2025新教材數(shù)學(xué)高考第一輪復(fù)習(xí)

9.4拋物線

五年高考

考點(diǎn)1拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

1.（2020課標(biāo)I理,4,5分，易）已知A為拋物線C:產(chǎn)2Pxs>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)月到。的焦點(diǎn)的距離

為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則〃=（）

A.2B.3C.6D.9

2.（2021新高考11,3,5分,易）若拋物線產(chǎn)=2*偽>0）的焦點(diǎn)到直線尸什1的距離為71則p=

（）

A.lB.2C.2V2D.4

3.（2022全國乙理,5,5分，中）設(shè)/為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在。上，點(diǎn)8（3,0）,若|力用=田用,

則|力國=（）

A.2B.2V2C.3D.3V2

4.（2017課標(biāo)〃文,12,5分，中）過拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)￡且斜率為次的直線交。于點(diǎn)

在x軸的上方），/為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在/上且則”到直線NF的距離為（）

A.V5B.2V2C.2V3D.36

5.（2021全國乙文,20,12分，中）已知拋物線。產(chǎn)-2內(nèi)QA0）的焦點(diǎn)”到準(zhǔn)線的距離為2.

（1）求。的方程；

（2）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸在。上，點(diǎn)。滿足而=9行,求直線。。斜率的最大值.

考點(diǎn)2拋物線的幾何性質(zhì)

1.(2020課標(biāo)HI理,5,5分，中)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線。:y=2沖(/?0)交于D,E兩

點(diǎn)，若OO_LO民則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.Q,0)B,Q,0)C.(l,0)D.(2,0)

22

2.(2019課標(biāo)n,文9,理8,5分，中)若拋物線產(chǎn)2*仍>0)的焦點(diǎn)是橢岷~+匕=1的一個(gè)焦點(diǎn),

jpP

則p=()

A.2B.3C.4D.8

3.(2018課標(biāo)I理,8,5分，中)設(shè)拋物線C:產(chǎn)公的焦點(diǎn)為八過點(diǎn)(-2,0)且斜率為綱直線與。交

于“,N兩點(diǎn)，則麗?麗=()

A.5B.6C.7D.8

4.(多選)(2023新課標(biāo)H,10,5分，中)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線尸V5(x?l)過拋物線C鏟=2川3>0)

的焦點(diǎn)，且與C交于M,N兩點(diǎn)，/為C的準(zhǔn)線，則()

A./2-2

O

C.以MN為直徑的圓與/相'切

□.△OMN為等腰三角形

5.(多選)(2022新高考H,10,5分，中)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線。鏟=2川(*0)焦點(diǎn)F的直

線與C交于A,B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)"仍,0).若MF|=|/M，則()

A.直線力3的斜率為2遍

B.\OB\=\OF\

C\AB\>A\OF\

D.NO4W+NO8A/V180。

6.(多選)(2022新高考1,11,5分，中)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)彳(1,1)在拋物線C:x2=2pv(p>0)±,

過點(diǎn)8(0")的直線交。干P,0兩點(diǎn)，則()

A.C的準(zhǔn)線為產(chǎn)?1

B.直線與。相切

C.\OP\\OQ\>\OA^

D.|8Pl?|80|>|8川2

7.（2023全國乙理」3,5分，易）已知點(diǎn)彳（1,通）在拋物線Cy=2px上，則A到C的準(zhǔn)線的距離

為.

8.（2020新高考小3,5分，易）斜率為遮的直線過拋物線。爐=4x的焦點(diǎn)，且與。交于A,B兩

點(diǎn)，則|48|=.

9.（2021新高考/,14,5分沖）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線。:產(chǎn)=2外（戶0）的焦點(diǎn)為凡P為。上

一點(diǎn)、,PF與x軸垂直,0為人軸上一點(diǎn)，且PQ_LOQ若/0|=6,則C的準(zhǔn)線方程為.

10.（2022全國甲，文21,理20,12分，難）設(shè)拋物線。爐=2內(nèi)伽>0）的焦點(diǎn)為F點(diǎn)過F的

直線交C于M,N兩點(diǎn)當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí),|/叩=3.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為4,8,記直線MN^AB的傾斜角分別為a,R當(dāng)a/

取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.

