合肥市重點(diǎn)中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．觀察數(shù)列，（），，（）的特點(diǎn)，則括號中應(yīng)填入的適當(dāng)?shù)臄?shù)為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知等比數(shù)列中，，，則公比（）A. B.C. D.4．下列橢圓中，焦點(diǎn)坐標(biāo)是的是（）A. B.C. D.5．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的是（）A.在上是增函數(shù) B.當(dāng)時，取得最小值C.當(dāng)時，取得極大值 D.在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)6．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，直線過點(diǎn)且與直線垂直.若直線與圓交于兩點(diǎn)，則的面積為A.1 B.C.2 D.7．圓的圓心和半徑分別是（）A. B.C. D.8．音樂與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我國春秋時期有個著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“微”，“微”?jīng)過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“商”……依此?guī)律損益交替變化，獲得了“宮”“微”“商”“羽”“角”五個音階.據(jù)此可推得（）A.“商”“羽”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列B.“宮”“微”“商”的頻率成公比為的等比數(shù)列C.“宮”“商”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列D.“角”“商”“宮”的頻率成公比為的等比數(shù)列9．已知長方體的底面ABCD是邊長為8的正方形，長方體的高為，則與對角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.10．若點(diǎn)，在拋物線上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若等邊三角形的面積為，則該拋物線的方程是（）A. B.C. D.11．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.12．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P（-1，0）且斜率為的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，則（）A. B.14C. D.15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的實(shí)軸長為____14．如圖，正方形ABCD的邊長為8，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個正方形IJKL.依此方法一直繼續(xù)下去.①從正方形ABCD開始，第7個正方形的邊長為___；②如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么作到第n個正方形，這n個正方形的面積之和為___.15．某人實(shí)施一項(xiàng)投資計劃，從2021年起，每年1月1日，把上一年工資的10%投資某個項(xiàng)目.已知2020年他的工資是10萬元，預(yù)計未來十年每年工資都會逐年增加1萬元；若投資年收益是10%，一年結(jié)算一次，當(dāng)年的投資收益自動轉(zhuǎn)入下一年的投資本金，若2031年1月1日結(jié)束投資計劃，則他可以一次性取出的所有投資以及收益應(yīng)有__________萬元.（參考數(shù)據(jù)：，，）16．已知數(shù)列是遞增等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)和直線.（1）求以為圓心，且與直線相切的圓的方程；（2）過直線上一點(diǎn)作圓的切線，其中為切點(diǎn)，求四邊形PAMB的面積的最小值.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，直線，點(diǎn)P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，也是PF的中點(diǎn)．，（1）求動點(diǎn)Q的軌跡的方程E；（2）過點(diǎn)F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M，N．求直線MN過定點(diǎn)R的坐標(biāo)19．（12分）已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離相等.（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；（2）若過點(diǎn)且斜率為的直線與動點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，求三角形AOB的面積.20．（12分）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21．（12分）已知函數(shù)（1）求關(guān)于x的不等式的解集；（2）若對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍22．（10分）已知函數(shù)在處取得極值（1）若對任意正實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用觀察法可得，即得.【詳解】由題可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴.故選：D2、D【解析】由題意轉(zhuǎn)化為，恒成立，參變分離后轉(zhuǎn)化為，求函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域是，，若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即在恒成立，所以，恒成立，即設(shè)，，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值1，所以.故選：D3、C【解析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，解得，又，，故選：C.4、B【解析】根據(jù)給定條件逐一分析各選項(xiàng)中的橢圓焦點(diǎn)即可判斷作答.【詳解】對于A，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，A不是；對于B，橢圓，即，焦點(diǎn)在y軸上，半焦距，其焦點(diǎn)為，B是；對于C，橢圓，即，焦點(diǎn)在y軸上，半焦距，其焦點(diǎn)為，C不是；對于D，橢圓，即，焦點(diǎn)在y軸上，半焦距，其焦點(diǎn)為，D不是.故選：B5、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)圖象知：當(dāng)，時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，時，函數(shù)單調(diào)遞增.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)D正確；故當(dāng)時，取得極小值，選項(xiàng)C不正確；當(dāng)時，不是取得最小值，選項(xiàng)B不正確；故選：D.6、A【解析】∵圓的方程為，即，∴圓的圓心為，半徑為2.∵直線過點(diǎn)且與直線垂直∴直線.∴圓心到直線的距離.∴直線被圓截得的弦長，又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為，∴的面積為.考點(diǎn)：1、直線與圓的位置關(guān)系；2、三角形的面積公式.7、B【解析】將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.【詳解】解：.故選：B.8、C【解析】根據(jù)文化知識，分別求出相對應(yīng)的頻率，即可判斷出結(jié)果【詳解】設(shè)“宮”的頻率為a，由題意經(jīng)過一次“損”，可得“徵”的頻率為a，“徵”經(jīng)過一次“益”，可得“商”的頻率為a，“商”經(jīng)過一次“損”，可得“羽”頻率為a，最后“羽”經(jīng)過一次“益”，可得“角”的頻率是a，由于a，a，a成等比數(shù)列，所以“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列，且公比為，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∵底面是邊長為8的正方形，，∴，，，因?yàn)?