2025年上海中考數(shù)學(xué)二模試題分類匯編一一相似三角形、四邊

形、圓的證明（23題）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.（2025?上海奉賢?二模）如圖，已知平行四邊形ABC。中，點(diǎn)尸是對(duì)角線4。上一點(diǎn),

ZBFC=ZA,延長(zhǎng)C尸交邊4。于點(diǎn)￡

⑴求證：AB2=CFCE；

⑵當(dāng)=時(shí)，求證：四功形A8CO是菱形.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平

行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵：

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到A8=DC,證明△Dbs△石CO,得至lJC￡>2=cE-ar,

等量代換即可得出結(jié)論；

（2）平行線分線段成比例，得到g=縹，進(jìn)而得到斯=斯，推出相

ECDB

似三角形的性質(zhì)，推出NC￡>F=NCEE>,進(jìn)而得到NH>E=NCW,結(jié)合平行線的性質(zhì)，推

出/45￡>=/在見，進(jìn)而得到AB=AD,即可得證.

【詳解】（1）證明：:四邊形A8C。是平行四邊形，

AAB//CD,AB=CD,

：.ZA+ZADC=180°.

又???/8月。+/。向。=180°,ZA=ZBFC,

，ZADC=Z.DFC.

又?：NDCF=/ECD,

：?ADCFS^ECD.

.DCCF

''~EC~~CD'

：-CD2=CECF.

，AB2=CECF.

(2)???四邊形ABC。是平行四邊形,

???AD//BC,

.EFDF

ECDB

VEC=DB,

???EF=DF,

:.&ED=/FDE.

?：ADCFS正CD,

NCDF=NCED,

，NFDE=NCDF.

丁AB//CD,

/.ZABD=/CDB,

，ZABD=/FDE,

：-AB=AD.

???四邊形ABC。是平行四邊形，

???四邊形4以山是菱形.

2.(2025?上海寶山?二模)如圖，已知平行四邊形ABC。，E是8C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD=DE,

且=

?D

BCE

⑴求證：四邊形A8CO是菱形；

(2)如果CE=28C,求證：CDJ.DE.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析.

【分析】⑴根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證N1=N2,根據(jù)BZ)2=AZ>8E可得綜從而

Hl)BE

可證根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可證NI=N4,根據(jù)等角對(duì)等邊可證結(jié)論成立：

試卷第2頁，共29頁

(2)過點(diǎn)。作。尸J.鹿，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得A8=8C=CD=AO,設(shè)

AB=BC=CD=AD=a,可得：CE=2a、DE=6a,根據(jù)勾股定理的逆定理可證△￡>CE是

直角三角形且NCDE=90。，從而可證結(jié)論成立.

【詳解】(1)證明：如下圖所示，

?.?四邊形ABCD是平行四力形，

/.AD\\BC,

.?.N1=N2,

BD?=ADBE，

,ADBD

:.ABD^ABDE,

.\Z3=Z4,

BD=DE?

.?.N2=N3,

/.Z1=Z4,

:.AH=AD,

?.?四邊形ABC。是平行四力形，

二四邊形488是菱形；

(2)證明：如下圖所示，過點(diǎn)。作

???四邊形A5CD是菱形，

.?.AB=BC=CD=AD,

又：CE=2BC,BD=DE,

設(shè)A8=8C=C￡>=AO=a,

/.CE=2a,

BE=BC+CE=a+2a=3a,

則E尸=8尸=

22

31

:.CF=BF-BC=-a-a=-a,

22

/.DF=y/DC2-CF2=—a，

2

DE=>IDF2+EF2=Jl+3)=&，

\[2){2)

/.CD2+DE2=a2+(屈y=4",CE2=(2a)2=44,

CD2+DE2=CE2，

ZCDE=90°,

:.CDA.DE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理和勾股定理的逆定理、相似三角形的

判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)找邊、角之間的關(guān)系.

