，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】因?yàn)?，再由，，設(shè)，可得，兩邊平方即可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線的斜率絕對(duì)值小于，所以，則，，設(shè)，則所以；由于，因?yàn)椋?，則，則，因?yàn)?，所以故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.15.已知圓過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，、是圓的兩條切線，、為切點(diǎn)，求切線長的最小值及此時(shí)四邊形的面積.【答案】（1）；（2）2，.【解析】【分析】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)和半徑，由待定系數(shù)法即可得圓的方程.（2）由題意利用圓的幾何性質(zhì)將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求得最終結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為，半徑為，則有，解可得，，；故要求圓的方程為；（2）根據(jù)題意，而，當(dāng)最小時(shí)，的最小而的最小值為點(diǎn)到直線的距離，則的最小值為；故的最小值為2，四邊形的面積，故此時(shí)四邊形面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的方程的求解，求某一動(dòng)點(diǎn)所作圓的切線的最小值，以及切線與半徑所圍成的四邊形面積的最小值，屬于中檔題.16.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．（1）求證：PA∥平面EDB；（2）求證：PB⊥平面EFD；（3）求平面CPB與平面PBD的夾角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）證明見解析（3）．【解析】【分析】（1）連接AC，交BD于O，連接EO，通過證明PA//EO可證明結(jié)論；（2）通過證明DE平面PBC，可得，結(jié)合可得平面；（3）由題意易知是平面與平面的夾角，且，分別求出的值，利用，即可求出答案.【小問1詳解】連接AC，交BD于O，連接EO.因O，E分別為中點(diǎn)，則，又平面EDB，平面EDB，則面；【小問2詳解】因四邊形ABCD是正方形，則BC，又底面平面，則BC.因平面，，則平面.又平面，則，因，E是PC的中點(diǎn)，則.又平面，，則平面PBC，因平面PBC，則，又，平面，，則平面；【小問3詳解】由（2）及平面可知，故是平面與平面的夾角，不妨設(shè)，∴，在中，，，，又面，∵面，∴,在中，，∴，故平面CPB與平面PBD的夾角的大小.17.已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長為.（1）求橢圓的方程；（2）若，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由橢圓定義，可得，再由離心率以及橢圓中a，b，c之間的關(guān)系即可求出橢圓方程；（2）先根據(jù)可設(shè)直線，代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，利用數(shù)量積，從而求出直線方程.【小問1詳解】由題意得的周長為，所以，即，又離心率，所以，所以，所以橢圓的方程是；【小問2詳解】顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立得，，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，解得，所以直線的方程為.18.如圖1是一個(gè)由菱形和兩個(gè)直角三角形和所組成的平面圖形，其中，現(xiàn)將和分別沿折起，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合于點(diǎn)，連接，得到如圖2所示的四棱錐.（1）求證：平面；（2）若為棱上一點(diǎn)，記（i）若，求直線與平面所成角的正切值；（ii）是否存在點(diǎn)使得直線與直線所成角為，若存在請求出的值，若不存在請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（i）；（ii）存在，.【解析】【分析】（1）利用，，可得到平面，從而得到，再利用菱形可得，最后就可得到平面；（2）①由平面，可知直線與平面所成角就是，從而利用已知數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可；②由可得或其補(bǔ)角為直線與直線所成角，再利用余弦定理解得,利用勾股定理得，最后由已知角的余弦定理得到關(guān)于的方程，從而可解得.【小問1詳解】連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，又∵底面為菱形，∴,由題可得，，且，平面，平面，∴平面，又平面，∴，∵，平面，平面，∴平面．【小問2詳解】（i）連結(jié)SO交CE于點(diǎn)G，由（1）得平面,∴為直線CE與平面SBD所成角,∵，，,∴,∵，∴，在三角形中，由，，所以由余弦定理得：，，∴，即，∴，∴直線與平面所成角的正切值為．（ii）連結(jié)，∵,∴或其補(bǔ)角為直線與直線所成角,則假設(shè)存在點(diǎn)，滿足，由得，,在三角形中，由，所以由余弦定理得：，過點(diǎn)作，交于，由平面，平面，得，所以，由可得，因?yàn)?，所以，，三角形中，由余弦定理得：，再由，平面可得平面，又因?yàn)槠矫?，所以，在直角三角形中，由勾股定理得：．在三角形中，又因?yàn)?，，所以由余弦定理得?解得,∴存在使得直線與直線所成角為．19.已知雙曲線的漸近線方程是，且過點(diǎn).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2），分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，，分別為的左、右焦點(diǎn)，與軸不垂直的直線與雙曲線的左支相交于，兩點(diǎn)，記直線，，，的斜率分別為已知.（i）證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）證明見解析，（ii）【解析】【分析】（1）由已知漸近線方程，設(shè)設(shè)雙曲線的方程為，代入點(diǎn)求解即可；（2）（i）設(shè)直線的方程為,