2025新教材數(shù)學(xué)高考第一輪復(fù)習(xí)

7.3等比數(shù)列

五年高考

考點(diǎn)1等比數(shù)列及其前〃項(xiàng)和

1.（2023全國(guó)甲理,5,5分，中）設(shè)等比數(shù)列｛知｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)和為S“，若

Q|=l,S5=5S3-4,則&=（）

A.-B.—C.15D.40

88

2.（2023天津,6,5分，中）已知｛為｝為等比數(shù)列$為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和0m=2S#2,則出的值

為（）

A.3B.18C.54D.152

3.（2022全國(guó)乙理,8,5分，中）已知等比數(shù)列｛%｝的前3項(xiàng)和為168“-怒=42,則詼=（）

A.14B.12C.6D.3

4.（2019課標(biāo)III,5,5分，中）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為15,且怒=3的+40,

則〃3=（）

A.16B.8C.4D.2

5.（2019課標(biāo)1,14,5分，中）記S〃為等比數(shù)列｛劣｝的前〃項(xiàng)和.若m=l,S3?則S4=.

6.（2023全國(guó)甲文,13,5分，中）記S”為等比數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和.若8s6=7S%則｛詼｝的公比

為.

7.（2019課標(biāo)里/4,5分，中）記Sn為等比數(shù)列｛〃〃｝的前n項(xiàng)和.若，底=期,則Ss=.

考點(diǎn)2等比數(shù)列的性質(zhì)

1.（2023新課標(biāo)〃,8,5分，中）汜Sn為等比數(shù)列｛〃“｝的前n項(xiàng)和，若S4=-5,S6=21S2,則&=（）

A.120B.85C.-85D.-120

2.（2021全國(guó)甲理,7,5分，中）等比數(shù)列｛為｝的公比為,前〃項(xiàng)和為S〃.設(shè)甲4>0,乙:⑸｝是遞

增數(shù)歹UJUJ（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

3.（2023全國(guó)乙理,15,5分，中）已知｛〃〃｝為等比數(shù)列,〃2。4〃5=43〃6,〃9。10=?8,則ai=.

4.（2020新高考18,12分，中）已知公比大于1的等比數(shù)列｛而滿(mǎn)足s+a4=20,a3=8.

（1）求｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

1

（2）求a1ai-aia^...+（-1a?an+1.

三年模擬

綜合基礎(chǔ)練

1.（2023廣東佛山一模,4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為

S〃,SQ4=9,9S4=1OS2,則。2+。4的值為（）

A.30B.10C.9D.6

2.（2024屆湖南長(zhǎng)沙南雅中學(xué)入學(xué)考,6）等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S“，若5io=lO,520=30,M

5,40=（）

A.60B.70C.80D.150

3.（2024屆浙江名校協(xié)作體適應(yīng)性考試,5）已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S〃.若p:數(shù)列｛〃”｝是等

比數(shù)歹lJ；q：（S〃+l-Q|）2=S〃（S〃+2-S2）4lJP是9的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

4.（多選）（2024屆湖南師大附中摸底考試,10）已知｛〃〃｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前〃

項(xiàng)和為￡,且｛S〃｝是等差數(shù)列,則下列結(jié)論正確的是（）

A.｛斯+S〃｝是等差數(shù)列

B.｛a〃$｝是等比數(shù)列

C｛確｝是等差數(shù)列

D.｛?｝是等比數(shù)列

5.（2023河北唐山三模,13）設(shè)S〃為等比數(shù)列｛〃〃｝的前n項(xiàng)和,。三屆=。6,則$3=.

6.（2024屆山東德州一中月考,13）已知等比數(shù)歹U｛總的首項(xiàng)為1,且〃6+。4=23+內(nèi)）,則

41。2。3…。7=.

