2025新教材數(shù)學(xué)高考第一輪復(fù)習(xí)

5.4解三角形

五年高考

考點1正弦定理、余弦定理

1.（2023全國乙文,4,5分，易）在△Z3C中，內(nèi)角44c的對邊分別是若acosB-bcosA=c,

且則B=（）

ABf

105

C.^D.W

105

2.（2021全國甲文,8,5分，易）在/\ABC中，已知8=120%40gM8=2,則BC=（）

A.lB.V2C.V5D.3

3.（2020課標(biāo)/771里,7,5分，易）在△[4。中,cos/C=4,8C=3,貝ljcosB=（）

A*11B.：1C.7?D.-

9323

4.（2020課標(biāo)in文』1,5分，易）在△48C中,cosC=|〃C=4,5C=3,貝hanB=（）

A.V5B.2V5

C.4V5D.8V5

5.（2019課標(biāo)I文,11,5分，易）△48。的內(nèi)角48。的對邊分別為a,b,c.已知as\nA-bsmB=4cs\n

C,cos/=+，則|=（）

A.6B.5

C.4D.3

6.（2021全國乙文[5,5分，易）記的內(nèi)角4QC的對邊分別為用此,面積為

75,3=60°,a2+c2=3ac,則/尸.

7.（2019課標(biāo)〃文,15,5分，易）△/3C的內(nèi)角43c的對邊分別為已知力sin力+QCOSB=0,

則B=.

8.（2023全國乙理,18,12分，中）在△/BC中，已知/54。=120。,/8=2,/。=1.

⑴求sinZ/15C;

⑵若D為BC上一點，且NB4Z>90。,求△/QC的面積.

9.（2021新高考1,19,12分，中）記△43C的內(nèi)角4民C的對邊分別為己知加=訛,點D在

邊AC上,8Z>sinNN8C=〃sinC.

（1）證明:3。=力；

⑵若力O=2OC,求cosZ：ABC.

考點2解三角形及其綜合應(yīng)用

1.（2023全國甲理,16,5分，口）在△43C中/BAC=6M<B=2,BC=G/BAC的角平分線交

BC于。，則AD=.

2.（2022全國甲，理16,文16,5分，中）已知中，點5在邊8c上,

NADB=1200/D=2,CD=2BD.當(dāng)空取得最小值時,BD=________.

AB

3.（2021浙江，14,6分，中）在LABC中，/8=60?！?=2,“是的中點,4W=2舊，則

AC=,cosZMAC=.

4.（2020全國Z,16,5分，中）如圖，在三楂錐P-ABC的平面展開圖

中間01,43=力2＞次間4_14。,/3_1_/。,/0￡=30。,則M5/尸。3=

5.（2023新課標(biāo)/,17,10分，中）已知在中,，+8=3C2sin（AC戶sinB.

(1)求sinA;

(2)設(shè)48=5,求48邊上的高.

6.（2023新課標(biāo)〃,17,10分，口）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。力,c,已知面積

為遮Q為BC的中點，且AD=1.

⑴若N4QC芍求tan8;

（2）若〃+/=8,求b,c.

7.（2022新高考n,18,12分，中）記△月8c的內(nèi)角A、B,C的對邊分別為"c,分另U以&仇c為邊

長的三個正三角形的面積依次為SSS.已知5i-52+53=Y，sin吟

⑴求的面積；

⑵若sinZsinC/,求b.

8.(2022新高考1,18,12分，中)記/\ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

cos/l_sin2S

1+sinzll+cos28'

⑴若C卷,求B;

(2)求聯(lián)的最小值.

9.(2021新高考II,18,12分，中)在△49C中，角A,B,C所對的邊分別為。也c,且滿足

b=a+\,c=a+2.

⑴若2sinC=3sin4求△力8c的面積；

(2)是否存在正整數(shù)a,使得△48C為鈍角三角形?若存在，求a；若不存在，說明理由.

三年模擬

綜合基礎(chǔ)練

1.(2023福建福州質(zhì)檢,5)已知△48。的外接圓半徑為1/哮則JCcosC+J^cosB=()

A.；B.lC.fD.V3

2.(2024屆河南TOP二十名校調(diào)研(三),5)在△/BC中0,6,c分別為角48,。所宓的邊，且

5=24,242+〃=/,貝ijsinB=()

.1V6710C屈

A-oB.——C.——D.——

4444

3.(2024屆北京海淀期中,8)在△48。中,sin8=sin2A,c=2a^\()

A.N4為直角B.N4為鈍角

C.NC為直角D./C為鈍角

4.(2024屆廣東六校第二次聯(lián)考,4)如圖,4、B兩點在河的同側(cè),且力、8兩點均不可到達(dá).