且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對角面所成角的正弦值為故選：A.10、A【解析】根據(jù)等邊三角形的面積求得邊長，根據(jù)角度求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程求得的值.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長為，則，解得根據(jù)拋物線的對稱性可知，且，設(shè)點(diǎn)在軸上方，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，將代入拋物線方程得，解得，故拋物線方程為故選：A11、C【解析】利用函數(shù)的奇偶性求出，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用點(diǎn)斜式即可求出結(jié)果【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，若為奇函?shù)，則則，即，所以，所以函數(shù)，可得；所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即故選：C12、C【解析】設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，根據(jù)拋物線的定義求出，然后將直線的方程代入拋物線方程并化簡，進(jìn)而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得答案.【詳解】設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，直線的方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，由拋物線定義可知：.聯(lián)立方程，消去y后整理為，可得，，.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)已知條件求得，由此求得實(shí)軸長.【詳解】由于，雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線與軸夾角小于，由得，實(shí)軸長故答案為：14、①.1②.【解析】根據(jù)題意，正方形邊長成等比數(shù)列，正方形的面積等于邊長的平方可得，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式即可求解.【詳解】設(shè)第n個正方形的邊長為，第n個正方形的面積為，則第n個正方形的對角線長為，所以第n+1個正方形的邊長為，，∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，∴，即第7個正方形的邊長為1；∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故答案為：1；.15、24【解析】根據(jù)條件求得每一年投入在最終結(jié)算時的總收入，利用錯位相減法求得總收入.【詳解】由題知，2021年的投入在結(jié)算時的收入為，2022年的投入在結(jié)算時的收入為，，2030年的投入在結(jié)算時的收入為，則結(jié)算時的總投資及收益為：①，則②，由①-②得，，則，故答案為：2416、【解析】由題意，，解得或者，而數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，即，所以，因而數(shù)列的前項(xiàng)和，故答案為.考點(diǎn)：1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用到直線的距離求得半徑，由此求得圓的方程.（2）結(jié)合到直線的距離來求得四邊形面積的最小值.【小問1詳解】圓的半徑，圓的方程為.【小問2詳解】由四邊形的面積知，當(dāng)時，面積最小.此時...18、（1）（2）【解析】（1）由圖中的幾何關(guān)系可知,故可知動點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，但不能和原點(diǎn)重合，即可直接寫出拋物線的方程；（2）設(shè)出直線AB的方程，把點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線方程，兩式作差后，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線MN的方程，最后可求出直線MN過哪一定點(diǎn).【小問1詳解】∵直線的方程為，點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)且，∴RQ是線段FP的垂直平分線,∵,∴是點(diǎn)Q到直線l的距離,∵點(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線，∴,則動點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，但不能和原點(diǎn)重合，即動點(diǎn)Q軌跡的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，由題意直線AB斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，同理設(shè)，，直線的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線MN的斜率為，即方程為，整理得，故直線MN恒過定點(diǎn).19、（1）（2）【解析】小問1：由拋物線的定義可求得動點(diǎn)的軌跡方程；小問2：可知直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出的值，利用拋物線的定義可求得的值，結(jié)合面積公式即可求解小問1詳解】由題意點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以，則，所以動點(diǎn)的軌跡方程是.【小問2詳解】由已知直線的方程是，設(shè)、，由得，，所以，則，故，20、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)的公比為，利用基本量運(yùn)算求出公比，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯位相減法計算出數(shù)列的前n項(xiàng)和【詳解】（1）設(shè)的公比為，由題意知：，.又，解得，，所以.（2）.令，則，因此，又，兩式相減得所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和，數(shù)列求和的方法總結(jié)如下：

公式法，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行計算即可；

裂項(xiàng)相消法，通過把數(shù)列的通項(xiàng)公式拆成兩項(xiàng)之差，在求和時中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求出數(shù)列的和；

錯位相減法，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)公式由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積構(gòu)成時使用此方法；

倒序相加法，如果一個數(shù)列滿足首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和相等，可以使用此方法求和21、（1）答案見解析（2）【解析】（1）求出對應(yīng)方程的根，再根據(jù)根的大小進(jìn)行討論，即可得解；（2）對任意的，恒成立，即恒成立，結(jié)合基本不等式求出的最小值即可得解.【小問1詳解】解：由已知易得即為：，令可得與，所以，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；【小問2詳解】解：由可得，由，得，所以可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，所以的取值范圍是.22、（1）（2）答案見解析.【解析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，將不等式恒成立化為最大值成立可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大、極小值，結(jié)合函數(shù)的圖象分類討論可得結(jié)果.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，且在處取得極值，所以，即，得，此時