第七章多元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)內(nèi)容和基本要求

理解多元函數(shù)的極限與連續(xù)概念,以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念,了解全微分存在的必要和充分條件。掌握復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。會(huì)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全導(dǎo)數(shù)。會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的最大值和最小值，會(huì)解一些簡(jiǎn)單應(yīng)用題。重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：多元函數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，用拉格朗日條件極值求最大值應(yīng)用問(wèn)題。難點(diǎn)：全微分的概念，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。多元函數(shù)概念

多元函數(shù)的極限平面點(diǎn)集與n維空間主要內(nèi)容第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念

多元函數(shù)的連續(xù)性

一元函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R1的子集，一般是一個(gè)區(qū)間.區(qū)間分為開(kāi)區(qū)間和閉區(qū)間.雖然“開(kāi)”與“閉”僅相差兩個(gè)端點(diǎn)（邊界點(diǎn)）,但是對(duì)討論函數(shù)的性質(zhì)卻有很大的影響.因此，這種區(qū)分是十分必要的.

同樣，對(duì)多元函數(shù)也有類(lèi)似的問(wèn)題.為了討論多元函數(shù)的性質(zhì)，有必要將R1中“開(kāi)”“閉”概念推廣到Rn.1.鄰域一、平面點(diǎn)集與n維空間在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)椋阂驗(yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.2.區(qū)域如果對(duì)于點(diǎn)集D內(nèi)任何兩點(diǎn)，都可以用折線(xiàn)連接起來(lái)，并且該折線(xiàn)上的點(diǎn)都屬于D，則稱(chēng)點(diǎn)集D是連通的.（連通集）的直觀舉例例如連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域．例.例.區(qū)域的定義有界閉區(qū)域；無(wú)界開(kāi)區(qū)域．例.中的有關(guān)概念3.

4.

中兩點(diǎn)間的距離設(shè)與為中的兩點(diǎn)，規(guī)定該兩點(diǎn)間的距離為：

5.

點(diǎn)的鄰域設(shè)，為一正數(shù)，則中的點(diǎn)集：稱(chēng)為點(diǎn)的鄰域.引例:

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強(qiáng)

三角形面積的海倫公式二、多元函數(shù)概念1.二元函數(shù)的定義解:1例1x

注意定義域的

三種表示法(2)例2解:1(2)圖示法：函數(shù)的定義域D如右圖所示二元函數(shù)在三維空間的幾何圖形三維空間的曲面函數(shù)z=f(x,y)的定義域例3下列二元函數(shù)的圖形是什么？三、多元函數(shù)的極限定義1（二重極限）設(shè)是二元函數(shù)的定義域D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn),A是一個(gè)確定的數(shù).如果對(duì)任給的

，存在使得當(dāng)：恒有：則稱(chēng)函數(shù)在動(dòng)點(diǎn)趨向于定點(diǎn)時(shí)以A為極限,記作：或者：時(shí),n重極限由此可見(jiàn),二元函數(shù)的極限是一種“全面極限”,比一元函數(shù)極限復(fù)雜得多.通常我們稱(chēng)它為二重極限.也記為：同理可以定義n元函數(shù)的極限：[注意]：

所謂二重極限存在，是指以任何方式趨于時(shí)，函數(shù)都無(wú)限接近于A例4證明例5設(shè)求證：

同一元函數(shù)極限類(lèi)似，二元函數(shù)也有相應(yīng)的四則運(yùn)算法則，在此就不贅述了。證明根據(jù)二元函數(shù)極限的加法和乘方的運(yùn)算法則可知(無(wú)窮小與有界相乘仍為無(wú)窮小)

如何利用以前所學(xué)過(guò)的知識(shí)求二重極限呢？例6求解原式則所以原式例7

求極限

解其中評(píng)注：該題綜合運(yùn)用了轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)極限、夾逼定理、二重極限的乘法法則三種方法。計(jì)算二元函數(shù)極限的方法：1.極限的四則運(yùn)算法則2.夾逼定理3.無(wú)窮小量乘以有界量仍為無(wú)窮小量4.轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限在點(diǎn)(0,0)的極限.例8

討論函數(shù)反之，如何判斷二重極限不在？解:

設(shè)P(x,y)沿直線(xiàn)y=kx

趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.則有k

值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.例8

討論函數(shù)思考：如果(x,y)沿任意直線(xiàn)y=kx

趨于點(diǎn)(0,0)時(shí),函數(shù)f(x,y)的極限都存在且相同，是否可以斷定f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處的極限一定存在呢？解:因?yàn)槔?確定極限不存在的方法：e10ABCD提交單選題1分0不存在ABCD提交2單選題1分不存在.四、多元函數(shù)的連續(xù)性1,連續(xù)的定義定義32.二元函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2解:例10解：例11例12一個(gè)間斷函數(shù)的例子即y軸即x軸例13求

由多元連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性

如果要求多元連續(xù)函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0處的極限

而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)

則解答：計(jì)算二元函數(shù)極限的方法1.函數(shù)的連續(xù)性2.極限的四則運(yùn)算法則3.夾逼定理4.無(wú)窮小量乘以有界量仍為無(wú)窮小量5.轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限結(jié)合二元函數(shù)連續(xù)的定義和運(yùn)算法則可知多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的。無(wú)定義極限不存在極限存在但不連續(xù)連續(xù)ABCD提交單選題1分ABCD提交單選題1分3.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類(lèi)似,在有界的閉區(qū)域上,多元連續(xù)函數(shù)也有如下性質(zhì):定理1（有界性）定理2（最值定理）定理3（介值定理）有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得它的最小值與最大值之間的任何一個(gè)值.內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開(kāi)集2.多元函數(shù)概念n

元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)3.多元函數(shù)的極限(1)定義有(2)二次極限和二重極限的關(guān)系(3)計(jì)算二元函數(shù)極限的方法1）函數(shù)的連續(xù)性2）極限的四則運(yùn)算法則3）夾逼定理4）無(wú)窮小量乘以有界量仍為無(wú)窮小量5）轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限(4)確定極限不存在的方法：4.多元函數(shù)的連續(xù)性(1)函數(shù)(2)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)(3)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理習(xí)題7-1GoodBye高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算主要內(nèi)容第二節(jié)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算則稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處關(guān)于的偏增量,于是極限記:定義1說(shuō)明:2.實(shí)際上,定義2若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱(chēng)為偏導(dǎo)數(shù)

,記為或

y

偏導(dǎo)數(shù)存在,例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).x的偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫(xiě)出)例1

設(shè)f(x,y)=x3

+2x2y–y3,求fx(1,3)及fy(2,0).解：求fx(x,y)時(shí),將y看作常量,得到

fx(x

,y)

=3x2

+4xy.

于是,

fx(1,3)=3+12=15;同理,

fy(x,y)=2x2

–3y2,

fy(2,0)=8.

解:應(yīng)用冪函數(shù)求導(dǎo)公式應(yīng)用指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式例2例3.

求的偏導(dǎo)數(shù).解:偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例4.

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說(shuō)明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號(hào),偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面得的曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)對(duì)x軸的斜率.所截偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面得的曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)對(duì)y軸的斜率.所截

此函數(shù)在(0,0)處不連續(xù).例5討論函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)性.在點(diǎn)(0,0)處

解：

此函數(shù)在(0,0)處連續(xù).例6討論函數(shù)存在性與連續(xù)性.在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)解：評(píng)注:綜合例5和例6知:二元函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性與可導(dǎo)性(兩個(gè)偏導(dǎo)是否存在)沒(méi)有關(guān)系!!!解練習(xí)1解練習(xí)2后兩者稱(chēng)為二階混合偏導(dǎo).二、高階偏導(dǎo)數(shù)解解注:

例7和例8中每個(gè)函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)恰好相等.此結(jié)論對(duì)任意函數(shù)都成立嗎？例9解:時(shí)，所以例如,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有：證明本定理對(duì)n

元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.

驗(yàn)證函數(shù)滿(mǎn)足拉普拉斯方程解由x,y

的對(duì)稱(chēng)性,

例10拉普拉斯方程(Laplace‘sequation)又稱(chēng)調(diào)和方程、位勢(shì)方程，是一種偏微分方程，因由法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯首先提出而得名。對(duì)三元函數(shù)

拉普拉斯方程為

拉普拉斯算子

拉普拉斯，1749年3月23日生于法國(guó)西北部卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日，曾任巴黎軍事學(xué)院數(shù)學(xué)教授。1795年任巴黎綜合工科學(xué)校教授，后又在高等師范學(xué)校任教授等等。1827年3月5日卒于巴黎。拉普拉斯在研究天體問(wèn)題的過(guò)程中，創(chuàng)造和發(fā)展了許多數(shù)學(xué)的方法，以他的名字命名的拉普拉斯變換、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

練習(xí)3練習(xí)4解內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;記號(hào);幾何意義