3.（2025?上海浦東新?二模）己知：如圖，在正方形A4c。中，點(diǎn)七、”分別在邊A3、CQ上，

且=對(duì)角線5。分別交EC、A尸于點(diǎn)M、N,聯(lián)結(jié)AM、CN.

（1）求證：四邊形AMCN是菱形；

NCPD

⑵過點(diǎn)C作交雙）的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,如果CA/2=MN.N8,求證：—,

NPPC

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）聯(lián)結(jié)AC,根據(jù)正方形的性質(zhì)先證△8EC^.OE4（HL）,再證四邊形AEC尸是

平行四邊形，進(jìn)而可證明△C3Mg.A/W（ASA）,得CM=AN,四邊形AMCN是平行四邊

形，結(jié)合AC18?？勺C得結(jié)論：

試卷第4頁，共29頁

(2)根據(jù)正方形及菱形的性質(zhì)先證△CN*^CM8,得NDCN=NBCM,由CM,=MNNB，

廠r\

可證得△CNMS/\8NC,得ZNCM=ZNBC=45。,再證△NC*z\NAC,W--=——，

PNPC

/DCN=/P,再證NBCM=/DCN=/DCP=/P,得CD=DP,即可證得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：聯(lián)結(jié)AC,

???四邊形A4CQ是止方形，

AAB//CD,AD//BC,AB=CD=BC=AD,AC±RD,

'：AF=CE,

A△BEC^ADM(HL),

:.BE=FD,&CM=/DAN,

：.AE=CF,

???四邊形AECF是平行四邊形，

/.AF//CE,

AD//BC,

/.AADB=/CBD,

???aCBM%ADN(ASA),

???CM=AN,

:.四邊形AMCN是平行四邊形

又—BD,即AC_L,WV,

，平行四邊形AMCN是菱形；

(2)證明：???四邊形ABC。是正方形，B。是對(duì)角線

J4CDB=NCBD=45°,/BCD=9()°,

由(1)得四邊形AMCN是菱形，

:.CM=CN,則NCNM=NCMN,

4CND=ZCMB,

:?ACND^CMB,

，/DCN=/BCM,

4DCN=/BCM,

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，相似三角

形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

4.（2025?上海嘉定?二模）如圖，平行四邊形中，已知AD=24A,M是邊A。的中點(diǎn),

試卷第6頁，共29頁

連接MC.CE1AB,垂足E在邊A8上，連接EM并延長(zhǎng)，交CO延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

(I)求證：NEMC=2NDMC；

(2)求證：CM2=ABCF.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，準(zhǔn)確識(shí)圖，靈活

運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)誕.

(1)證明/尸=/例6戶，/DCM=4DMC,由/成(=//+/加。/=2//即可得到結(jié)論；

JTX>x

(2)證明VQWs^cM/,則二7=k，得到。仞2=。)。/，即可證明結(jié)論.

CMCF

【詳解】(1)證明：???四邊形48C。是平行四邊形，

AABHCD,AB=CD,

VABHCD,

,AMEM

YM是邊相>的中點(diǎn)，

???AM=DM

/.EM=MF

*：CEJ.AB,

???NCEB=90°,

,/ABHCD,

???ZECD=NCEB=90c

在中，???M是斜邊所的中點(diǎn)，

???MC=-EF=MFf

2

/.ZF=ZA/CF

VAD=2AB,AB=CD,"是邊AO的中點(diǎn)，

???DM=DC,

，4DCM=4DMC,

V/EMC=ZF+/MCF=2ZF,

/EMC=2/DMC；

(2),：4DCM=4DMC,ZF=ZMCF,

/.ZF=ZDMC,

又：NDCM=ZMCF,

/.NCDMSACMF,

.CDCM

^CM2=CDCF,

*：AB=CD,

：-CM~=ABCF.

