2025屆中考復習

2025屆中考復習專題1O：二次函數(shù)中的存在性問題

總覽1題型解讀

解題策略梳理模塊三角的存在性問題

模塊一三角形存在性問題【題型9】轉(zhuǎn)化為相似或全等三角形

【題型1】等腰直角三角形【題型10］轉(zhuǎn)化為等腰三角形問題

【題型2】等腰三角形存在性問題【題型11］化為正切值或斜率

【題型3】直角三角形存在性問題【題型12］角的存在性問題之與特殊角結(jié)合

【題型4】相似三角形存在性問題【題型13］角的存在性問題之2倍角與半角

模塊二特殊四邊形存在性問題【題型14】頂點是動點——構(gòu)造圓

【題型5】平行四邊形存在性問題

【題型6】正方形存在性問題

【題型7】矩形存在性問題

【題型8】菱形存在性問題

題型匯編知識梳理與常考題型

/核心?技巧/

解題策略梳理

一、等腰三角形的存在性問題：幾何法與代數(shù)法講解

【問題描述】

如圖，點片坐標為（1,1）,點8坐標為（4,3）,在x軸上取點C使得△48C是等腰三角形.

0

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【幾何法】"兩圓一線''得出標

(1)以點力為圓心，為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C,有4B=4C；

(2)以點3為圓心，4?為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C,有BA=BC；

(3)作l3的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點。，有CA=CB.

【注意】若有三點共線的情況，則需排除.

作圖并不難，問題是還需要把各個點坐標算出來,可通過勾股或者三角函數(shù)來求.

.4C|^3-1>2.

作/〃_Lr軸于〃點.J//-1

ex1-273.0）「式|+1工。）

G、G同理可求，下求G.

顯然垂直平分線這個條件并不太適合這個題目，如果力、6均往下移?個單位，當點力坐標為(1,()),

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/〃=3,RH=2

ftJC5=x?則加‘尸北

13

解得1r=-

6

19

故J坐標為（—,0）

6

二、直角三角形存在性問題：幾何法與代數(shù)法講解

【問題描述】如圖，在平面直角坐標系中，點力坐標為(1,1),點6坐標為(5,3),在x軸上找一

點C使得△力8C是直角三角形，求點C坐標.

【幾何法】兩線一圓得坐標

(1)若N4為直角，過點力作/LB的垂線，與x軸的交點即為所求點G

(2)若N4為直角，過點4作力笈的垂線，與x軸的交點即為所求點C;

(3)若NC為直角，以44為直徑作圓，與x軸的交點即為所求點C.(直徑所對的圓周角為直角)

重點還是如何求得點坐標，C、G求法相同，以G為例:

【構(gòu)造三垂直】

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*

AMMH

RNNC.*

由/、H坐標將4A片2.?XW.YC2-3

3

代人得：B*：

X

13

故Q坐標為(〈?0)

G，、。4求法相同，以。3為例:

AM—

狀證A"/(3?a(3、以內(nèi)一二

<ywAO

山/.6坐標用4位hMV=3.設M/a?C’Nb

Ia

代入肉17=-.呷&=3?乂丁b=4?故51次3

b3

故g坐標為(20)?q坐標為(4,0)

構(gòu)造三垂直步驟：

第一步：過直角頂點作一條水平或豎直的直線；

第二步：過另外兩端點向該直線作垂線，即可得三垂直相似.

【代數(shù)法】表示線段構(gòu)勾股

還剩下G待求，不妨來求下q：

(1)表示點：設G坐標為(/H,0),又A(1,1)、B(5,3)；

(2)表示線段：AB=2亞,(G=JW7)2+1,BC,=7l>-5)2+32；

22

(3)分類討論：當乙%q為直角時，AB+AC~=BC]；

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（4）代入得方程：20+（〃-1『+12=（〃?-5『+32,解得：;?=|.

三、等腰直角三角形在性問題方法突破

【三垂直構(gòu)造等腰直角三角形】通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決問題.

【模型呈現(xiàn)】如圖，在RiAABC,ZACB=90°,將斜邊力8繞點力順時針旋轉(zhuǎn)90。得到力D過點。

作?！阓L/C于點￡,可以推理得到△48C空△D4E,進而得到BC=AE.