11.（2023全國甲理,20,12分，難）已知直線x-2yH=0與拋物線。:產(chǎn)=2〃式戶0）交于A.B兩

點(diǎn),|48|=4行.

⑴求P；

（2）設(shè)尸為C的焦點(diǎn),MN為C上兩點(diǎn)，且麗?麗=0,求△MEV面積的最小值.

三年模擬

綜合基礎(chǔ)練

1.（2024屆海南海口中學(xué)檢測,5）已知拋物線。:歹=2〃沏＞0）的焦點(diǎn)為五,若直線x=4與。交

于Afi兩點(diǎn)，且|/即8,則|//|=（）

A.4B.5C.6D.7

2.（2024屆湖南長郡湘府中學(xué)開學(xué)檢測,7）已知拋物線y=18x的焦點(diǎn)為￡準(zhǔn)線為/,點(diǎn)夕為。

上一點(diǎn)，過P作/的垂線，垂足為4若AF的傾斜角為150。,則|尸網(wǎng)=（）

A.6B.5C.4D.3

3.（2023四川成都二模,4）已知點(diǎn)尸（0,4）是拋物線。:亡20。＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)。（2,3）,巨點(diǎn)%為

拋物線c上任意一點(diǎn)，則四『|“尸|的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

4.（2024屆重慶巴蜀中學(xué)適應(yīng)性月考（二）,7）已知點(diǎn)b為拋物線儼=2百工的焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直

線交拋物線C于A,B兩點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若而=3而，則△405的面積為（）

A.3B.2V3C.V3D.y

5.（2023湖北武漢四調(diào),6）設(shè)拋物線產(chǎn)=6x的焦點(diǎn)為七準(zhǔn)線為l,P是拋物線上位于第一象限

內(nèi)的一點(diǎn)，過P作/的垂線，垂足為。，若直線QF的傾斜角為120。,則|尸用=（）

A.3B.6C.9D.12

6.（多選）（2024屆廣東普寧二中第一次月考,10）設(shè)再）為拋物線。/=20。＞0）的焦

點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn),4為C上一點(diǎn)，且|48=9,則（）

A.p=8

B.F（0,4）

C.直線/尸的斜率為得

D.A4。/的面積為8V5

7.（多選）（2024屆云南昆明第一中學(xué)月考⑼已知拋物線C:產(chǎn)4x的焦點(diǎn)為￡準(zhǔn)線為，，點(diǎn)4日,

線段AF交拋物線C于點(diǎn)反過點(diǎn)B作I的垂線，垂足為H,若覆=3而，則（）

A.|而|=|B,\AF\=4

C.|方I=3\BH\D.\AF\=4\BH\

8.（2023山東濰坊一模）已知拋物線C經(jīng)過第二象限，且其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離大于4,請(qǐng)寫出

一個(gè)滿足條件的C的標(biāo)準(zhǔn)方程:.

9.（2023湖南益陽三模,13）已知拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)為E過點(diǎn)尸（-1,0）的直線/與。交于

不同的兩點(diǎn)若|NF|=2|戶F|,則也用=.

10.（2023甘肅隴南一模,14）設(shè)/為拋物線V=8x的焦點(diǎn),4,8。為該拋物線上不同的三點(diǎn)，

若月？+方+斤=赤,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|包|+|而|+\FC\=.

綜合拔高練

L（多選）（2024屆江蘇南京師大附中、灌南二中聯(lián)考』2）設(shè)拋物線。/=2川（p>0）的焦點(diǎn)為七

點(diǎn)”在C上,|MF|=5,若以Mb為直徑的圓過點(diǎn)（0,2）,則拋物線C的方程為（）

A.y=4xB.y2=8x

C./=16xDy=2r

2.（2024屆廣東南粵名校素養(yǎng)評(píng)價(jià),4）拋物線產(chǎn)=28。>0）的焦點(diǎn)為七點(diǎn)用在拋物線上，且

\MF\=3,FM的延長線交y軸于點(diǎn)N,若M為線段FN的中點(diǎn)，則p=（）

A.2B.2V2

C.4D.6

3.（2023福建廈門雙十中學(xué)模擬,6）已知拋物線。鏟=-8x的焦點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)"在。上，圓加的

半徑為1,過點(diǎn)尸的直線與圓〃相切于點(diǎn)N,則福?前的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