函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法

求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義

求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)時(shí),應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)習(xí)題7-2GoodBye形式上的全微分全微分主要內(nèi)容第三節(jié)全微分及其應(yīng)用全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用一、全微分

二元函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)另一個(gè)自變量固定時(shí)，因變量相對(duì)于該自變量的變化率,根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系，可得

注意(1)A,B是

x與

y無(wú)關(guān)的常數(shù)(3)(z-dz)是關(guān)于

的高階無(wú)窮小全微分是全增量的線(xiàn)性主部全微分是什么？(2)dz是

x與

y的線(xiàn)性函數(shù)

二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和，稱(chēng)為二元函數(shù)微分的疊加原理，疊加原理也適合于二元以上的函數(shù).解由偏導(dǎo)數(shù)定義可求得

可微與連續(xù)關(guān)系:

可微一定連續(xù),連續(xù)未必可微.

兩個(gè)偏導(dǎo)不存在,而偏導(dǎo)存在是可微的必要條件,從可微與可導(dǎo)的關(guān)系:

可微一定可導(dǎo)(偏導(dǎo)數(shù)存在),可導(dǎo)未必可微.證為什么?分析:解極限不存在,

二元函數(shù)在某一點(diǎn)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、可微性的關(guān)系總結(jié)：記法：

記住四個(gè)紅色箭頭，其它說(shuō)法不正確！連續(xù)可導(dǎo)可微偏導(dǎo)連續(xù)極限存在②→③→①

③→②→①③→④→①③→①→④ABCD提交單選題1分二、形式全微分解所求全微分為微分的四則運(yùn)算公式：解另解三、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用*解由公式內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)3.全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用GoodBye全微分形式不變性復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則主要內(nèi)容第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則回顧：定理1

設(shè)z=f(u,v)可微,且對(duì)t

可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)對(duì)t可導(dǎo),且一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則證明由于所設(shè)函數(shù)z=f(u,v)可微，故有

得到根據(jù)所設(shè)u,v對(duì)t可導(dǎo)性知上述定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.如以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為全導(dǎo)數(shù).常稱(chēng)此公式為鏈?zhǔn)?導(dǎo))法則.解解冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在一元函數(shù)中是用對(duì)數(shù)求導(dǎo)處理的,現(xiàn)在我們用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求,計(jì)算會(huì)更加簡(jiǎn)便.

上述定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：鏈?zhǔn)椒▌t如圖示解zuvwxy特殊地即令其中兩者的區(qū)別區(qū)別類(lèi)似

.解令解(標(biāo)準(zhǔn)約定的寫(xiě)法)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)原則：1.分清自變量與中間變量以及它們之間的關(guān)系；2.函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的導(dǎo)數(shù)等于若干項(xiàng)乘積之和，與函數(shù)有個(gè)的中間變量有幾個(gè)，和式中就有幾項(xiàng)，每一項(xiàng)均為函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)與相應(yīng)中間變量對(duì)該自變量的導(dǎo)數(shù)之積；3.一般地，函數(shù)有幾個(gè)自變量，就可以寫(xiě)出幾個(gè)函數(shù)對(duì)自變量的求導(dǎo)公式.解練1練2二、全微分形式不變性

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則即使u,v是中間變量,我仍然有全微分

這就是全微分的形式不變性.元函數(shù)的微分是相容的,

即在解例6設(shè)解

內(nèi)容小結(jié)1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”例如,2.全微分形式不變性不論u,v是自變量還是中間變量,由方程組確定的隱函數(shù)情形由一個(gè)方程確定隱函數(shù)的情形主要內(nèi)容第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一、由方程確定的隱函數(shù)(決定一元隱函數(shù)y=f(x))我們看下面的推導(dǎo)及應(yīng)具備的條件:(1)若F(x,y)

有連續(xù)的偏導(dǎo),則

這就是一元隱函數(shù)求導(dǎo)公式,(1)和(2)就是此公式成立的條件,我們略去困難的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明,僅以定理的形式概括如下:一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

F(x,y)=0y=f(x)

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且:定理1解令則解令則

若函數(shù)F(x,y)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，則可求出由方程F(x,y)=0確定的隱函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù):注:

不要求直接應(yīng)用此公式.二元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

(決定二元隱函數(shù)z=f(x,y))解令則思路：解整理得整理得整理得另解ABCD提交單選題1分二、方程組所確定的隱函數(shù)組

隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.以?xún)蓚€(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例,即將之代入上述方程組得到恒等式對(duì)此恒等式兩邊關(guān)于變量x求導(dǎo),有