5.(2025?上海閔行?二模)已知，如圖：在平行四邊形AB8中，對(duì)角線AC,/。交十點(diǎn)。,

點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接4E,交BD于點(diǎn)、F,交CD于點(diǎn)、G.

⑴求證：AF”=FGFE、

(2)連接CF,如果ND4E=NH。，求證：四邊形A3CQ是菱形.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，

菱形的判定.本題的綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是證明三帚形相似.

(1)證明AAFBSAGFD,AAF￡A0△￡/<￡?,得至U與2=—~,進(jìn)而得到,

BFAFEFBFEFAF

即可得證：

(2)證明△GFCs^c尸E,推出A/=b,進(jìn)而得到BD_LAC,即可得證.

【詳解】(1)證明：???平行四邊形A88中，

AAB//CD,AD//BC,

試卷第8頁，共29頁

:.AAFBSQFD,MF84EFB,

.FDFGAFFD

??而一俞’~EF~~BF'

.AF-FG

?,斤-7F'

,AF2=FGFE;

，ZE=ZDAE,

,//DAE=/FCD,

???ZE=ZFCD,

NGFC=NCFE,

/.自GFCs叢CFE,

.CFFG

??----=-----,

EFCF

:.CF?=FGFE,

vAF2=FGFE

:.AF=CF,

???平行四邊形ABC。中，對(duì)角線AC、B。交于。，

，AO=OC,

：.OF±AC,即：BD1.4C,

???平行四邊形A3c。是菱形.

6.（2025?上海松江?二模）己知：如圖，四邊形288是菱形,產(chǎn)是對(duì)角線3。上一點(diǎn)，連

結(jié)”、CP并延長(zhǎng)，分別與邊CO、AO交于點(diǎn)￡、F.

BC

(I)求證：AE=CFx

(2)如果NAPF=2/ABD,求證：BPBD=2AB，.

【答案】(1)證明詳見解析

(2)證明詳見解析

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì),

熟練掌握以上基本性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

(1)由菱形的性質(zhì)可知4D=C。，80垂直平分AC,繼而可知/ACQ=NG4。，PA=PC,

求得NR4C=NPC4,進(jìn)而判定“CE經(jīng)△(*尸(ASA),得出結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)和已知條件，根據(jù)角的和差計(jì)算易得/的=/如=903進(jìn)而可判定

△AESAPW,再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：(I)?.?四邊形A8CD是菱形，

AD=CD,BD垂直平分AC,

ZACD=ZCAD,

,：點(diǎn)〃在8。上，

:.PA=PC,

:,ZPAC=ZPCA,

在AACE和AC4廠中，

AACE=ZCAF

AC=CA,

z：EAC=ZFCA

.-.△AC￡^AG4F(ASA),

.t.AE=CF.

:.ZABD=ZCBDt

:.ZABC=2ZABD,

試卷第10頁，共29頁

ZAPF=2ZABD,

:.ZAPF=ZABC,

ZABC+NAPC=ZAPF+ZAPC=18(F,

/.NBAP+NBCP=360°-(ZABC+ZAPC)=180°,

-ZBAC=ZBCA,ZPAC=ZPCA,

：.乙BAP=Z1BAC+zlPAC=ZBCA+zLPCA=zlBCP,

.-.2ZB4P=180°,

.?"L4=ZaAP=90。，

?;ZABL=/PBA,

ZSABLsNBA,

.ABLB

"而一茄’

,A。-BD

??絲=2_，

BPAB

:.BPBD=2ABi.

7.(2025?上海靜安?二模)已知，四邊形A8C。內(nèi)接于。。，AC=BD.

(I)求證：AD//BC,

(2)小明說：四邊形ABCO一定是等腰梯形，你認(rèn)為他的說法正確嗎？為什么？

(3)如圖所示，己知A8=H),AC=BC=\3,求。。的半徑.