4.（2023山東青島二模,7）己知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/過拋物線。:產(chǎn)=2外（〃>0）的焦點(diǎn)F,與D

及其準(zhǔn)線依次交于4仇C三點(diǎn)（其中點(diǎn)B在4。之間），若|"|=4,|8C|=2|4凡則△83的面

積是（）

A.V3B.—C.2V3D.—

33

5.（2024屆浙江名校協(xié)作體返校聯(lián)考0拋物線V=4x的焦點(diǎn)為￡過點(diǎn)M（遍,0）的直線與拋

物線相交于4B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C若出n=3,則爵（）

A.-B.-C.-D.-

4567

6.（多選）（2023遼寧鞍山統(tǒng)考,12）已知拋物線C.y2=2px的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,過F的直線與

拋物線C交于小〃兩點(diǎn)，則下列說法正確的是()

A.若尸(1,0),則/:x=T

B.若刀(1,0),則弦AB最短長度為4

C.存在以48為直徑的圓與/相交

D.若直線44尸百*且4點(diǎn)在x軸的上方，則而=3而

7.(2024屆廣東深圳開學(xué)?？?15)過拋物線Cd=4x焦點(diǎn)/的直線/交拋物線C于A,B兩點(diǎn),

且而=3而，若M為AB的中點(diǎn)，則M到y(tǒng)軸的距離為.

8.(2024屆廣東仲元中學(xué)月考,15)已知拋物線C:產(chǎn)2Px3>0)的焦點(diǎn)為￡。為坐標(biāo)原點(diǎn),C

的準(zhǔn)線/與x軸相交于點(diǎn)為C上一點(diǎn)，直線AO與直線/相交于點(diǎn)E,若/BOE=

N8￡F,|4Q=6,貝ijC的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

9.(2023江西九江一模,14)已知點(diǎn)A,B分別是拋物線C:y2=-4x和圓E:X2+/-2X+4JH-4=0上的

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A到直線/:x=2的距離為4則|48|十"的最小值為.

10.(2024屆廣東四校第一次聯(lián)考,16)過。(〃?,?2)向拋物線N=4y引兩條切線PQ,PR,切點(diǎn)、分

別為R,。,又點(diǎn)4(0,4)在直線QR上的射影為，，則焦點(diǎn)廠與，連線的斜率的取值范圍

是.

11.(2023河北唐山二模)已知拋物線。:產(chǎn)=2*仍>0)的焦點(diǎn)為“為。上一點(diǎn),8為準(zhǔn)線/上

一點(diǎn)，前=2FA,\AB\=9.

(1)求。的方程；

(2)M,ME(xo,-2)是。上的三點(diǎn)，若kE#kE產(chǎn)1,求點(diǎn)、E到直線"N距離的最大值.

12.(2024屆山東齊魯名校第一次質(zhì)檢,21)已知拋物線。:/=2外。＞0)產(chǎn)為C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F

的直線/與C交于HJ兩點(diǎn)，且在〃，/兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)7,當(dāng)I與y軸垂直時(shí)町=4.

(1)求。的方程；

(2)證明:阿?|切1=/笄.

13.(2024屆湖北部分名校新起點(diǎn)聯(lián)考,22)直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)40,?

的距離比動(dòng)點(diǎn)P到定直線y=-3的距離小1,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程；

(2)點(diǎn)S］是曲線。上位于直線尸［的上方的點(diǎn)，過點(diǎn)S,T作曲線C的切線交于點(diǎn)。，若

FSA./7,證明,cosZSQT為定值.

9.4拋物線

五年高考

考點(diǎn)1拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

1.（2020課標(biāo)I理,4,5分，易）已知A為拋物線。叨=2〃加>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離

為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則X（）

A.2B.3C.6D.9

答案C

2.（2021新高考11,3,5分，易）若拋物線產(chǎn)2PMp>0）的焦點(diǎn)到直線尸+1的距離為伍則p=

（）

A.lB.2C.2V2D.4

答案B

3.（2022全國乙理,5,5分,中）設(shè)b為拋物線。:y=敘的焦點(diǎn),點(diǎn)/在。匕點(diǎn)8（3,0）,若|"1=[86,

則|48|=（）

A.2B.2V2C.3D.3V2

答案B

4.（2017課標(biāo)〃文』2,5分，中）過拋物線Cy=4x的焦點(diǎn)￡且斜率為百的直線交C于點(diǎn)M（M

在x軸的上方），/為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在/上且/N_L/,則M到直線NF的距離為（）

A.V5B.2V2C.2V3D.3V3

答案C

5.（2021全國乙文,20,12分，中）已知拋物線C鏟=2px（p>0）的焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線的距離為2.