現(xiàn)需測4、8兩點間的距離，測量者在河對岸選定兩點C、D測得CQ*km,同時在C、D

兩點分別測得ZADB=ZCDB=30°,ZJCD=60°,CB=45°,則力、B兩點間的距離為

5.(2024屆河北師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)月考,8)海倫公式是利用三角形的三條邊的長〃也c

直接求三角形面積S的公式，表達(dá)式為Sfp(p-Q)(p-b)(p-c)(其中p=若，;它的

特點是形式漂亮，便于記憶.中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨立提出了“三斜求積術(shù)”,

但它與海倫公式完全等價，因此海倫公式又譯作海倫?秦九韶公式.現(xiàn)在有周長為10+2夕

的△48c滿足sin4：sin8：sinC=2：3：夕,則用以上給出的公式求得△/HC的面積為

()

A.8V7B.4V7C.6V3D.12

6.(2023北京房山一模,14)在/XABC中,sinJ=sin24,2〃二百力,貝ijA=________的值

C

為.

7.（2024屆廣東湛江調(diào)研,17）如圖，在△/也。中，點D在邊AC上，且.已知cos

4=2singsinAB=\T1.

⑴求力；

（2）若△8。。的面積為今求BC.

綜合拔高練

1.（2024屆四川綿陽中學(xué)第二次月考,10）在△ZBC中，內(nèi)角46,C的對邊分別為。力,c,已知

工+-=j則學(xué)（）

tan/ltanBtanCc2

A.lB.2

C.3D.4

2.（2024屆鄂南高中聯(lián)考期中,8）在△44C中,43=2力C,且△48C的面積為1,則8c的最小值

為（）

A.2B.遮

C.lD.V2

3.（2024屆遼寧省實驗中學(xué)期中,8）在銳角三角形月4c中〃、B、C的對邊分別為a、b、c,

且滿足〃=4（々+以則等的取值范圍為（）

A.（l,5）B.（V2+1,5）

C.（l,V3+2）D.（&+1,75+2）

4.（多選）（2024屆河北邢臺第一中學(xué)月考,9）在△48C中，內(nèi)角4民。所對的邊分別為a,b,c,

下列與△48C有關(guān)的結(jié)論，正確的是（）

A.若4=2,>=30。，則.=J：：y

sin/?+2sinc2sinP+sinc

B.若acosA=bcos優(yōu)則△/BC是等腰直角三角形

C.若A4BC是銳角三角形，則cos/l<sinB

D.若2OA+OB+3OC=^AOC^ABC分別表示△力。C,Z\/8C的面積，則

S^AOC:S^ABC=1:6

5.(2023河南鄭州二模,15)在△48C中，角4QC所對的邊分別是。也c,其中sinC=3sin

41=60。力=書.若B的角平分線BD交AC于點。，則BD=.

6.(2024屆湖南郴州一模,19)已知向量a=(sinx,l),b=(geosx,-2),函數(shù)/(x)=(a+〃)”.

⑴若i〃行求cos2%的值;

⑵已知為銳角三角形以也。為△48C的內(nèi)角A,B,C的對邊力=2,且44)三,求△48。

面積的取值范圍.

7.(2023江西模擬預(yù)測,18)在△48C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。也°,己知cos(^-C)-

cosJ+cos24=l+cos4cos(8+C).

⑴若B=C,求cos4的值；

(2)求審的值.

5.4解三角形

五年高考

考點1正弦定理、余弦定理

1.(2023全國乙文,4,5分，易)在△43C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若acosB-bcosA=c,

且則B=()

A.io-s

D

端10-T5

答案C

2.(2021全國甲文,8,5分，易)在△力8C中，已知8=120%4C=g〃8=2,則BC=()

A.lB.V2C.V5D.3

答案D

3.(2020課標(biāo)〃理,7,5分，易)在△48。中,cosC=3,則cosB=()

J

A.：11B.-1C.-2D.-

9323

答案A

4.(2020課標(biāo)HI文,11,5分，易)在△48C中,cosC=|〃C=4/C=3,則tanB=()

A.V5B.2V5

C.4V5D.8而

答案C

5.(2019課標(biāo)I文,11,5分,易心力3。的內(nèi)角48,。的對邊分別為“?0已知公由力-加畝4=4區(qū)11

C,cos4=—,則｝()

A.6B.5

C.4D.3

答案A

6.（2021全國乙文,15,5分，易）記4ABC的內(nèi)角A.B,C的對邊分別為々力用面積為

75,3=60。/2+/=3%貝ljb=.