【答案】(1)見解析

(2)小明的說法不正確，理由見解析

⑶翳

【分析】本題主要考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周免定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、

矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得/BAC=/BDC、ZABC=NBCD,進(jìn)而證明

△A3gADC8（AAS）可得4BCA=ZCBD,再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得

NCAD=NCBD,由等量代換可得NC4O=N8。，最后根據(jù)平行線的判定定理即可證明結(jié)

論；

（2）通過證明四邊形A8C。是矩形即可證明結(jié)論：

（3）如圖：連接CO并延長(zhǎng)交48于點(diǎn)E,連接OA.由等腰三角形三線合一的形狀可得

4E=!A8=5,利用勾股定理可得CE=12,設(shè)該圓的半徑為r,則。4=OC=r,OE=12-乙

最后根據(jù)勾股定理列方程求解即可.

【詳解】（1）解：?:BC=BC,AC=BD,

:?/BAC=NBDC,ZABC=/BCD,

*/BC=BC,

J△ABg.DCB（AAS）,

：?NBCA=NCBD,

CD=CD,

，NCAD=ZCBD,

,ZC4￡>=ZBC4,

???AD//BC；

（2）解：小明的說法不正確，理由如F：

???△AB8ADCB,

:.AB=CD,

當(dāng)AB〃C。時(shí)\四邊形ABC。是平行四邊形，

：.ZBAD=ZBCAf

???四邊形48CD內(nèi)接于

???^BAD+NSC4=180",即ZBC4=90c,

???四邊形ABC。是矩形，卻小明的說法不正確.

（3）解：如圖：連接CO并延長(zhǎng)交48丁點(diǎn)E,連接04.

試卷第12頁，共29頁

2

?**CE=SJAC2-AE2=12?

設(shè)該圓的半徑為r,則OA=OC=，,,OE=12

OA2=AE2+OE2,

“=52+(12-)2,解得：r~.

8.(2025?上海崇明?二模)如圖，在等腰梯形A8C。中，AD//BC,3C=2AO,E、尸分別

是A8、8。邊的中點(diǎn)，8D與E/相交于點(diǎn)G.

⑴求證：BG=GF；

(2)連接AG、AF,當(dāng)AG=G尸時(shí)，求證：四邊形A"7)是菱形.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)連接AC,如圖所示，由等腰梯形的性質(zhì)得到A8=CDNABC=NDCB,進(jìn)

而由全等三角形的判定定理得到△A4(*ZJX/(SAS),進(jìn)而得至l]NAC8=NOBC,再由三角

形中位線的判定與性質(zhì)得到H8=NAC3,等最代換得到/EF8=N7)8C,再由等角對(duì)等

邊即可得證；

(2)由題意，等量代換得到AG=8G,由中垂線的判定得到EG_L八8,從而由斯〃人C得

到/班。=/8所=90°,再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，結(jié)合題中條件確定

CF=AD,從而由平行四邊形的判定得到四邊形AFC。是平行四邊形，進(jìn)而得證四邊形

AFCD是菱形.

【詳解】(1)證明：連接AC,如圖所示：

又「BC=BC,

.△A8cg△DC8(SAS).

ZACB=/DBC.

?;E、產(chǎn)是A8、BC中點(diǎn),

:.EF//AC,

NEFB=NACB,

:.NEFB=NDBC,

:.BG=GF；

(2)證明：連接AC,如圖所示:

AG=BG,

又是AB中點(diǎn)，

:.EG±AB,

:區(qū)產(chǎn)是AB、BC中點(diǎn),

:.EF//AC,

zTBAC=ZBEF=90n,

?.?尸是BC邊中點(diǎn),

..AF=BF=CF=-BC,

2

VBC=2CF,BC=2AD,

:.CF=AD,

AD\\BC,

試卷第14頁，共29頁

四邊形AFCQ是平行四力形，

;AF=FC,

???四邊形ART。是菱形.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合，涉及等腰梯形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位

線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、中垂線的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線

等于斜邊的一半、平行四邊形的判定、菱形的判定等知識(shí).熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)與判定是

解決問題的關(guān)鍵.