（1）求。的方程；

（2）己知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)夕在。上，點(diǎn)。滿足而=9求直線O0斜率的最大值.

解析⑴.??拋物線產(chǎn):283>0)的焦點(diǎn)下到準(zhǔn)線的距離為2,???〃=2.?,?拋物線C的方程為

產(chǎn)4乂

⑵第一步:設(shè)點(diǎn)寫向量坐標(biāo)，利用向量相等坐標(biāo)相同得點(diǎn)。的坐標(biāo).

設(shè)點(diǎn)P(4%Q,4xo),0(xi加)，則而=(占-4//1-4xo),

VF(1,0),AQF=(1-XI,-J；I),VPQ=9而，

/一個(gè))‘整理得卜=j9+4/)，

3-4/=9(一%),(yi=^Q.

第二步:用參數(shù)xo表示如0,利用基本不等式求其最值.

工如犬=5^，

當(dāng)最大時(shí)內(nèi))>0,

441

x0

當(dāng)且僅當(dāng)4X0《時(shí)取此時(shí)所|,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(9,6),因此履0的最大值為最

考點(diǎn)2拋物線的幾何性質(zhì)

1.(2020課標(biāo)HI理,5,5分，中)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線。:y=2外(p>0)交于D,E兩

點(diǎn)，若OZ)_LO旦則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

A?。)B(?°C.(hO)D.(2,0)

答案B

22

2.(2019課標(biāo)n,文9,理8,5分，中)若拋物線y=2*Q0)的焦點(diǎn)是橢圓,+匕=1的一個(gè)焦點(diǎn),

4PP

則p=()

A.2B.3C.4D.8

答案D

3.(2018課標(biāo)I理,8,5分，中)設(shè)拋物線C:產(chǎn)4x的焦點(diǎn)為￡過點(diǎn)(-2,0)且斜率為|的直線與。交

于M,N兩點(diǎn)，則前?麗=()

A.5B.6C.7D.8

答案D

4.（多選）（2023新課標(biāo)11,10,5分，中）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線歹=-V5（x-l）過拋物線C：y=2px仍>0）

的焦點(diǎn)，且與C交于M,N兩點(diǎn)，/為C的準(zhǔn)線，則（）

A.p=2

O

C.以MN為直徑的圓與/相切

D.△。仞V為等腰三角形

答案AC

5.（多選）（2022新高考II,10,5分，中）己知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線。產(chǎn)2沖（〃>0）焦點(diǎn)F的直

線與C交于48兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M（p,0）.若|4F|=MM，則（）

A.直線48的斜率為2遍

B.\OB\=\OF]

C\AB\>^\OF\

D.NO4W+N。8M<180。

答案ACD

6.（多選）（2022新高考1,11,5分，中）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)4（1,1）在拋物線Cx2=20，Q>O）上,

過點(diǎn)3（0,-1）的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，則（）

AC的準(zhǔn)線為尸?1

B.直線48與C相切

C.\OP\\OQ\>\OAf

D.\BP\-\BQ\>\BA^

答案BCD

7.（2023全國乙理』3,5分，易）己知點(diǎn)4（1,花）在拋物線C.gpx上，則A到C的準(zhǔn)線的距離

為.

答案7

4

8.（2020新高考/,13,5分，易）斜率為百的直線過拋物線Cy=4x的焦點(diǎn)，且與。交于A、B兩

點(diǎn)，貝.

答案y

9.（2021新高考/,14,5分，中）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:產(chǎn)2*/0）的焦點(diǎn)為RP為C上

一點(diǎn)、,PF與x軸垂直,0為A軸上一點(diǎn)，且〃0_LOA若/。|=6,則C的準(zhǔn)線方程為.