答案2V2

7.（2019課標(biāo)〃文［5,5分，易）△ZBC的內(nèi)角48,。的對邊分別為a,Ac.已知bsin力+qcos3=0,

則B=.

答案》

8.（2023全國乙理,18,12分，中）在aZBC中，已知/84。=120。/8=2,4。=1.

⑴求sinN力8C;

⑵若D為BC上一點，且NB4>90。,求△4）C的面積.

解析⑴在△居（7中，由余弦定理，得5C2=22+12-2x2xlxcos120。=7,則BC=5（3分）

由正弦定理，得看二BC

sin/B/lC'

ACsinz.BAClxsinl200歷//八、

則sinN/8C=~萬一=H（6分）

BC

（2）在RtAABD中，由（1）知sinZABD=^-,RZABD為銳角，所以tanZABD=^-.

IT13

在RtAABD中則AD=AB^nZABD=2^=

/8=2,（9分）

在△/OC中,ND4C-30o〃CT,

；?/\ADC的面積S=^xx1xsin30°=（12分）

一題多解

（2）在△/BC中,48=2MC=LN胡C=120。，

x

:?Sy*2x1xsin120°=y,（9分）

又S"c。==24=1

S^ABD^ABAD24'

：.S^CD^S^ABC=^.（12分）

QJLU

9.（2021新高考1,19,12分，中）記△48。的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為Q,8C.已知〃=改,點D在

邊4c上,8OsinN48C=QsinC.

（1）證明:8。二力;

（2）若力。=2。"求cosAABC.

解析(1)證明:由題設(shè)得8D—sm乙ABC,

在△布中，由正弦定理知喘=占，

即二￡

sin￡ABCb'

代入.系中，得初哼又代的

:?BD=b.（4分）

(2)解法一:由AD=2DC得爭，。。＜

/1。2+482-8。2_薩+C2f2_

在△力3。中,cos4三

2ADAB2x沙

AC2+AB2-BC2b2+c2—a2

在△力中,COS4士

2AC-AB2bc

母222_2

b+ca?，化簡得3c2-11〃+6〃2=0,

RX-42bc

又b2=ac,（7分）

所以3c2-11。。+6。2=0,即（c-3a）（3c-2a）=0,

所以c=3a或c=1t7.（8分）

當(dāng)c=3a時力2=4C=3Q2,所以此時a+b<c,

故〃力《構(gòu)不成三角形;（10分）

當(dāng)C^a2

此時。力,c可以構(gòu)成三角形,（11分）

222222

a+c-ba+^a-ja7

故力所以在△/BC中,cosN/BC上（12分）

2ac2Ca?鏟212,

解法二:同解法一得到2a=3c或3a=c.（8分）

當(dāng)2a=3c時按=雙=|(:2,

由余弦定理的推論得cosN48c豆竽￡---

（10分）

2?乃12

當(dāng)3a=c時,〃=j,/="=1,

c2[2_￡^

由余弦定理的推論得8,4席卡=%舍).⑴分）

7

綜上,COS/"CF（12分）

考點2解三角形及其綜合應(yīng)用

1.（2023全國甲理,16,5分尸）在△4灰?中,NBAC=60°，B=2,BC=《/BAC的角平分線交

BC于。，則AD=.

答案2

3.（2022全國甲，理16,文16,5分，中）已知△45C中，點D在邊BC上，

ZADB=120°^4D=2,CD=2BD.當(dāng)喋取得最小值時.

AB

答案V3-1

3.（2021浙江，14,6分，中）在AABC中，/8=60。/8=2,〃是8c的中點/M=2則

AC=,cosZMAC=.

答案2舊雪

4.（2020全國7,16,5分，中）如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖

中/C=lM8=/Z>g/B_LHC/8JL42/C/E=30。,則cos/FCB=.

世））

，/

曲P）

答案一

5.（2023新課標(biāo)/,17,10分，中）已知在△力中,/+B=3C、2sin（4?C）=sinB.

⑴求sinA;

⑵設(shè)48=5,求力8邊上的高.

解析（1）,?7+4+。=兀4+8=3。,???。三,8丹

又,.,2sin（4-C）=sinB,

???2sin（4_；）=sin停―）,

HP2（jsinA-jcosH）=ycos4-（一y）sinA,

整理得sinJ=3cosA,

又sin24+cos24=l,彳￡（0,『）,.二sin4一飛。（5分）

⑵解法一:過C作CD_L48,垂足為。，如圖.