9.（2025?上海青浦?二模）已知：如圖，在梯形人4C。中，AD〃BC,點(diǎn)E是一點(diǎn)、,且

OABE=OECE.

⑴求證：四邊形人EC。是平行四邊形;

(2)如果求證：OBCD=BEDE.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，平行的判定與性

質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

（1）通過AO〃BC,證明得到絲二"，結(jié)合OA,BE=OECE,即

OEOB

絲=殘，推出空=唾，從而得到照=器,結(jié)合NOBE=NDBC,推出,

OEBEOiiBEOBBE

那么得到OE||C。，即AE〃CO,最后結(jié)合AO〃8c從而得證;

⑵先證明乃…人。凡得到矍嗡，再證明皿八旬。，得到患第那

OR

么啟靛,由四邊形AE8是平行四邊形.可知38.從而有才族，最后得證?

【詳解】（1）證明：:AD//BC,

:.NADO=4EBO,/DAO=4BEO,

.△ADO^dEBO,

OAOD

：.----=-----,

OEOB

?；OABE=OECE，

,OACE

"~OE~~BE'

.ODCE

?OD+OB—CE+BE

OB13^~

,BDBC

~OB=~BE

又NOBE=/DBC

.△OBEs4DBC

/.NBOE=NBDC

/.OE\\CD,即AE〃CO.

???AD//BC,

.??四邊形AECD是平行四⑵形.

(2)證明：:ZBDE=MDAE，NOED=/DEA,

??△DOEs.ADE.

,DEOP

'~AE~~AD'

???AD//BC,

:.ZADO=NEBO,4DAO=NBEO,

.△ADO^AEBO,

.OPOB

"~AD~~BE'

.DEOB

'~AE~~BE'

?.?四邊形AECO是平行四邊形.

;AE=CD.

.DEOB

,~CD~~BE'

即OBCD=BEDE.

10.(2025?上海長(zhǎng)寧?二模)如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E在對(duì)角線4c上，AE<EC,BE=DE.

試卷第16頁，共29頁

AD

E

BC

(1)求證：四邊形ABC。是正方形；

(2)點(diǎn)尸在對(duì)角線AC上，且NA￡>F=NBEC,求證：BEDF=EFAB.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)如圖，連接8。交AC于點(diǎn)。，根據(jù)矩形的性質(zhì)得80=DO,根據(jù)的=上,

推出AC垂直平分AO,繼而得到人/?="),即可得訐：

(2)如圖，連接8尸，根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AT>,ZBAF=NDAF,證明

/、RFFF

△BAF^ADAF(SAS)^ZAFB=ZAFD,證明一所得而二而，即可得證.

【詳解】(I)證明：如圖，連接8。交AC于點(diǎn)。，

???四邊形A8CZ)是矩形，

???BO=DO,

?:BE=DE,

JAC垂直平分30,

***AB=AD,

???四邊形ABC。是正方形；

(2)證明：如圖，連接斯,

由(1)矢U:四邊形A6CO是正方形，

，AB=AD,ZBAF=/DAF,

在ABAF和AZMF中，

AB=AD

?/BAF=NDAF,

AF=AF

???△“/'尸/尸(SAS),

ZAFB=ZAFD,即NEFB=NDB4,

?:ZADF=NBEC,即N5￡F=ZAO/，

:?ABEFS^ADF，

.BEEF

??=,

ADDF

.BEEF

''~AB~~DFf

，BEDF=EFAB.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，全等三角

形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì).掌握正方形的判定及相似三角形的判定和性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

11.(2025?上海徐匯?二模)如圖，是正方形4BC。的對(duì)角線，點(diǎn)E、尸分別在邊A。、AB

上，EF〃BD,延長(zhǎng)C6到G,且BG=BC,連接G/、CE.

(2)延長(zhǎng)G尸交CE于點(diǎn)，，連接8”，求證：2BH2=GHGF.