答案尸怖

10.(2022全國甲，文21,理20,12分，難)設(shè)拋物線。:產(chǎn)=2內(nèi)仍>0)的焦點(diǎn)為凡點(diǎn),0),過F的

直線交C于MN兩點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí),|MQ=3.

(1)求。的方程；

(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為4/記直線MN/B的傾斜角分別為.當(dāng)夕/

取得最大值時(shí)，求直線力8的方程.

解析(1)當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí),|MF|=p售=3,，p=2,，C的方程為產(chǎn)=4工

(2)解法一:設(shè)A/(xiM),N(X2j2),，Cx3,y3),8(X4M),直線mV的方程為

x=my+1,廣、

由y2=4x得產(chǎn)-4〃曠4=0,

JI=16/M2+16>0恒成立，且丁必=-4.

由斜率公式可得依"上^=守=+，

勺一娥X1>1月+、2

44

同理左心

直線MD的方程為X~X；；2>4~2,代入產(chǎn)4丫中可得產(chǎn)當(dāng)了％8=0.

』2>0且叩3=-8,所以g=2%同理丁4=271,

所以抬尸3=}=等，

乃+，4yi+，22

又因?yàn)橹本€MN/B的傾斜角分別為

所以幻2小”號(hào)=詈，

若要使最大，則成￡(0E)

設(shè)kM^2W2k,k>。,則tang/尸器揣=白=吊志T當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)厚左，即

丹時(shí)，等號(hào)成立,

所以當(dāng)最大時(shí)，設(shè)直線為B的方程為凡

由”2一嚴(yán),+n'得y2-4、&4=0,

y"=4%

則y3y4=-4〃=4yly2=-16.

所以〃=4,所以直線AB的方程為x-V2y-4=0.

解法二:由題可知，直線MV的斜率存在.

設(shè)M(xi,y]),N(X2j2)/(X3j3),3(X404),直線MN:y=k(x-l\由['2得

iy=qx

f^x2-(2k2+4)x+k2=0,

所以X1X2=1,則"J，2=-4.

直線M。:廣含82),代入拋物線方程可得工m=4,同理42X4=4.

結(jié)合拋物線方程可得W3=~8,所以g=2)2同理可得.V4=2yi,

所以kA戶口=好*=產(chǎn)、=^w

X4-X34(-一-)2(X2-XI)2

口2XX)

下同解法一.

11.(2023全國甲理,20,12分，難)已知直線X-2>1=0與拋物線C鏟=2川3>0)交于A,B兩

點(diǎn),|"|=4g.

⑴求P；

⑵設(shè)F為C的焦點(diǎn),MN為C上兩點(diǎn)，且戲?前=0,求△MFN面積的最小值.

解析⑴設(shè)4(X101),8(X202),

由｛；2=2藍(lán)1一6消去X得尸4加2P=0,

???直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)48,???/=16p2-8p>0,

解得/葉或P<0(舍).

由根與系數(shù)的關(guān)系可知，

2

Ji+9yl-y2|=Vi+4-VCyi+y2)-4yiy2=

yl+y2=4p,yly2=2p9,網(wǎng)=

花?J16p2-8P=4V15.

解得p=2或p=*舍).

p=2.

⑵由⑴知，拋物線的焦點(diǎn)為5(1,0).

M

由題意知直線MN的斜率不可能為0,

???設(shè)MN的方程為乜Mg必),N(X4j4),

聯(lián)立仁2二?+"消去x得好-4加廣4片U,

iy—，無，

???/=16〃?2+16/>0,即/?2+/>0,

由根與系數(shù)的關(guān)系得為+)4=4小必川=-4。

■:FM?麗=0,；?(X3-1")?(X4-1M尸0,即(X3-1)(X4-1)+y3y4=(〃3+卜1)(〃吵4+2-1)+y3y4

=(〃/+1?3y4+〃??-1)什3+74)+(b1)2

=(m2+1)(-4t)+m(t-1),4w+(/-1)2=0,

即-4m2t-4t+4nrt-4m2+t2-2t+1=0,即4nr=t2-6t+\.

設(shè)F到MN的距離為"，則用手罵，

Vl+m2

又|A/M=V1+m2|y3-y4|=”+形.Jd+y4)2_4y3y4=V1+m2-V16m2+16t=

4V1+7n2-Vm24-1,

\MN\d=Ix4Vl+m2-y/m2+t-=2Vm2+t\t-1|=y/4m2+4t-|/-l|

=Vt2—2t+1|Z-11=(r-1)2.