在△月中,由正弦定理得=壬，即々=黑,;.BC=3后（7分）

s\r\Z.ACBsm/lsiny3V10

410

由⑴知cos/一噂,

??D?/3n八夜.,V2.2V5

??sino—sin（-----AI=——cosA4——sinA4=——.（8分）

\4/22s

在RtABCD中,C2>8Csin8=3而x誓=6,

即AB邊上的高為6.（10分）

解法二:由⑴知C=^,sin/=^F，cos力V

則sinB=sin（——4）=[cosA+^sinA=苧.（6分）

\4/225

在△力BC中，由正弦定理得華=￡=芻，

sinCs\nBsin4

-'4=備=彌,；?AC=2屈，BC=3圾（8分）

~2~10

；?S△池cW"CNCsinC=1x2V10x3A/5x*15.（分）

乙乙9

設(shè)AB邊上的高為兒則;X5/?=15,???〃=6.（10分）

6.（2023新課標(biāo)〃,17,10分，中）記△48。的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為凡此,已知△48C面積

為娼,D為8C的中點，且AD=\.

⑴若N/DCq,求tanB;

?J

（2）若82+<?=8,求b,c.

解析由題意知S?B〈=原,BD=DC,

.cV3

??山Z）Ly.

（1）vDA-DC-S^LADC=*。4=l,4QOp*OCsin"苧,

:?DC=2、

???BD=2,易知/ADBW，（2分）

在4ADB中，由余弦定理可知^Bz=BD2+DA2-ZDADBcosZADB,即

A82=22+12?2X1x2x（-0=7,

（3分）

?_AB2+BD2-AD27+4-1SV7

..COSD=---------=-=—=——,

2ABBD2V7X214'

/.sinB=y/1—cos25=（4分）

..DsinHV3

..tanBco=sB~5.（5分）

（2）如圖所示，延長AD至瓦使連接BE,CE,

易得四邊形ABEC為平行四邊形，:?AB=CE/C=BE,由余弦定理得

BO=AC-2ABACeosZBAC工產(chǎn)=4C+CE^ACCEcosZJCE,兩式相加得

2

BCr+A^（AB^AC）^3（?+力加=2（/+。2）=t仇

又AE=2AD=2,：.Bg2,：.BC=26,（7分）

,：S.ADC=^AD-DC-sin^ADC=mD=1,DC=W,

sinZADC=l9/.ADI.BC,b=c,（9分）

又加+。2=8,.?.丘=2.（10分）

7.（2022新高考II,18,12分，中）記△NBC的內(nèi)角4SC的對邊分別為乃1，分別以a,b,c為邊

長的三個正三角形的面積依次為SSS.己知Si-52+53=v，sin

⑴求△45C的面積；

（2）若sinJsinC=^,求b.

解析（1）由題意得S4/2&q尻S3邛c-

$5+53=^（*?弭-。2）=^,即a2-b2+c2=2,

222

由-Q與f得

cosB2aca+c-b=2accosB,

故2QCCOS8=2,^ccosB=1,（3分）

又Vsin8=1,cos8=^或cosB=—竽（舍），

?3、泛?01.D13V21V2

??QC==,??S&4伙個QCSinB=-x—x-=—（6分）

422430

⑵由正弦定理高=熹=竟得b2

sin2BsinAsinC'

乂知ac=-^-,sinJsinC=y,（9分）

?P-2?_2__2

**s\n2B-4***sini-2?

?,?涪sinB=1x|=（12分）

乙乙《34

8.（2022新高考1,18,12分，中）記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

COST!_sin28

l+sin/ll+cos2fi'

⑴若。號,求B;

（2）求竽的最小值.

解析（I），??詈潦缶=與誓（采分點:出現(xiàn)二倍角公式給1分），（1分）

l+sin/ll+cos282cos"8

cos/1sinB

即nn----=——,

l+sim4cosB

cos74cos5-sin>4sin7?=sinR,

即cos（4+8）=sinB,又C=^,（3分）

/.sinB=cos（A+5）=-cosC=-cosg=

（4分）

5o

（2）由（1）知,sin5=cos（4+4）=cosCy

??飛in8>0恒成立,...（7匕（］,口），

*.*-cosC=sin（c—0,

C—=B或8+C-；兀（不合題意，舍去）,（5分）

???力言23,???力>0,B￡（0，；）,（6分）

.a^+b2__sin27l+sin2fi_cos22B+sin2S

_（2COS28-1）2+（1-COS2B）

（分）

cos?B8

令cos25=//eQ,l）,

?,?亨=（21）：+（17）=4t+|-5>4vL5,當(dāng)且僅當(dāng)4/即可時，取“=”（扣分點:不寫扣

1分）.（11分）

???4營的最小值為4岳5.（12分）

9.（2021新高考11,18,12分，中）在△力中，角48c所對的邊分別為。力c且滿足

b=a+1,c=a+2.