7.（2023重慶5月第三次聯(lián)考』7）已知公差不為零的等差數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足G=3,且a?,。7成等

比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列出〃｝滿(mǎn)足兒」一,｛仇｝的前n項(xiàng)和為S〃,求證

an?n+Z12

綜合拔高練1

1.（2023山西太原、大同二模,6）已知等比數(shù)列｛處｝的前n項(xiàng)和為S〃，若〃〃+i=S〃+l（〃￡N*）,則

的=（）

A.16B.32C.81D.243

2.（2024屆湖南師大附中摸底考試,7）已知｛%｝是公差為3的等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S〃,i殳

甲:｛斯｝的首項(xiàng)為零;乙:S2+3是S+3和S3+3的等比中項(xiàng)，則（）

A.甲是乙的充分不必要條件

B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

3.（2023湖北襄陽(yáng)四中適應(yīng)性考試,3）部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱(chēng)為分形,一個(gè)數(shù)

學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng),分形幾

何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一,而且還有其深刻的科

學(xué)方法論意義如圖，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于一

種分形，具體作法是取一個(gè)實(shí)心三角形，沿三角形的三邊中點(diǎn)連線(xiàn).將它分成4個(gè)小三角形,

去掉中間的那一個(gè)小三角形后,對(duì)其余3個(gè)小三角形重復(fù)上述過(guò)程逐次得到各個(gè)圖形，若

記圖①三角形的面積為苧,則第?個(gè)圖中陰影部分的面積為（）

圖①圖②圖③圖④…

A號(hào)住戶(hù)B4?

若eD苧身

4.（多選）（2023江蘇八市二模,10）已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和為

&=-32,則攵可能為（）

A.4B.8C.9D.12

5.（多選）（2023河北唐山二?！?）如圖,△N8C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，連接各邊中點(diǎn)得到

△小歷G,再連接△小囪G的各邊中點(diǎn)得到△小&。2,，如此繼續(xù)下去，設(shè)△4A1c〃的邊

長(zhǎng)為囚C”的面積為Mi,則（）

A

A.Mr=YB.

C.41+42+…+?！?2-22-"D.A/l+A/2+...+A/n<-T-

6.（2023河北石家莊三模,14）已知數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為為=〃-1,數(shù)列｛兒｝是以1為首項(xiàng),2

為公比的等比數(shù)列，則Q%+ah2+...4-。加=.

7.(2023江蘇七市三模,18)已知數(shù)列㈤｝滿(mǎn)足切=1,。2=5〃/2=5引十「6即

⑴證明:｛功+廣2斯｝是等比數(shù)歹U;

(2)證明:存在兩個(gè)等比數(shù)列｛d｝,｛以｝,使得an=bn+cn成立.

綜合拔高練2

1.(2024屆湖北六校聯(lián)考,19)已知數(shù)列｛m｝滿(mǎn)足￡=2z?〃(〃￡N)

(1)證明:｛?！?1｝是等比數(shù)列；

(2)求Q1+43+05+…+。2〃+|.

2.(2024屆湖南長(zhǎng)沙南雅中學(xué)入學(xué)考,17)已知｛念｝為等差數(shù)列⑼=1且公差存0M4是。2和好

的等比中項(xiàng).

(1)若數(shù)列｛m｝的前m項(xiàng)和S〃j=66,求m的值;

(2)若me,%,%，…,切成等比數(shù)列,求數(shù)列/｝的通項(xiàng)公式.

3.(2024屆安徽安慶、池州、銅陵三市開(kāi)學(xué)聯(lián)考』8)己知數(shù)列｛〃〃｝滿(mǎn)足

\dn+2,n為奇數(shù)、

a\=\,an+\=\

120n,71為篇數(shù)

⑴記兒=4⑵，求證:數(shù)列｛6+2｝是等比數(shù)列;

(2)若北=m+s+…+?！ǎ?1.

4.(2023山西太原、大同二模，17)已知｛a?｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，｛兒｝是等差數(shù)歹U,且

Q[=/)|=1/3=〃2+兒/2+2=①.

(1)求｛斯｝和｛九｝的通項(xiàng)公式;

(2)從下面條件①、②中選擇一個(gè)作為已知條件，求數(shù)列｛C〃｝的前〃項(xiàng)和Sn.

條件①:c〃=q〃瓦;條件②:c〃="

注:若選擇條件①和條件②分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

5.(2023山東濟(jì)南二模,18)已知數(shù)列｛小｝的前〃項(xiàng)和S“=2〃+L2,數(shù)列｛兒｝滿(mǎn)足兒=1。3%

(1)求數(shù)歹|J｛?！ǎ?｛兒｝的通項(xiàng)公式；

(2)由如也構(gòu)成的〃x〃階數(shù)陣如圖所示，求該數(shù)陣中所有項(xiàng)的和Tn.