,.?4〃?2=凡6什1對(duì),解得出3-2企或t>3+2>/2,

???當(dāng)且僅當(dāng)片3-2或時(shí),SWF”取得最小值12-8V2.

即△MFN面積的最小值為12-8^2.

三年模擬

綜合基礎(chǔ)練

1.(2024屆海南?？谥袑W(xué)檢測,5)已知拋物線C鏟=2〃珀》0)的焦點(diǎn)為F,若直線廣4與。交

于4B兩點(diǎn)，且|叫=8,則|叫=()

A.4B.5C.6D.7

答案B

2.(2024屆湖南長郡湘府中學(xué)開學(xué)檢測,7)已知拋物線，=18x的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,點(diǎn)P為C

上一點(diǎn)，過P作/的垂線，垂足為4若AF的傾斜角為150。,則|尸網(wǎng)=()

A.6B.5C.4D.3

答案A

3.(2023四川成都二模,4)已知點(diǎn)%0,4)是拋物線C:/=2〃y(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)尸(2,3),且點(diǎn)M為

拋物線C卜任意一點(diǎn)，則的最小值為()

A.5B.6C.7D.8

答案c

4.（2024屆重慶巴蜀中學(xué)適應(yīng)性月考（二）,7）已知點(diǎn)尸為拋物線產(chǎn)=2百x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直

線交拋物線C于48兩點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若而=3而，則的面積為（）

A.3B.2V3C.V3D.y

答案C

5.（2023湖北武漢四調(diào),6）設(shè)拋物線爐=6》的焦點(diǎn)為五,準(zhǔn)線為//是拋物線上位于第一象限

內(nèi)的一點(diǎn)，過P作/的垂線，垂足為。，若直線QF的傾斜角為120。,則|PQ=（）

A.3B.6C.9D.12

答案B

6.（多選）（2024屆廣東普寧二中第一次月考,10）設(shè)20,歷）為拋物線C:N=2Q3>0）的焦

點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn),4為C上一點(diǎn)，且|4F|=9,則（）

A.p=8

B.F（0,4）

C.直線AF的斜率為噂

D.△力。尸的面積為8遍

答案ABD

7.（多選）（2024屆云南昆明第一中學(xué)月考,9）己知拋物線?2=4工的焦點(diǎn)為￡準(zhǔn)線為/,點(diǎn)力日,

線段AF交拋物線C于點(diǎn)8,過點(diǎn)B作/的垂線，垂足為H,若懣=3而，則（）

A.|麗|=|B.\AF\=4

C.\AF\=3|麗|D.|^F|=4|麗|

答案BC

8.（2023山東濰坊一模）已知拋物線C經(jīng)過第二象限，且其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離大于4,請(qǐng)寫出

一個(gè)滿足條件的C的標(biāo)準(zhǔn)方程:.

答案/二16興答案不唯一）

9.（2023湖南益陽三模,13）已知拋物線Cy=4x的焦點(diǎn)為￡過點(diǎn)尸（?1,0）的直線/與。交于

不同的兩點(diǎn)若WF|=2|0F|,則尸|=.

答案g

10.（2023甘肅隴南一模,14）設(shè)/為拋物線產(chǎn)=8x的焦點(diǎn)4瓦。為該拋物線上不同的三點(diǎn)，

若同+FB+FC=OF.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|包|+|屈|+|FC|=.

答案14

綜合拔高練

1.（多選）（2024屆江蘇南京師大附中、灌南二中聯(lián)考』2）設(shè)拋物線。鏟=2/0>0）的焦點(diǎn)為F,

點(diǎn)用在。上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(diǎn)（0,2）,則拋物線C的方程為（）

A.y=4xB.）*=8x

C./=16xD./=2r

答案AC

2.（2024屆廣東南粵名校素養(yǎng)評(píng)價(jià),4）拋物線爐=2〃Mp>0）的焦點(diǎn)為尺點(diǎn)M在拋物線上，且

|岫=3萬例的延長線交j軸于點(diǎn)N,若M為線段FN的中點(diǎn)，則p=（）

A.2B.2V2

C4D6

答案C

3.（2023福建廈門雙十中學(xué)模擬,6）已知拋物線。鏟二-8x的焦點(diǎn)為七動(dòng)點(diǎn)M在C上，圓M的

半徑為1,過點(diǎn)產(chǎn)的直線與圓〃相切于點(diǎn)N,則麗?前的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