試卷第18頁，共29頁

【答案】(I)證明見解析

(2)證明見解析

【分析1(1)先由正方形的性質(zhì)結(jié)合平行線分線段成比例得到=然后證明

△FBG'EDC(SAS)即可；

(2)由△稗G空△EQC,得到N1=N2,證明NG〃C=90。，由直角三角形斜邊上中線的

性質(zhì)得到BH=BG=3GC,證明△G8/S/\G"C,則等=蕓，那么等=妥，再交

2GHGCGH2BH

叉相乘即可.

【詳解】(1)證明：???四邊形A8C。是正方形，

AB=AD=BC=CD,4BC=ADC=/BCD=90°,

「EF〃BD,

.BFDE

??=f

BAAD

JBF=DE,

ZABC=90°,

NFBG=180°-AABC=90。，

NFBG=NEDC,

?；BG=BC,BC=CD,

/.BG=CD,

：.AFBG^AEDC(SAS),

/.GF=CE；

(2)證明：如圖:

,/ZBCD=90°

???Nl+N3=90°,

:.N2+N3=90。，

/.ZGHC=90°,

?JBG=BC,

ABH=BG=-GC

2t

???"BG=90°,

/."BG=乙CHG=90°

VZ2=Z2,

，AGBF^AGHC,

.GBGF

??---=---，

GHGC

.BHGF

/.2HH2=GHGF.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，找出相似三角形是解題的關(guān)鍵.

12.(2025?上海虹口?二模)如圖9,在梯形/1AC。中，AD//BC,連接8DN8QC=90。，

點(diǎn)石在BC上，連接。月，使得N￡DC=NECQ,點(diǎn)/在邊人4上，連接C/7,分別交A。、ED

于點(diǎn)G、H,且FH=CH,連接力廠.

(1)求證：四邊形A8E。為菱形：

(2)如果NBDE=NDFC,求證：4EHBE=BGBD.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了菱形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線的性質(zhì)與判定,

等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵：

(1)根據(jù)題意得出N1=N3,N2=NE8進(jìn)而得出3E=CE,根據(jù)中位線的性質(zhì)可得出

EH//BF,結(jié)合已知可得四邊形A8E。是平行四邊形，根據(jù)即可得證：

試卷第20頁，共29頁

(2)證明△FG*/GC.得出一4=—7進(jìn)而證明△FG8SZJ)GC得出N5=N6DC,證明

BGGC

Z6=Z3,即可證明△BFGS&BDC得出班*?BC=BG?或＞,進(jìn)而根據(jù)―/=2EH,BC=2BE,

即可得證.

【詳解】（I）證明：如圖,

???/BDC=90。，BPZ1+Z2=9(F

AZ3+ZECD=90°

,:NEDC=/ECD,BPZ2=ZECD

AZ1=Z3

ABE=DE

又「Z2=ZECD

：.DE=CE

:?BE=CE,即七是BC的中點(diǎn)，

又,/FH=CH,

???〃是C尸的中點(diǎn),

JEH//BF

乂?：AD〃BC

???四邊形A4E。是平行四邊形，

■:BE=DE

???四邊形為菱形；

(2)證明：?:NBDE=/DFC,即N4=N1

又N1=N3

/.Z4=Z3

VNFGD=NBGC

:?AFGD^ABGC

.FGDB

^13G~GC

XV4FGB=4DGC

???^FGB^DGC

，N5=NBDC

'：AB//DE

???Z1=Z6

又N1=N3

Z6=Z3

??.△BFGSABDC

.BFBG

??茄一正

:?BFBC=BGBD

又,/EH是△3FC的中位線，

???FH=2EH

又BC=2BE

JBFBC=4EHBE=BGBD即4EHBE=BGBD

13.（2025?上海金山?二模）如圖，已知在等腰梯形A8CO中，AD//BC,AB=CD,AD<BC,

聯(lián)結(jié)AC、BD交于點(diǎn)F,E為BF上一點(diǎn)、,ZAED=ZABC.

