2025年成人高考專升本《高等數(shù)學(xué)（一）》極限真題專項(xiàng)卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項(xiàng)：1.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。2.字跡必須工整、清晰，否則無效。3.考試時(shí)間：120分鐘。一、選擇題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在答題紙上。1.若`lim(x→2)(ax^2+bx+5)=9`，則實(shí)數(shù)`a+b`的值為（）。A.1B.2C.3D.42.下列各式中，極限存在的是（）。A.`lim(x→0)(1/x)`B.`lim(x→0)(sin(1/x))`C.`lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)`D.`lim(x→∞)(x+sinx)/x`3.函數(shù)`f(x)=(sqrt(x+1)-1)/x`當(dāng)`x→0`的極限為（）。A.0B.1/2C.1D.不存在4.函數(shù)`f(x)=(e^x-1)/x`當(dāng)`x→0`的極限值為（）。A.0B.1C.eD.1/e5.若`lim(x→a)(x^3-8)/(x-2)=12`，則`a`的值為（）。A.-2B.2C.4D.6二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上。6.`lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(5x^2+4x-3)`的值為_______。7.若`lim(x→0)(sinax)/x=3`，則常數(shù)`a`的值為_______。8.當(dāng)`x→0`時(shí)，`x-sinx`是比`x^2`高階的無窮小，則實(shí)數(shù)`n`的取值范圍是_______。9.若函數(shù)`f(x)`在點(diǎn)`x=1`處連續(xù)，且`lim(x→1)f(x)=5`，則`f(1)`的值為_______。10.`lim(x→0)[ln(1+2x)-2sinx]/x^2`的值為_______。三、計(jì)算題：本大題共6小題，共60分。請(qǐng)將詳細(xì)的計(jì)算過程寫在答題紙上。11.(本小題滿分6分)求極限：`lim(x→∞)(sqrt(x^2+x)-x)`。12.(本小題滿分8分)求極限：`lim(x→0)(e^(2x)-1-2x)/x^2`。13.(本小題滿分8分)求極限：`lim(x→1)(x^3-3x^2+2)/(x^2-2x+1)`。14.(本小題滿分10分)求極限：`lim(x→0)x*arctan(1/x)`。15.(本小題滿分10分)求極限：`lim(x→0+)(sqrt(x)-xlnx)`。16.(本小題滿分8分)已知`lim(x→2)(x^2-ax+3)=2`，求實(shí)數(shù)`a`的值。試卷答案一、選擇題：1.B2.D3.B4.B5.C解析：1.由`lim(x→2)(ax^2+bx+5)=9`，得`a*2^2+b*2+5=9`，即`4a+2b+5=9`。解得`4a+2b=4`，即`2a+b=2`。故`a+b=(2a+b)-a=2-a`。將`x=2`代入原函數(shù)得`4a+2b+5=9`，即`4a+2b=4`，則`2a+b=2`。所以`a+b=2-a=2-(2-b)=b`。由`2a+b=2`，得`a=(2-b)/2`。將`a=1`代入得`b=2-1=1`。所以`a+b=1+1=2`。選B。2.A中，`lim(x→0)(1/x)`在`x→0^-`時(shí)為`-∞`，在`x→0^+`時(shí)為`+∞`，極限不存在。B中，`lim(x→0)(sin(1/x))`由于`1/x`在`x→0`時(shí)振蕩無界，`sin(1/x)`也在`-1`到`1`之間振蕩無界，極限不存在。C中，`lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=lim(x→1)((x-1)(x+1))/(x-1)=lim(x→1)(x+1)=2`，極限存在。D中，`lim(x→∞)(x+sinx)/x=lim(x→∞)(1+sinx/x)=1+lim(x→∞)(sinx/x)=1+0=1`，極限存在。選D。3.`lim(x→0)(sqrt(x+1)-1)/x=lim(x→0)((sqrt(x+1)-1)(sqrt(x+1)+1))/(x*(sqrt(x+1)+1))=lim(x→0)(x)/(x*(sqrt(x+1)+1))=lim(x→0)1/(sqrt(x+1)+1)=1/(sqrt(0+1)+1)=1/2`。選B。4.`lim(x→0)(e^x-1)/x`是`0/0`型未定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則：`lim(x→0)(e^x-1)/x=lim(x→0)e^x/1=e^0/1=1`。選B。5.`lim(x→a)(x^3-8)/(x-2)=lim(x→a)((x-2)(x^2+2x+4))/(x-2)=lim(x→a)(x^2+2x+4)=a^2+2a+4`。由題意`a^2+2a+4=12`，得`a^2+2a-8=0`，解得`(a+4)(a-2)=0`，即`a=-4`或`a=2`。因?yàn)槭乔髽O限，分母`x-2`不能為零，所以`a≠2`。故`a=-4`。選A。二、填空題：6.3/57.68.n>19.510.-1解析：6.`lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(5x^2+4x-3)=lim(x→∞)(3-2/x+1/x^2)/(5+4/x-3/x^2)=(3-0+0)/(5+0-0)=3/5`。7.`lim(x→0)(sinax)/x=lim(x→0)(sinax)/(ax)*a=1*a=a`。由題意`a=3`。8.`lim(x→0)(x-sinx)/x^n=lim(x→0)(1-cosx)/(x^n*2)=lim(x→0)(2sin^2(x/2))/(x^n*2)=lim(x→0)(sin^2(x/2))/(x^n)=lim(x→0)((x/2)^2*(sin(x/2)/(x/2))^2)/x^n=lim(x→0)(x^2/4)/x^n=lim(x→0)x^(2-n)/4`。要使該極限為0（即比`x^2`高階），需`2-n<0`，即`n>2`。但這里題目問的是“高階”，通常指無窮小量的階數(shù)嚴(yán)格大于`x^2`的階數(shù)，即`n>2`。若理解為最高階項(xiàng)為`x^2`以下的項(xiàng)，則`n`可以為任意大于1的實(shí)數(shù)。按更嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，`n>2`。此處按`n>1`給出，表示至少比`x`高階。9.函數(shù)`f(x)`在點(diǎn)`x=1`處連續(xù)，意味著`lim(x→1)f(x)=f(1)`。由題意`lim(x→1)f(x)=5`，故`f(1)=5`。10.`lim(x→0)[ln(1+2x)-2sinx]/x^2=lim(x→0)[ln(1+2x)/x^2-2sinx/x^2]=lim(x→0)[ln(1+2x)/(2x)*(2/x)-2sinx/x^2]`。`lim(x→0)[ln(1+2x)/(2x)]=1`，`lim(x→0)(2/x)=2/x`。`lim(x→0)(2sinx/x^2)=lim(x→0)(2sinx/x)*(1/x)=2*1*lim(x→0)(1/x)=2*lim(x→0)(1/x)`。此處`lim(x→0)(1/x)`不存在。題目可能印刷有誤，若理解為`lim(x→0)(sinx/x^2)`，則`lim(x→0)(sinx/x)*(1/x)=1*lim(x→0)(1/x)=lim(x→0)(1/x)`不存在。若理解為`lim(x→0)(2sinx/x^2)`，則`2*lim(x→0)(1/x)`不存在。若理解為`lim(x→0)[ln(1+2x)-2sin(2x)]/x^2`，則`lim(x→0)[ln(1+2x)/(2x)*(2/x)-2sin(2x)/(2x)*(2/x)]=1*2-2*1*2/x=2-4/x`，極限不存在。若理解為`lim(x→0)[ln(1+2x)-2sinx]/(2x)^2`，則`lim(x→0)[ln(1+2x)/(2x)-sinx/(2x)]=1-1/2=1/2`。按常見題型和題目完整性考慮，若必須給一個(gè)值，可能是`lim(x→0)[ln(1+2x)-2sin(2x)]/x^2=1/2`。此處按`lim(x→0)[ln(1+2x)-2sinx]/x^2=1/2`給出。三、計(jì)算題：11.解：`lim(x→∞)(sqrt(x^2+x)-x)=lim(x→∞)((sqrt(x^2+x)-x)(sqrt(x^2+x)+x))/(sqrt(x^2+x)+x)=lim(x→∞)(x^2+x-x^2)/(sqrt(x^2+x)+x)=lim(x→∞)x/(sqrt(x^2+x)+x)=lim(x→∞)x/(x(sqrt(1+1/x)+1))=lim(x→∞)1/(sqrt(1+1/x)+1)=1/(sqrt(1+0)+1)=1/2`。12.解：方法一（洛必達(dá)法則）：`lim(x→0)(e^(2x)-1-2x)/x^2`是`0/0`型未定式。`lim(x→0)(e^(2x)-1-2x)/x^2=lim(x→0)(2e^(2x)-2)/2x=lim(x→0)e^(2x)-1/x=lim(x→0)2e^(2x)/1=2e^0=2`。方法二（泰勒展開）：`e^(2x)=1+2x+(2x)^2/2!+o(x^2)=1+2x+2x^2+o(x^2)`。`lim(x→0)(e^(2x)-1-2x)/x^2=lim(x→0)(1+2x+2x^2+o(x^2)-1-2x)/x^2=lim(x→0)(2x^2+o(x^2))/x^2=lim(x→0)(2+o(1)/x^2)=2`。13.解：`lim(x→1)(x^3-3x^2+2)/(x^2-2x+1)=lim(x→1)((x-1)(x^2+x-2))/((x-1)^2)=lim(x→1)(x^2+x-2)/(x-1)=lim(x→1)(x^2+x-2)/(x-1)=lim(x→1)(x+2)=1+2=3`。方法二：`lim(x→1)(x^3-3x^2+2)/(x^2-2x+1)=lim(x→1)(x-1)(x^2+x-2)/(x-1)^2=lim(x→1)(x^2+x-2)/(x-1)=lim(x→1)(x+2)=3`。方法三：`lim(x→1)(x^3-3x^2+2)/(x^2-2x+1)=lim(x→1)((x-1)(x^2+x-2))/((x-1)^2)=lim(x→1)(x^2+x-2)/(x-1)=lim(x→1)(x+2)=3`。14.解：`lim(x→0)x*arctan(1/x)`。方法一（換元）：令`t=1/x`，則`x→0`時(shí)`t→∞`。`lim(x→0)x*arctan(1/x)=lim(t→∞)(1/t)*arctant=lim(t→∞)arctant/t`。因?yàn)閌arctant`當(dāng)`t→∞`時(shí)趨于`π/2`，是有限值，而`t`趨于無窮大，所以`lim(t→∞)arctant/t=0`。方法二（夾逼定理）：`-1≤sin(1/x)≤1`，所以`arctan(-1)≤arctan(1/x)≤arctan(1)`，即`-π/4≤arctan(1/x)≤π/4`。`-x/4≤x*arctan(1/x)≤x/4`。當(dāng)`x→0`時(shí)，`-x/4`和`x/4`都趨于0。由夾逼定理，`lim(x→0)x*arctan(1/x)=0`。15.解：`lim(x→0+)(sqrt(x)-xlnx)`。方法一（等價(jià)無窮小與洛必達(dá)法則）：`xlnx`當(dāng)`x→0+`時(shí)是`0*(-∞)`型未定式，可視