我們把這個數(shù)學模型成為“K型”.

推理過程如下：

【模型遷移】

【蘭州中考（刪減）】二次函數(shù)夕=。/+隊+2的圖像交x軸于點力（-1,0）,B（4,0）兩點，交），軸

于點C.動點"從點力出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿力8方向運動，過點“作A/N_Lx軸交

直線8c于點N,交拋物線于點。，連接/1C,設運動的時間為，秒.

（1）求二次函數(shù)^=。/+加+2的表達式:

（2）在直線MN上存在一點P,當"8。是以N8PC為直角的等腰直角三角形時，求此時點。的

坐標.

【分析】

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IQ

(I)y=-^x2+^x+2；

(2)本題直角頂點P并不確定，以BC為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點即為P點，再過點P作

水平線，得三垂直全等.

設HP=a,PQ=b,則BQ=a,CH=b,

a+b=4a=1

由圖可知：,一二2,解得：

b=3

故D點坐標為(1,3).

同理可求此時。點坐標為(32).

思路2:等腰直角的一半還是等腰直角.

如圖，取BC中點M點，以8W為一直角邊作等腰直角三角形，則第三個頂點即為P點.根據(jù)8點

和M點坐標，此處全等的兩三角形兩直角邊分別為I和2,故。點坐標易求.

P點橫坐標同。點、，故可求得。點坐標.

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四、平行四邊形存在性問題方法突破

考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：

(1)對應邊平行且相等；

(2)對角線互相平分.

這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運用在在坐標系中:

(1)對邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：/

可以理解為點8移動到點4點C移動到點0,移動路徑完全相同.

22

(2)對角線互相平分轉(zhuǎn)化為:

2~2

可以理解為/1C的中點也是80的中點.

【小結(jié)】雖然由兩個性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實可以化為統(tǒng)一:

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XA-XB=XD-XCxA+xc=xD+xB

22

〃+”?為+%M+”?=%+%

22

當力。和80為對角線時，結(jié)果可簡記為：A+C=B+D(各個點對應的橫縱坐標相加)

以上是對于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當有一問：若

坐標系中的4個點力、B、C、。滿足"/+C=B+O”，則四邊形是否一定為平行四邊形？

反例如下：

之所以存在反例是因為“四邊形力8C。是平行四邊形"與"C、BD中點是同一個點”并不是完全等價

的轉(zhuǎn)化，故存在反例.

雖有反例，但并不影響運用此結(jié)論解題，另外，還需注意對對角線的討論：

(1)四邊形力80是平行四力形：AC.BO一定是對角線.

(2)以/、B、C、。四個點為頂點是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論.

【題型分類】

平行四邊形存在性問題通常可分為“三定一動”和“兩定兩動”兩大類問題.

1.三定一動

已知力(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐標系內(nèi)確定點O使得以力、B、C、。四個點為頂點的四

邊形是平行四邊形.

思路1：利用對角線互相平分，分類討論：

設。點坐標為(，〃，〃)，又/(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:

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(1)8C為對角線時，可得%(7,6)；

3+5=2+〃

(2)4C為對角線時，［"3=5+〃］，解得。,(_1,4)；

2+5=3+〃

(3)48為對角線時，解得已(3,0).

2+3=5+〃

當然，如果對這個計算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可.

比如：D=B+C-A,D^A-C-Bt48一C.(此處特指點的橫縱坐標相加減)

2.兩定兩動

已知彳(1,1)、B(3,2),點C在x軸上，點。在j，軸上，且以力、B、C、。為頂點的四邊形是

平行四邊形，求C、。坐標.

【分析】

設C點坐標為(///,0),0點坐標為(0,/?),又力(1,1)、5(3,2).

⑴當"為對角線時，；：；?；：：〃[=4

解得，故C(4,0)、D(0,3)；

n=3

(2)當AC為對角線時,解得故C(2,0)、D(0,-1)；

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⑶當，。為對角線時，;二：；，解得故3,。）、。（。，，

【動點綜述】

“三定一動”的動點和“兩定兩動”的動點性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動”中動點是在平面中，橫縱坐

標都不確定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動點”，而有一些動點在坐標軸或者直

線或者拋物線上，用一個字母即可表示點坐標，稱為“半動點”.

從上面例子可以看出，雖然動點數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個字母表示出4個點坐標,若把一個

字母稱為一個“未知量”也可理解為：全動點未知量=半動點未知量x2.

找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未

知量.究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：

（1）對邊平行且相等；

（2）對角線互相平分.

但此兩個性質(zhì)統(tǒng)一成一個等式：1?+分一小+小，

兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在

2個未知量.

由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知動點設計，由動點設計可化解問題.

五、矩形的存在性問題方法突破

矩形的判定：（1）有一個角是直角的平行四邊形;

（2）對角線相等的平行四邊形；

（3）有三個角為直角的四邊形.

【題型分析】

矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形,

坐標系中的矩形滿足以下3個等式：

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，y.4+匕?=%+%(%。為對角線時)

2

-%)+(丹-yCf=J(/f)2+仇一yDf

因此在矩形存在性問題最多可以有3個未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解.

確定了有3個未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個動點，多則可以有3個.

題型如下：

(I)2個定點+1個半動點+1個全動點；

(2)I個定點+3個半動點.

【解析思路】

思路1：先直角，再矩形

在構(gòu)成矩形的4個點中任取3個點，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點，可先確定其中3個點構(gòu)造

直角三角形，再確定第4個點.對“2定+1半動+1全動”尤其適用.

引例：已知/(1,1)、B(4,2),點C在x軸上，點力在平面中，且以/、B、C、。為頂點的四

邊形是矩形，求。點坐標.

【分析】

點C滿足以小8、C為頂點的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓”可得滿足條件的點C有q

cj—,oLG(2,0)、C4(3,0)

I3/

在點C的基礎上，借助點的平移思路，可迅速得到點。的坐標.

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【小結(jié)】這種解決矩形存在性問題的方法相當于在直角三角形存在性問題上再加一步求。點坐標，

也是因為這兩個圖形之間的密切關(guān)系方能如此.

思路2：先平行，再矩形

當4c為對角線時，A.B、C。滿足以下3個等式，則為矩形：

/+%=.%+而

』+及二九十%

2

-yc)=如-xD『+(yB-yDf

其中第1、2個式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形.表示出點坐標后，代入點坐標解方

程即可.

無論是“2定1半1全”還是力定3半”，對于我們列方程來解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次

方程組.

引例：己知力(1,1)、B(4,2),點C在K軸上，點。在坐標系中，且以力、B、C、。為頂點的

四邊形是矩形，求。點坐標.

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【分析】

設C點坐標為(a,0),。點坐標為(b,c),又力(1,1)、B(4,2).

先考慮平行四邊形存在性：

⑴"為對角線時，J-…滿足此條件的C、。使得以4B、C、。為頂點的四邊形是平

行四邊形，另外力ACD得：,(if+(2-1)2=J(j)2+(0_4,

6T=3a=2

綜合以上可解：6=2或'b=3.故C(3,0)、D(2,3)或C(2,0)、D(3,3).

c=3c=3

I;：；：：‘另外4C=8O,得J(a_lf+(0_1)2=J(I1+(c-2)2,綜

(2)4。為對角線時，?

14

a=一

3

b=3.故哈，。卜嗚-1}

合以上可解得:

c=-1

\+b=4+a

(3)AD為對角線時,另夕卜力。=4。，得31)2+(1)2=h-4『+(0-2)2,

I+c=2+0

4

a=-

3

故,件°)

綜合以上可解得:哨』

c=1

【小結(jié)】這個方法是在平行四邊形基礎上多加一個等式而已，剩下的都是計算的故事.

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【代數(shù)法】表示線段構(gòu)相等

（1）表示點：設點C5坐標為（相，0）,又4點坐標（1,1）、8點坐標（4,3）,

（2）表示線段：AC,=7（wl）2+（O-l）2,絲=，（〃?-4）二+（0-3『

（3）分類討論：根據(jù)=可得：7（^-02+12=^-4）2+32,

（4）求解得答案：解得：/〃吟，故C5坐標為傳，。）,

【小結(jié)】

幾何法：（1）“兩圓一線”作出點；

（2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長，由線段長得點坐標.

代數(shù)法：（1）表示出三個點坐標力、B、C；

（2）由點坐標表示出三條線段：/夕、/C、BC：

（3）根據(jù)題意要求?、?8=/。、②AB=BC、@AC=BC；

（4）列出方程求解.

問題總結(jié)：

（I）兩定一-動：動點可在直線上、拋物線上；

（2）一定兩動：兩動點必有關(guān)聯(lián)，可表示線段長度列方程求解；

（3）三動點：分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口.

六、菱形的存在性問題方法突破

作為一種特殊的平行四邊形，我們已經(jīng)知道可以從以下幾種方式得到菱形:

（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；

（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

<3）四邊都相等的四邊形是菱形.

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坐標系中的菱形存在性問題也是依據(jù)以上去得到方法.和平行四邊形相比，菱形多一個“對角線互相

垂直”或“鄰邊相等”，但這兩者其實是等價的，故若四邊形是菱形，則其4個點坐標需滿足：

%+%=/+辦

J(%-與/+8-3%，=f『+("-4』

考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1在初中并不適合直接用，故取兩鄰邊相等.

即根據(jù)菱形的圖形性質(zhì)，我們可以列出關(guān)于點坐標的3個等式，

故菱形存在性問題點坐標最多可以有3個未知量，與矩形相同.

因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2個動點，多則有3個動點，可細分如下兩大類題型:

(1)2個定點+1個半動點+1個全動點

(2)1個定點+3個半動點

解決問題的方法也可有如下兩種：

思路1：先平四，再菱形

設點坐標，根據(jù)平四存在性要求列出Z+O8+?！?AC,8。為對角線)，再結(jié)合一組鄰邊相

等，得到方程組.

思路2：先等腰，再菱形

在構(gòu)成菱形的4個點中任取3個點，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3

個點，再確定第4個點.

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1.看個例子：

如圖，在坐標系中，片點坐標（1,1）,8點坐標為（5,4）,點。在x軸上，點。在平面中，求。點

坐標，使得以力、B、C、。為頂點的四邊形是菱形.

思路1：先平四，再菱形

設。點坐標為（相，0）,。點坐標為（p,q）.

（1）當48為對角線時，由題意得：38和CQ互相平分及4G8C）

39

m=一

\+5=m+p8

9

l+4=0+q,解得：，p=-

8

(w-l)2+(0-l)2=(w-5)2+(O-4)2

q=5

（2）當力。為對角線時，由題意得：（力。和&?互相平分及84=4。）

l+m=5+pni=2n\=8

?l+0=4+q，解得：p=-2或<p=4

(I7):+(i-4)2=(〃-5)2+(0—4)2g=-3M=-3

（3）當4。為對角線時，由題意得：

1+p=5+/〃???=!+2\fbm=\-2>/6

<1+。=4+0,解得：?p=5+2\[b或<p=5-246

(I)?+(1-4『=(1-ZM)2+(1-0)2g=3g=3

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思路2：先等腰，再菱形

先求點。，點。滿足由力、仄C構(gòu)成的三角形?定是等腰三角形，用等腰存在性問題的方法先確定

C,再確定。點.

（1）當時，

C點坐標為（1+2指,0）,對應D點坐標為（5+26,3）：

C點坐標為,對應D點坐標為（5-2?,3）.

（2）當B4=BC時,

。點坐標為（8,0）,對應。點坐標為（4,-3）；

C點坐標為（2,0）,對應。點坐標為（-2,-3）.

（3）AC=BCH'b

*坐標為2,5.

。點坐標為—,0,D也

18J18J

；'/二!/

/、、//1

以上只是兩種簡單的處理方法,對于一些較復雜的題目，還需具體問題具體分析，或許有更為簡便

的方法.

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七、正方形的存在性問題方法突破

作為特殊四邊形中最特殊的一位，正方形擁有更多的性質(zhì)，因此坐標系中的正方形存在性問題變化

更加多樣，從判定的角度來說，可以有如下：

（1）有一個角為直角的菱形；

（2）有一組鄰邊相等的矩形；

<3）對角線互相垂直平分且相等的四邊形.

依據(jù)題目給定的已知條件選擇恰當?shù)呐卸ǚ椒?，即可確定所求的點坐標.

從未知量的角度來說，正方形可以有4個“未知量”，因其點坐標滿足4個等量關(guān)系，考慮對角線性

質(zhì)，互相平分（2個）垂直（1個）且相等（1個）.

比如在平面中若已知兩個定點，可以在平面中確定另外兩個點使得它們構(gòu)成正方形，而如果要求在

某條線上確定點，則可能會出現(xiàn)不存在的情況，即我們所說的未知量小于方程個數(shù)，可能無解.

從動點角度來說，關(guān)于正方形存在性問題可分為：

（1）2個定點+2個全動點；

（2）1個定點+2個半動點+1個全動點；

甚至可以有：（3）4個半動點.

不管是哪一種類型，要明確的是一點，我們肯定不會列一個四元一次方程組求點坐標！

常用處理方法：

思路1：從判定出發(fā)

若已知菱形，則加有一個角為直角或?qū)蔷€相等；

若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；

若已知對角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件.

思路2：構(gòu)造三垂直全等

若條件并未給關(guān)于四邊形及對角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個頂點中任取3個，必是等

腰直角三角形，若已知兩定點，則可通過構(gòu)造三垂直全等來求得第3個點，再求第4個點.

總結(jié)：構(gòu)造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點的情形，若題目給了4個動點，則考慮從矩形的判

定出發(fā)，觀察該四邊形是否已為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關(guān)系.

正方形的存在性問題在中考中出現(xiàn)得并不多，正方形多以小題壓軸為主.

例：在平面直角坐標系中，A（1,1）,B（4,3）,在平面中求C、D使得以4、B、C、。為頂點的四

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邊形是正方形.

如圖，一共6個這樣的點。使得以力、B、C為頂點的三角形是等腰直角三角形.

至于具體求點坐標，以C為例，構(gòu)造△4W8之△GN4,即可求得G坐標.至于像G、Q這兩個點

的坐標，不難發(fā)現(xiàn)，G是力c;或44的中點，q,是3g或,1cl的中點.

題無定法，具體問題還需具體分析，如上僅僅是大致思路.

八、相似三角形存在性問題

【模型解讀】

在坐標系中確定點，使得由該點及其他點構(gòu)成的三角形與其池三角形相似，即為“相似三角形存在性

問題

【相似判定】

判定1：三邊對應成比例的兩個三角形是相似三角形；

判定2：兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形是相似三角形；

判定3：有兩組角對應相等的三角形是相似三角形.

以上也是坐標系中相似三角形存在性問題的方法來源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當?shù)呐卸ǚ椒?

解決問題.

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【題型分析】

通常相似的兩三角形有一個是已知的，而另一三角形中有1或2個動點，即可分為“單動點，類、“雙

動點''兩類問題.

【思路總結(jié)】

根據(jù)相似三角形的做題經(jīng)驗，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會用的，這里也一樣不怎么用，對比判定

2、3可以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！

所以，要證相似的兩個三角形必然有相等角，關(guān)鍵點也是先找到一組相等角.

然后再找：

思路1：兩相等角的兩邊對應成比例；

思路2：還存在另一組角相等.

事實上，坐標系中在已知點的情況下，線段長度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考慮

思路1.

一、如何得到相等角？

二、如何構(gòu)造兩邊成比例或者得到第二組角？

搞定這兩個問題就可以了.

九、角的存在性問題

方法突破

除了特殊幾何圖形存在性問題外，相等角存在性也是二次函數(shù)壓軸題中常見的題型，根據(jù)題目給的

不同的條件，選擇恰當?shù)姆绞椒驑?gòu)造相等角,是此類問題的關(guān)鍵.

回顧一下在幾何圖形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：

（1）平行：兩直線平行，同位角、內(nèi)錯角相等：

（2）角平分線：角平分線分的兩個角相等；

（3）等腰三角形：等邊對等角；

（4）全等（相似）三角形：對應角相等；

（5）三角函數(shù)：若兩個角的三角函數(shù)值相等，則兩角相等；

（6）圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.

也許還有，但大部分應該都在此了，同樣，在拋物線背景下亦可用如下思路構(gòu)造相等角.

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想得到相等角，先考慮如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函數(shù)值，因此在

以上6種方案當中，若無明顯條件，可考慮求出角的三角函數(shù)值來構(gòu)造相等角.

模塊一三角形存在性問題

【題型1】等腰直角三角形

【例題1】如圖，拋物線歹="爐+及+2交x軸于點3,0)和點4(1,0),交N軸于點C.

(1)求這個拋物線的函數(shù)表達式.

(2)點。的坐標為(-1,0),點尸為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形40cp面積的最大

值.

(3)點〃為拋物線對稱軸上的點，間：在拋物線上是否存在點N,使AMNO為等腰直角三角形，

且乙WNO為直角？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

普用用

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【例題2】如圖，拋物線y=/+6x+c過點力(-1,0)、點典5,0),交j，軸于點C.

⑴求上。的值.

(2)點尸(小,凡)(。</<5)是拋物線上的動點，過點P作PE_Lx軸，交BC于點、E,再過點P作PF〃x

軸，交拋物線于點凡連接以丁問：是否存在點P，使馬尸E尸為等腰直角三角形？若存在，請求出

點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

/一1鞏固練習/________________________________________________________________

【鞏固練習1】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=g/+/以+。與x軸交于力、B兩點,點、B

(3,0),經(jīng)過點力的直線力C與拋物線的另一交點為。(43)，與j，軸交點為。，點。是直線力C下

方的拋物線上的一個動點(不與點小。重合).

(1)求該拋物線的解析式.

(2)點0在拋物線的對稱軸上運動，當△。尸。是以。尸為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫

出符合條件的點尸的坐標.

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【鞏固練習2】如圖1,在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y=a/+瓜+4的圖象與x軸交于點

4(-2,0),8(4,0),與V軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式：

(2)已知E為拋物線上一點，尸為拋物線對稱軸，上一點，以B,E,尸為頂點的三角形是等腰直角

三角形，且NBFE=90。，求出點尸的坐標；

【鞏固練習3】(2024?四川眉山?中考真題)如圖，拋物線》=--+版+。與％軸交于點力(_3,0)和點

B,與V軸交于點。(0,3),點。在拋物線上.

(1)求該拋物線的解析式：

(2)當點。在第二象限內(nèi)，且"CQ的面積為3時，求點。的坐標；

(3)在直線8。上是否存在點P,使△OPD是以夕。為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點

。的坐標；若不存在，請說明理由.

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【題型2】等腰三角形存在性問題

【例題1】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)卜=G2+后+。交x軸于點力(-4,0)、8(2,0),交y

軸于點C(0,6),在y軸上有一點E(0,-2),連接NE.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)若點。為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求&4DE面積的最大值；

(3〉拋物線對稱軸上是否存在點尸，使&4￡尸為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有。點的坐標,

若不存在請說明理由.

【例題2】(2024?四川達州?中考真題)如圖1,拋物線)，=〃/+區(qū)7與x軸交于點4(-3,0)和點8(1,0),

與N軸交于點C.點。是拋物線的頂點.

圖Iffl2

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接力C,DC,直線4C交拋物線的對稱軸于點“，若點尸是直線4c上方拋物線上一

點,且S4PMe~2s4DMC，求點尸的坐標；

(3)若點N是拋物線對稱軸上位于點。上方的一動點，是否存在以點N,A,。為頂點的三角形是

等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點N的坐標：若不存在，請說明理由.

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///不固練習/

【鞏固練習1】如圖，拋物線y=&P+bx+4交x軸于力(-3,0),8(4,0)兩點，與y軸交于點C,連

接力C,8。.點。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為機.

(I)求此拋物線的表達式；

(2)過點P作尸必_Lx軸，適足為點M,交8c于點。.試探究點尸在運動過程中，是否存

在這樣的點。.使得以4.C,。為頂點的：角形是等腰二角形.若存在，請求出此時點。

的坐標，若不存在，請說明理由：

【鞏固練習2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線卜=-[/+6+。經(jīng)過點力(-5,0)和點8(1,0).

(1)求拋物線的解析式及頂點。的坐標；

(2)如圖，連接力。、BD,點M在線段力夕上(不與力、〃重合)，作NDMN=NDB4,MN交

線段力。于點N,是否存在這樣點“，使得△力MN為等腰三角形？若存在，求出力乂的長；

若不存在，請說明理由.

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【鞏固練習3】如圖，已知二次函數(shù))，=。/+云+。的圖像與丫軸相交于4_1,()),僅3,0)西點，與y

軸相交于點C(0,-3).

(I)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)若尸是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖像上任意一點，軸于點H,與線段3c交于點，

連接PC.當APCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點尸的坐標.

【鞏固練習4】(2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與探究：如佟I,在平面直角坐標系中，已知

直線V=2與x軸交于點4,與y軸交于點C,過心。兩點的拋物線卜=/+瓜+。("0)與x

軸的另一個交點為點8(-1，0),點尸是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點尸分別作x軸和y軸

的平行線，分別交直線力。于點￡，點E

(1)求拋物線的解析式：

(2)點。是x軸上的任意一點，若△4CO是以力C為腰的等腰三角形，請直接寫出點。的坐標.

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【鞏固練習5】(2024?四川雅安?中考真題)在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=a/+九+3的圖象與

x軸交于力(1,0),3(3,0)兩點,與)，軸交于點C.

國I)091備用圖

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)如圖①，若點Q是線段8c上的一個動點(不與點8,。重合)，過點P作y軸的平行線交拋物線

于點。，當線段尸。的長度最大時，求點。的坐標；

(3)如圖②，在(2)的條件下，過點0的直線與拋物線交于點。，且在歹軸上是

否存在點應使得AAOE為等腰三角形？若存在，直接寫出點￡?的坐標；若不存在，請說明理由.

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【題型3】直角三角形存在性問題

【例題1】通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決問題.

【模型呈現(xiàn)】如圖,在R/A4BC,ZACB=90°f將斜邊48繞點正順時針旋轉(zhuǎn)90。得到CD過點。

作。E_L4C于點E,可以推理得到△44C0△￡)力上，進而得到力C=OE,BC=AE.

我們把這個數(shù)學模型成為“K型”.

推理過程如下：

【模型遷移】二次函數(shù))，=。/+云+2的圖像交x軸于點力(-1,0),4(4,0)兩點，交歹軸于點C.動

點M從點/出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿力8方向運動，過點〃作MN_Lx軸交直線8。于

點N,交拋物線于點。，連接4C,設運動的時間為/秒.

(1)求二次函數(shù)》=a/+辰+2的表達式；

(2)在直線MN上存在一點P,當△尸8C是以N8PC為直侑的等腰直角三角形時，求此時點。的

坐標.

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【例題2］如圖，己知拋物線了=紈2+瓜+以。=0)的對稱軸為直線》=-1,且拋物線與x軸交于月、

8兩點，與y軸交于C點，其中力(1,0),C(0,3).

(1)若直線y=/〃x+〃經(jīng)過8、C兩點，求直線4C和拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸x=7上找一點用，使點M到點力的距離與到點。的距離之和最小，求出

點、M的坐標；

(3)設點P為拋物線的對稱軸x=-l上的一個動點，求使MPC為直角三角形的點P坐標.

【例題3】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ox2+2x+c與x軸交于4-1,0),"(3,0)兩點，

與y軸交于點C,點。是該拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式和直線力C的解析式；

(2)請在)，軸上找一點"，使ABDU的周長最小，求出點〃的坐標；

(3)試探究：在拋物線上是否存在點Q,使以點力，P,。為頂點，/C為直角邊的三角形是直

角三角形？若存在，請求出符合條件的點P的坐標：若不存在，請說明理由.

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/“鞏固練習/

【鞏固練習1】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=與x軸交于力、8兩點，點8

(3,0),經(jīng)過點力的直線力C與拋物線的另一交點為C(4,g),與y軸交點為。，點。是直線力。下

方的拋物線上的一個動點(不與點4、。重合).

(1)求該拋物線的解析式.

(2)點0在拋物線的對稱軸上運動，當AO。。是以。。為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫

出符合條件的點尸的坐標.

【鞏固練習2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+隊+c與x軸交于磯4,0),。(-2,0)兩

點.與y軸交于點40,-2).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點時，使得△」以〃是以48為一條直角邊的直角三角形：若存在,

請求出點歷的坐標，若不存在，請說明理由.

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【鞏固練習3】(2024?四川遂寧?中考真題)二次函數(shù)2=。*+極+4〃工0)的圖象與x軸分別交于點

4(-1,0),8(3,0),與)，軸交于點C(O,-3),P,。為拋物線