⑴求證：AB2=BEBD\

Q）若BE=DF,求證：AB=AD.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似的判定和性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

ARRF

（1）先證明440=ZA￡6,得到△BAMAJJDA；由相似三角形性質(zhì)可得=一萬，進(jìn)而

BDAB

得出結(jié)論.

試卷第22頁，共29頁

(2)先證明△QCFSADBC,得到NQCF=/OBC；再證明△八或)紹QC4,得到

ZABD=ZDCA,等量代換即可.

【詳解】(1)證明：???AO||8C,

/.ZA8C+N8AO=180。

VZAED+ZAEB=m)°,ZAED=ZABC,

:.^BAD=ZAEB

乂?.?NABE=NABD,

:.Z\BAES4BDA,

ABBE

:.AB2=BEBD

(2)YABfEBD，BE=DF,AB=CD,

.\CD-=DFBD,

,CDBD

~DF~CD

?;NCDF=NCDB,

:.△DCFsWBC,

:.^DCF=ZDBC.

?.?在等腰梯形A4c。中，AD//BC,AB二CD,

:.AC=BD

又QAD=QA,

..△4B￡>^A￡)C4(SSS),

:.ZABD=ZDCA,

ZDBC=ZABD

???AD\\BC,

NDBC=ZADB,

.\ZABD=ZADB,

：.AB=AD

14.(2025?上海普陀?二?！骋阎喝鐖D，平行四邊形ABC。的對(duì)角線AC和B。相交于點(diǎn)。,

OE_L8C交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)石，BOBD=BCBE.

⑴求證：四邊形AAC。為菱形;

(2)連結(jié)AE交。。于點(diǎn)尸，如果AEJ.CO,求證：三=經(jīng)

DEBO

【答案】(1)見詳解

(2)見詳解

【分析】(1)先證△BOCS/XBEO,由OE_L8C,彳導(dǎo)NBOC=/DEB=90°,即可解答.

(2)由四邊形人8CO為菱形，得NC在二90。，由AO/CE,得三==①，要二唾②，

CEADCEAD

Bo

由①X②得，DF=CE,再證"EZ汪和△AOCSAVC,得到二；二-.

COCF

本題考查了平仃四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形

的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）,:BOBD=BCBE,

?BOBC

?詬一而NOBC=/EBD,

A△BOCsgED,

*/DEIBC,

???/DEB=90。,

:,NBOC=ADEB=90。,

???四邊形ABC。為平行四邊形,

???四邊形ABC力為菱形.

(2)如圖：

???四邊形48C。為菱形，

/.BC=CD=AD,ZBCO=ZOCD,

*/AE1CD,

試卷第24頁，共29頁

ZCFE=90°,

AD//CE,

.CFFECE

FD~~AF~~AD'

.CFFD,、

..—=—①

CEAD

4FCE=ZDCE,NCFE=NDEC,

△CFEs曲EO,

CF=CECF=C￡

CECDCEAD

由①x②得，DF=CE,

VZAFD=ZDEC=90°,AD=CD,

：.^CED^^DFA,

JDE=AF,

'：N3OC=ZA/-C=90°,

：?ABOCSAAFC,

.BOCO

''~AF~~CF'

.BOAFCFOC

??------=-------HnJn-------=-------.

COCFDEBO

15.（2025?上海黃浦?二模）如圖，已知四邊形中，/U）=6,NR4C=9O。，點(diǎn)七是四

邊形ABCD外一點(diǎn),AE=CE,連接EO并延長(zhǎng)分別交人C、3C于點(diǎn)加、N.

(2)BC2=2ABNE,求證：ZACB=/NEC.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)先證明OE垂直平分AC,得到AN=CN,再根據(jù)等腰三角形的判定證明

AB=AN，即可得出結(jié)論；

(2)先