⑴若2sinC=3sin4,求△/18C的面積；

⑵是否存在正整數(shù)使得△ABC為鈍角三角形?若存在，求若不存在，說明理由.

解析（l）2sinC=3sin4=2。=3。,又,?Z=〃+2,

/.2(。+2)=3〃,/.67=4,h=a+\=5,c=〃+2=6,

???cos<上WsinAZ1一COS2/=

2bc2x5x64'4'

>'.S^ABC^bcsinA=“5X6Xm=文.(6分)

244

⑵由已知得

若△45C為鈍角三角形，則角C為鈍角，

n2iL2_r2

cosC=———<0^a2+b2<c2=^a2+(a+1)2<(a+2)2^a2-2a-3<0^-1<^<3,乂4>0,；?QW(0,3).

2ab

(9分)

同時還應(yīng)考慮構(gòu)成△/3C的條件，

即q+8>c=a+(a+l)>a+2=a>l.

綜上所述，當(dāng)?！辏?,3）時,△ABC為鈍角三角形.

.??存在正整數(shù)。=2,使得△襁C為鈍角三角形.(12分)

三年模擬

綜合基礎(chǔ)練

1.（2023福建福州質(zhì)檢,5）己知△48C的外接圓半徑為1〃哮則ZCcosCM及cos8=（）

A.7B.lC?D.V5

22

答案D

2.（2024屆河南TOP二十名校調(diào)研（三）,5）在△45C中/也c分別為角4石。所空的邊，且

6=2凡2〃2+/>2=/,則$吊B=（）

i口R/iop./is

AA-B.—Cr.—D.—

4444

答案C

3.（2024屆北京海淀期中,8）在△力BC中,sin展sin24c=2。,則（）

A.NB為直角B./8為鈍角

C.NC為直角D./C為鈍角

答案C

4.（2024屆廣東六校第二次聯(lián)考,4）如圖,4、8兩點在河的同側(cè)，且4、8兩點均不可到達(dá).

現(xiàn)需測4、8兩點間的距離，測量者在河對岸選定兩點C、。，測得CO4km,同時在C、D

兩點分別測得N/Q8=NCD5=3（）o,N4CD=60o,N4C8=45。,則/、8兩點間的距離為

)

A.苧/4km

B片kmD-Tkm

答案D

5.（2024屆河北師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)月考,8）海倫公式是利用三角形的三條邊的長〃也c

直接求三角形面積S的公式，表達(dá)式為S=Jp（p-a）（p-b）（p-c）（其中p="各，;它的

特點是形式漂亮，便于記憶.中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨立提出了“三斜求積術(shù)”,

但它與海倫公式完全等價，因此海倫公式又譯作海倫-秦九韶公式.現(xiàn)在有周K為10+2V7

的△4BC滿足sin4：sin8：sinC=2：3：夕，則用以上給出的公式求得△ABC的面積為

A.8夕B.4V7C.6V3D.12

答案C

6.（2023北京房山一模，14）在△46C'|',sin/l=sin2,4,2。=82貝ijA=_________；&的值

C

為.

答案*2

7.（2024屆廣東湛江調(diào)研,17）如圖，在△/&?中，點D在邊4c上，且已知cos

J=2sin^sin^AB^+C8=y/2.

⑴求H

（2）若△8C。的面積為最求BC.

ADC

解析（1）因為854=25m25皿任手蛆=25皿2$訪^^=25訪3（：0$?=5出/,可得tan

因為4￡（0,兀）,所以4三

（2）作8E_L/1C垂足為E,

在AABD中，由A=VB1BD知4ABD為等腰直角三角形，因為48=魚，所以

BD=&/D=2,BE=1,

由△8CQ的面積為:BE,CD=；,解得。=1,可得AC=AD^-CD=3,所以

BC=y]AB2+AC2-2AB-AC-cosA=V5.

綜合拔高練

1.（2024屆四川綿陽中學(xué)第二次月考,10）在△力BC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為。力,c,已知

」-+工=上則（）

tan/ltanBtanC,c2

A.1B.2

C.3D.4

答案C

2.（2024屆鄂南高中聯(lián)考期中,8）在△48。中上8=24。,且△力8C的面積為1,則BC的最小值

為（）

A.2B.V3

C.lD.V2

答案B

3.（2024屆遼寧省實驗中學(xué)期中,8）在銳角三角形48c中/、8、C的對邊分別為a、b、c,

且滿足加=〃（"力則呼的取