對(duì)此恒等式兩邊關(guān)于變量x求導(dǎo),有

解原理:

利用形式微分做如下的運(yùn)算解將方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

即解得例7

用線(xiàn)性變換u=x+t,v=x–t

變換方程解將u,v看作中間變量，x,t看作自變量有代入所給方程再化簡(jiǎn)有即解內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)(組)存在定理2.隱函數(shù)(組)求導(dǎo)方法方法1.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算;方法2.利用微分形式不變性;方法3.代公式.GoodByeGoodBye連續(xù)二元函數(shù)的最值二元函數(shù)的極值主要內(nèi)容第六節(jié)多元函數(shù)的極值與最值條件極值與拉格朗日乘數(shù)法引例1某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2m3的有蓋長(zhǎng)方體水箱,問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?解

設(shè)水箱長(zhǎng)、寬分別為x,y(m),則高為xy則水箱所用材料的面積為引例2火箭子級(jí)質(zhì)量的設(shè)計(jì)問(wèn)題

如何設(shè)計(jì)火箭各個(gè)子級(jí)的質(zhì)量,使衛(wèi)星達(dá)到預(yù)定的速度,但所需的火箭總質(zhì)量最小?

多級(jí)火箭是由數(shù)級(jí)火箭組合而成的運(yùn)載工具.每一級(jí)都裝有發(fā)動(dòng)機(jī)與燃料,目的是為了提高火箭的連續(xù)飛行能力與最終速度.從尾部最初一級(jí)開(kāi)始,每級(jí)火箭燃料用完后自動(dòng)脫落,同時(shí)下一級(jí)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)始工作,使飛行器繼續(xù)加速前進(jìn).

如何設(shè)計(jì)火箭各個(gè)子級(jí)的質(zhì)量,使衛(wèi)星達(dá)到預(yù)定的速度,但所需的火箭總質(zhì)量最?。考僭O(shè)火箭的子級(jí)質(zhì)量之和為預(yù)定的速度vg

是關(guān)于m1,m2,m3的函數(shù),據(jù)有關(guān)資料可知結(jié)構(gòu)因子載荷質(zhì)量速度因子火箭的子級(jí)質(zhì)量之和為預(yù)定的速度下的最小值.問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：求函數(shù)M(m1,m2,m3)在條件預(yù)定速度vg=

g(m1,m2,m3)

為了實(shí)際應(yīng)該中的方便以下稱(chēng)待討論極值問(wèn)題的函數(shù)為目標(biāo)函數(shù).多元函數(shù)的極值問(wèn)題有兩類(lèi)：多元函數(shù)的極值的分類(lèi)

無(wú)約束極值—只在目標(biāo)函數(shù)的定義域范圍內(nèi)討論極(最)值問(wèn)題.

有約束極值—在附加約束條件下,討論目標(biāo)函數(shù)的極值問(wèn)題.引例1和引例2即分別為無(wú)條件和有條件極值問(wèn)題.一、二元函數(shù)的極值同理我們可定義極小值和極小值點(diǎn);極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值;極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).1.二元函數(shù)極值定義

(1)(2)例1例2例3函數(shù)z=xy在(0,0)處不取極值.

在1,3象限的函數(shù)值為正;在2,4象限的函數(shù)值為負(fù);而在坐標(biāo)軸上的值為0.ABCD提交練1單選題1分證2.二元函數(shù)取得極值必要條件

仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn),均稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn).定理1表明偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn).駐點(diǎn)極值點(diǎn)注：函數(shù)

z=xy在點(diǎn)(0,0)不取得極值,但卻是駐點(diǎn).這說(shuō)明駐點(diǎn)僅僅是函數(shù)可能的極值點(diǎn),要判斷它是否真為極值點(diǎn),需要另作判定.

可知它的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在.這說(shuō)明偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn).問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？3.二元函數(shù)取得極值充分條件例4求函數(shù)f(x,y)=x3–y3+3x2

+3y2－9x的極值.解先解方程組求得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2).

再求二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(1,0)處A=12,B=0,C=6AC

–

B2=12×6>0,且A=12>0,故函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(1,0)有極小值f(1,0)=–5.在點(diǎn)(1,2)處A=12,B=0,C=–6

AC

–

B2=12×(–6)<0,故函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(1,2)不取極值;在點(diǎn)(–3,2)處A=–12,B=0,C=–6AC–B2=–12×(–6)>0,A=–12<0,故函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(–3,2)有極大值f(–3,2)=31.在點(diǎn)(–3,0)處A=–12,B=0,C=6

AC

–

B2=–12×6<0,故函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(–3,0)不取極值;例5討論函數(shù)及取得極值？解

顯然(0,0)是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值可能為正、負(fù)、0,因此z(0,0)不是函數(shù)z=x3+y3的極值.因此為極小值.在點(diǎn)(0,0)是否并且在(0,0)都有當(dāng)(x,y)≠(0,0)時(shí),ABCD提交練2單選題1分練3

有界閉區(qū)域D上連續(xù)二元函數(shù)f(x,y)最值的求法：(1)計(jì)算函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)及偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處的函數(shù)值;(2)計(jì)算D的邊界上的最大值和最小值;(3)比較上面的函數(shù)值,其中最大者即為最大值,最小者即為最小值.與一元函數(shù)類(lèi)似,有界閉區(qū)域D上連續(xù)二元函數(shù)f(x,y)必定取得最值,可能會(huì)在D

內(nèi)部的極值點(diǎn)處取得,也可能會(huì)在D

的邊界處取得.二、連續(xù)二元函數(shù)的最值1.二元函數(shù)在有界閉區(qū)域內(nèi)的最值解根據(jù)有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)一定可以取到最值,可能會(huì)在D

內(nèi)部的極值點(diǎn)處取得,也可能會(huì)在D

的邊界處取得.2.開(kāi)區(qū)域內(nèi)的最值(最值的應(yīng)用問(wèn)題)特別地,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)可能的極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)若區(qū)域內(nèi)部有不止一個(gè)可能的極值點(diǎn)時(shí),則可通過(guò)比較這些點(diǎn)處的函數(shù)值或進(jìn)一步判斷這些點(diǎn)是否是極大(小)值來(lái)確定最值.對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題,往往由問(wèn)題的實(shí)際意義能斷定最大值或最小值一定存在,且在定義區(qū)域的內(nèi)部取得,這時(shí),若函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)有唯一的駐點(diǎn),則該駐點(diǎn)的函數(shù)值就是函數(shù)的最大值或最小值．求實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題的步驟：(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)關(guān)系,確定其定義域;(2)求出駐點(diǎn);(3)結(jié)合實(shí)際意義判定最大、最小值．令例7

某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為2立方米的有蓋長(zhǎng)方體水箱,當(dāng)長(zhǎng)寬高各為多少米時(shí),才能使用料最省?根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景,水箱所用材料面積的最小三、條件極值極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其他條件限制例如,轉(zhuǎn)化方法2拉格朗日乘數(shù)法.分析：如方法1所述,則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值故極值點(diǎn)必滿(mǎn)足記例如,問(wèn)題,故有引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)L

稱(chēng)為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用極值點(diǎn)必滿(mǎn)足則極值點(diǎn)滿(mǎn)足:拉格朗日函數(shù)求極值的方法稱(chēng)為拉格朗日乘數(shù)法.推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,

求函數(shù)下的極值.在條件解則由問(wèn)題的實(shí)際意義知

u=4×4×4=64為所求的最大值.例9截旋轉(zhuǎn)拋物面其截口是一個(gè)橢圓,求截口橢圓上的最高點(diǎn)和最底點(diǎn).解求最高點(diǎn)和最底點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)是但這個(gè)極值問(wèn)題受限于兩個(gè)約束條件,是條件極值問(wèn)題,設(shè)其Lagrange函數(shù)為利用條件極值取得極值的必要條件令

從可知若矛盾所以因而得到：再代入,得

然后由即得于是因而求得最高點(diǎn)為最底點(diǎn)為求空間一點(diǎn)到平面的最短距離.解設(shè)于是有練4解得所以故為所求最短距離解練5故當(dāng)網(wǎng)絡(luò)廣告費(fèi)用為0.75萬(wàn)元,報(bào)紙廣告費(fèi)用為1.25萬(wàn)元時(shí),可使利潤(rùn)最大.即將廣告費(fèi)用1.5萬(wàn)元全部用于報(bào)紙廣告,可使利潤(rùn)最大.練6內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問(wèn)題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).2.函數(shù)的條件極值問(wèn)題(1)簡(jiǎn)單問(wèn)題用代入法如對(duì)二元函數(shù)(2)一般問(wèn)題用拉格朗日乘數(shù)法設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)3.函數(shù)的最值問(wèn)題在條件求駐點(diǎn).