仇,小歷,由必，…,如勾\

。2瓦，Q2b2,a2b3,…,a2^n

。3仇，a3b2,a3b3,…,a3^n

\斯比,。?也2,%2?3,u,rbn/

7.3等比數(shù)列

五年高考

考點(diǎn)1等比數(shù)列及其前〃項(xiàng)和

1.(2023全國(guó)甲理,5,5分，中)設(shè)等比數(shù)列｛〃〃｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為S“，若

6=155=553-4,貝1”4=)

B.皆C.15D.40

88

答案C

2.（2023天津,6,5分，中）已知｛斯｝為等比數(shù)列5為數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和必”+尸2￡+2,則人的值

為（）

A.3B.18C.54D.152

答案C

3.（2022全國(guó)乙理,8,5分，中）已知等比數(shù)列｛知｝的前3項(xiàng)和為168m-〃5=42,則期=（）

A.14B.12C.6D.3

答案D

4.（2019課標(biāo)01,5,5分，中）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛?。那?項(xiàng)和為15,且45=3〃3+4m,

則。3=（）

A.I6B.8C.4D.2

答案C

5.（2019課標(biāo)1,14,5分，中）記S〃為等比數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和.若所15?則S4=.

答案|

6.（2023全國(guó)中文,13,5分，中）記S〃為等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和.若8s6=7S%則｛端的公比

為.

答案

7.（2019課標(biāo)73,14,5分，中）記工為等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和.若星=g則&=.

答案平

考點(diǎn)2等比數(shù)列的性質(zhì)

1.（2023新課標(biāo)〃,8,5分，中圮，為等比數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和，若&=-5$=2152,則58=（）

A.120B.85C.-85D.-120

答案C

2.（2021全國(guó)甲理,7,5分，中）等比數(shù)列｛為｝的公比為縱前〃項(xiàng)和為公設(shè)甲:夕＞0,乙:⑸｝是遞

增數(shù)列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案B

3.（2023全國(guó)乙理,15,5分，中）已知｛〃〃｝為等比數(shù)列,。2。4〃5=的。6,。9。10=-8,則aj=.

答案-2

4.（2020新高考〃,18,12分，中）己知公比大于1的等比數(shù)列｛?！ǎ凉M(mǎn)足重十。4=20,43=8.

（1）求｛?！ǎ耐?xiàng)公式；

（2）求4142-。2。3+…+（-1）〃/0G+1.

解析（1）已知數(shù)列｛飆｝是公比大于1的等比數(shù)列，設(shè)公比為以夕＞1）,依題意有

，3

：：；2二：=2°解得0=2,夕=2,或0=32,9《（舍）（注意:不要忽略公比大于1這一條件）,

所以如=2〃,所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為小=2〃.(5分)

(2)042?。2。3+3+(-1)"/斯斯+1

=23-25+27-29+..-22,,+l

23[l-<-2z)n]

(12分)

1-(-22)=2)管

三年模擬

綜合基礎(chǔ)練

1.（2023廣東佛山一模,4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為

S〃/2〃4=9,9S4=10S2,則。2+〃4的值為)

A.30B.10C.9D.6

答案B

2.（2024屆湖南長(zhǎng)沙南雅中學(xué)入學(xué)考,6）等比數(shù)列佃〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若5io=lO,&o=3O,WJ

$40=（）

A.60B.70C.80D.150

答案D

3.（2024屆浙江名校協(xié)作體適應(yīng)性考試,5）己知數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃.若p:數(shù)列｛斯｝是等

比數(shù)列;q:（S?+i-m）2=S〃（S〃+2-S2）,則〃是夕的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

4.（多選）（2024屆湖南師大附中摸底考試,10）已知｛飆｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前〃

項(xiàng)和為￡,且⑸｝是等差數(shù)列,則下列結(jié)論正確的是（）

A.｛〃〃+&｝是等差數(shù)列

B｛a〃$｝是等比數(shù)列

C.｛忌｝是等差數(shù)列

D.｛^｝是等比數(shù)列

答案ACD

5.（2023河北唐山三模,13）設(shè)，為等比數(shù)列｛%,｝的前〃項(xiàng)和⑷三屆=。6,則S3=.