答案B

4.（2023山東青島二模,7）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/過拋物線=2px（p>0）的焦點(diǎn)F,與D

及其準(zhǔn)線依次交于三點(diǎn)（其中點(diǎn)B在4c之間），若|力川=4,[8。|=2|即則的面

積是（）

A.V3B.殍C.2V3D呼

答案B

5.（2024屆浙江名校協(xié)作休返校聯(lián)考,5）拋物線），2=4X的焦點(diǎn)為￡過點(diǎn)M（\⑥0）的直線與拋

物線相交于43兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C若|明=3,則翳（）

A3D4r5八6

A.[B,-C.-D.7

答案A

6.（多選）（2023遼寧鞍山統(tǒng)考,12）已知拋物線。:產(chǎn)=2后的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,過戶的直線與

拋物線。交干力、〃兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.若21,0）,則Z:x=-1

B.若尸(1,0),貝lj弦AB最短長度為4

C.存在以48為直徑的圓與/相交

D.若直線44:尸且力點(diǎn)在x軸的上方，則而=3而

答案BD

7.(2024屆廣東深圳開學(xué)?？糩5)過拋物線Cy2%焦點(diǎn)F的直線/交拋物線C于A,B兩點(diǎn),

且存=3而，若M為AB的中點(diǎn)，則M到y(tǒng)軸的距離為.

答案|

9.(2024屆廣東仲元中學(xué)月考,15)已知拋物線C:產(chǎn)2Px3>0)的焦點(diǎn)為FQ為坐標(biāo)原點(diǎn),C

的準(zhǔn)線/與x軸相交于點(diǎn)為C上一點(diǎn)，直線AO與直線/相交于點(diǎn)E,若/BOE=

N8￡F,|4Q=6,貝ijC的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案產(chǎn)8x

9.(2023江西九江一?！?)已知點(diǎn)人B分別是拋物線C:y2=-4x和圓￡?：/+產(chǎn)2戶4>4=0上的

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A到直線l:x=2的距離為4則|叫+d的最小值為.

答案2V2

10.(2024屆廣東四校第一次聯(lián)考,16)過尸(〃?,?2)向拋物線N=4y引兩條切線PQ,PR,切點(diǎn)、分

別為凡。，又點(diǎn)力(0,4)在直線QR上的射影為H,則焦點(diǎn)F與H連線的斜率的取值范圍

是.

答案(-oo,-V3]U[V3,+oo)

11.(2023河北唐山二模)已知拋物線Cy=2*S>0)的焦點(diǎn)為F<為C上.一點(diǎn)、,B為準(zhǔn)線/上

一點(diǎn)，而=2FA,\AB\=9.

(1)求C的方程；

⑵MME(xo,-2)是C上的三點(diǎn)，若比商壇『1,求點(diǎn)E到直線"N距離的最大值.

解析⑴因?yàn)辂?2兩,所以|叫今明=3,

由BE=2儲(chǔ)/產(chǎn)*丫耳可得以=.，

由拋物線的定義可知,|4￡=P號(hào)3,解得p=2.

則C的方程為/=4工

(2)因?yàn)镋(xo,-2)在拋物線。上，所以xo=l,

設(shè)直線MN的方程為x=W+〃,M(xi,yi),Mx2/2),

將尸夕卜〃代入V=4A■，得產(chǎn)?44-4〃=0,

則)什/=4。1/=-4〃，

生必一月+；=與上=—同理fev=-^-r,

MTy\iyi-2yz-2

T-1

kE成kF1-+—=4(%+%-16=1616.

y\-2yi~2yiy2-2(yi+y2)+4-4n-8t+4

整理得,〃=-6f+5,則直線MN的方程為x=ty-6t+5,

所以直線MN過定點(diǎn)7(5,6).

當(dāng)ETLMN時(shí)，點(diǎn)E到直線MN的距離最大，

且最大距離為|E7]=J(5-1)2+(6+2尸=4V5,

經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

12.(202