答案J

6.（2024屆山東德州一中月考,13）已知等比數(shù)列｛①｝的首項(xiàng)為1,且如十。4=23+S）,則

答案128

7.（2023重慶5月第三次聯(lián)考,17）已知公差不為零的等差數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足。2=3,且m,G3,s成等

比數(shù)列.

（1）求數(shù)列（〃〃｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛/?〃｝滿(mǎn)足bn=~」,（/?〃｝的前n項(xiàng)和為S〃，求證:

為41+2

解析⑴設(shè)｛斯｝的公差為3（存0）,根據(jù)成等比數(shù)歹山可得送=4147,

2

又6=3所以出1+2d）2=?1（?1+6d）,即（2d=axd,

“'1%+d=3,+d=3,

由期），解得｛，工￥故上〃=%+L

⑵證明:由⑴知"扁麗磊），

所以￡1=方1+岳+...+瓦

=V（?3+cv）+e-9+c）+…+&-擊）+（缶一*）I制6+卜

n+2n+s）'

因?yàn)?WN*,所以X：+A擊一擊）號(hào)X值+3=卷

所以s〃〈卷

綜合拔高練1

1.（2023山西太原、大同二模,6）已知等比數(shù)列｛〃〃｝的前n項(xiàng)和為S”,若Q“+I=S”+1（〃￡N"）,則

卷=（）

A.16B.32C.81D.243

答案A

2.（2024屆湖南師大附中摸底考試,7）已知｛如｝是公差為3的等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S〃，設(shè)

甲:｛?。氖醉?xiàng)為零;乙5十3是51+3和&+3的等比中項(xiàng)，則（）

A.甲是乙的充分不必要條件

B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案C

3.（2023湖北襄陽(yáng)四中適應(yīng)性考試,3）部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱(chēng)為分形,一個(gè)數(shù)

學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式和一種基于遞歸的反饋系統(tǒng),分形幾

何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一,而且還有其深刻的科

學(xué)方法論意義如圖，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于一

種分形，具體作法是取一個(gè)實(shí)心三角形，沿三角形的三邊中點(diǎn)連線(xiàn).將它分成4個(gè)小三角形,

去掉中間的那一個(gè)小三角形后,對(duì)其余3個(gè)小三角形重復(fù)上述過(guò)程逐次得到各個(gè)圖形，若

記圖①三角形的面積為今則第?個(gè)圖中陰影部分的面積為

()

A.在守”

邛0

答案D

若

SA=-32,則k可能為()

A.4B.8C.9D.12

答案AC

5.（多選）（2023河北唐山二模,10）如圖，△4是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，連接各邊中點(diǎn)得到

△小aG,再連接△出4G的各邊中點(diǎn)得到△出&。2,……，如此繼續(xù)下去，設(shè)的邊

長(zhǎng)為a,h/\A?BnCn的面積為根,則（）

A

〃生兒”

A.Mr=Y??B.a：="3〃5

C.0+42+…+?！?2-22-"D.A/1+A/2+…+A/”<￥

J

答案ABD

6.（2023河北石家莊三?！?）已知數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為服=〃-1,數(shù)列｛兒｝是以1為首項(xiàng),2

為公比的等比數(shù)列，則。加+%+…+ab=.

答案502

7.（2023江蘇七市三模,18）已知數(shù)列｛為｝滿(mǎn)足0=1,&=5,。肝2=5斯一i-6斯.

⑴證明:｛斯+廣2%｝是等比數(shù)列；

（2）證明:存在兩個(gè)等比數(shù)列｛兒｝，出｝，使得《產(chǎn)兒+以成立

證明（1）:。“+2=5斯+i-6an,

?！?2-2斯+\=5dn+11,

4"+2-2?！?1=34〃+1-6?！?3(?！?1-2?！?，

顯然an+\-2an=0與所1/2=5矛盾,

斯+2—261n+1

??t7/i+l_2t7/r7-0,??

%+1-20n

，數(shù)列｛。肝1?2恁｝是首項(xiàng)為〃2-2S=5-2=3,公比為3的等比數(shù)列.

(2)V。肝2=5?！?1-6。〃,。"+2?3?！?1=5。什|-6?！?3?！?1,

斯+2?3斯+\=2an+1-6。〃=2（?！?|-3?！ǎ?

顯然?！?1?3?！?0與。1=1,。2=5矛盾,.,?。什1?3。#0,

?斯+2-3%1+1=2

斯+1-3每

，數(shù)列｛4汁1-3々〃｝是首項(xiàng)為。2?3田=5?3=2,公比為2的等比數(shù)列,

斯+i?3a〃=2",①

又由（1）知，加i-2a〃=3〃,②

???②?①得/〃=3〃-2〃，

**?存在6〃=3〃,c〃=-2”兩個(gè)等比數(shù)列｛瓦｝,｛c〃｝,使得an=bn^cn成立.

綜合拔高練2

1.(2024屆湖北六校聯(lián)考,19)已知數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足S〃=2z-〃(〃WN)

⑴證明:｛為+1｝是等比數(shù)列；

(2)求4|+。3+〃5+.??+。2”+八

解析⑴證明:當(dāng)〃=1時(shí),得4|=1,

當(dāng)n>2時(shí),S〃5/=(2a〃?〃)?[2a”/?(〃?1)],

所以4〃=2而1+1,論2,

從而。〃+1=2(如“+1),，侖2,得/1+1=232）,

?！耙?+1

所以｛%+1｝是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.

(2)由⑴得即=2〃?1,

所以。|+。3+。5+…+。2〃+1=(2423+…+22"")-(〃+1)

苦一+1)

_22n+3-3n-5

3'

2.(2024屆湖南長(zhǎng)沙南雅中學(xué)入學(xué)考,17)已知｛斯｝為等差數(shù)列⑼=1且公差存0?是。2和好

的等比中項(xiàng).

⑴若數(shù)列｛〃〃｝的前例項(xiàng)和S〃j=66,求m的值;

⑵若Qi,〃2,明,四2,…，的”成等比數(shù)列，求數(shù)列體｝的通項(xiàng)公式?

解析(1)因?yàn)椋??！ǎ堑炔顢?shù)列，

所以。2=〃|+&〃4=〃|+3",〃8=〃|+74

因?yàn)椤?是。2和。8的等比中項(xiàng),

所以成=。2,48,所以（。1+3療=（。\+d）-（a\+7d）,

由存0化簡(jiǎn)得4=。|=1.所以a〃=〃,

由S.^^66,

解得m=\1.

(2)因?yàn)閙MM%，的2，…，明成等比數(shù)列,

所以該數(shù)列的公比線(xiàn)=2

又m=l,所以*=1所（〃+2卜1=2〃+1,

又m〃｝為等差數(shù)列，且%=小所以*="〃=2"+L

故數(shù)列｛怎｝的通項(xiàng)公式為fa=2w+1.

3.（2024屆安徽安慶、池州、銅陵三市開(kāi)學(xué)聯(lián)考，18）已知數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足

（%+2,九為奇數(shù)

a\=[,a+\=<

n為偶數(shù).

⑴記兒=。2?,求證:數(shù)列｛&+2｝是等比數(shù)列;

（2）若〃=。1+。2+—.+?！?求T?R.

解析⑴證明:由已知得歷=42=3乃[+2=42+2=5.

當(dāng)n>2時(shí)力〃=々2〃=42〃-1+2=242小2+2=24“+2,

故?！?2=2（瓦/+2）,

所以數(shù)列｛兒+2｝是首項(xiàng)為5,公比為2的等比數(shù)列.

⑵由⑴知也=5x2"-12

乙〃=。1+〃2+…+。2/產(chǎn)（。1+。3+…+。2“-1）+（。2+。4+…+〃2〃尸2（力|+岳+…+力〃）-2〃，設(shè)

S產(chǎn)歷+歷+…+6〃=5x（1+2+…+2〃/）-2〃=5乂2"-2〃-5,故T2>l=2Str2n=5x2〃+1-6〃-10.

4.（2023山西太原、大同二模，17）已知｛〃〃｝是正項(xiàng)等比數(shù)歹L｛仇｝是等差數(shù)歹U,且

。1=6=1,1+03=62+64/2+2=63.

(1)求｛〃〃｝和｛兒｝的通項(xiàng)公式；

(2)從下面條件①、②中選擇一個(gè)作為已知條件，求數(shù)列｛的｝的前n項(xiàng)和鼠

條件①:C“=4〃6〃；條件②: