第一章勾股定理(壓軸專練)(九大題型)

題型1:折疊問題

1.如圖，在中，ZC=90°,48=10,8。=8.點(diǎn)尸是4c上的點(diǎn)，且3=2"'，點(diǎn)。和點(diǎn)E分

別是8c邊和力〃邊上的兩點(diǎn)，連接OE.將力。石沿QE折疊，使得點(diǎn)8恰好落在4c上的點(diǎn)尸處，BF與DE

交于點(diǎn)〃，則的長為.

2.如圖，M.N分別為銳角/幺08動04.08卜的點(diǎn),把24。8沿MN折疊,點(diǎn)。落在N4O8所在平

面內(nèi)的點(diǎn)C處.

⑴如圖1,點(diǎn)。在/408的內(nèi)部，若NCV"=20。，NCNB=5V,求/408的度數(shù).

(2)如圖2,若40B=45。,ON=6,折疊后點(diǎn)C在直線08上方，CM與OB交于點(diǎn)、E,且MN=ME,

求折痕MN的長.

(3)如圖3,若折疊后，直線A/C_L08,垂足為點(diǎn)￡,且Q“=5,ME=3,求此時ON的長.

3.如圖1,在ZvlSC,AB=AC=10,BC-\2.

⑴求8C邊上的高線長.

⑵點(diǎn)E是8c邊上的動點(diǎn)，點(diǎn)。在邊力8上，且力。=4,連結(jié)。E.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是8c中點(diǎn)時，求△BOE的面積.

②如圖3,沿將△8。￡折疊得到△/：￡)￡,當(dāng)。少與△/4C其中一邊垂直時，求的長.

4.如圖①，在長方形力8C。中，已知48=13,AD=5,動點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段

。。向終點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動時間為/秒，連接/P,把△力。P沿著AP翻折得到△4EP.(注：長方形的對邊平

行且相等，四個角都是直角)

備用圖1備用圖2

(1)如圖②，射線尸石恰好經(jīng)過點(diǎn)8,求出此時，的值；

(2)當(dāng)射線PE與邊力8交于點(diǎn)尸時，是否存在這樣的/的值，使得FE=FB?若存在，請求出所有符合題意的

/的值；若不存在，請說明理由：

(3)在動點(diǎn)尸從點(diǎn)。到點(diǎn)C的整個運(yùn)動過程中，若點(diǎn)E到直線48的距離等于3,則此時片.

題型2:勾股定理與全等三角形

5.如圖，過邊長為6的等邊△48C的頂點(diǎn)力作直線/〃8C,點(diǎn)。在直線/上(不與點(diǎn)力重合)，作射線

BD,將射線BD繞點(diǎn)、B順時針旋轉(zhuǎn)60。后交直線AC于點(diǎn)、E.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,點(diǎn)。在點(diǎn)4的左側(cè)，點(diǎn)E在邊/C上，求證：AB=AD+AE,

(2)如圖2,點(diǎn)。在點(diǎn)力的右側(cè)，點(diǎn)￡在邊4c的延長線上，那么(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明:

若不成立，寫出你的結(jié)論，再證明.

(3)如圖3,點(diǎn)E在邊力。的反向延長線上，若N4BE=15。,請直接寫出線段4)的長.

6.如圖1,△力4c中，ZBAC=900,AB=ACtD,￡是直線BC上兩動點(diǎn)，且/。/5=45。.探究線段8。、

DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系：小明的思路是：如圖2,將△48。沿力。折疊，得△4OE,連接E/L

看能否將三條線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中，…請你參照小明的思路，探究并解決下列問題：

(2)如圖3,當(dāng)動點(diǎn)E在線段8C上，動點(diǎn)。運(yùn)動在線段C8延長線上時，其它條件不變，(1)中探究的結(jié)論

是否發(fā)牛.改變？請說明你的猜想并給予證明.

7.如圖，用一副三角板擺放三種不同圖形.在中,ZABC=90°,AB=CB；QEF中,

ZDEF=90°,ZEDF=30°.

(1)如圖1,當(dāng)頂點(diǎn)6擺放在線段。尸上時，過點(diǎn)A作力M_LOE,垂足為點(diǎn)"，過點(diǎn)。作CN_L。/，垂足為

點(diǎn)N,請在圖1中找出一對全等三角形，并說明理由;

(2)如圖2,當(dāng)頂點(diǎn)8在線段OE上且頂點(diǎn)A在線段痔上時，過點(diǎn)C作CP_LQE,垂足為點(diǎn)尸，猜想線段

AE、PE、W的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

(3)如圖3,當(dāng)頂點(diǎn)A在線段OE上且頂點(diǎn)〃在線段火上時，若HE=5,BE=T,連接CE,則△/EC的面

積為

8.【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1,中，若48=12,4c=8,求

8c邊上的中線力。的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長4。到瓦使3DE,連接8E.請根據(jù)小明的

方法思考:

E

圖1圖2圖3

(1)由已知和作圖能得到A/IOC空△￡7犯，依據(jù)是.

A.SSSB.ASAC.AASD.SAS

(2)由“三角形的三邊關(guān)系“可求得力。的取值范圍是.

解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線''等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的己知條件和所求證

的結(jié)論集合到同一個三角形中.

【初步運(yùn)用】

(3)如圖2,力。是△力8c的中線，BE交4C于E,交力。于E且4E=EF.若EF=3,EC=2AE,求線

段M的長.

【靈活運(yùn)用】

(4)如圖3,在“BC中，ZJ=90°,D為BC中點(diǎn),DELDF,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)、F,連

接試猜想線段跖，CF,E/三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

題型3:勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

9.背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力.千百年來，人們對它的證明門庭若市，其中有著

名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者.向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法.

小試牛刀：把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為〃、6c.顯然，ND4B=/B=90。,

ACIDE,請用人和c分別表示出梯形力8C。、四邊形力ECO、AEBC的面積，再探究這三個圖形面積之

間的關(guān)系，可得到勾股定理：

九a________D

。L

C

S梯形=_______，

BbCA圖2B

圖1

SgBC~?

S四邊形/爪笫=?

則它們滿足的關(guān)系式為，經(jīng)化簡，可得到勾股定理/+從=0.2.

知識運(yùn)用：

（1）如圖2,鐵路上4、B兩點(diǎn)、:看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、。為兩個村莊（看作兩個點(diǎn)），

AD1AB,BC1AB,垂足分別為/、B,力。=25千米，8C=16千米，則兩個村莊的距離為千米

（直接填空）；

（2）在（1）的背景下，若48=40千米，力。=24千米，8c=16千米，要在48上建造一個供應(yīng)站尸，使

得PC=PO,求出/尸的距離.

知識遷移：借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式+—xY+81的最可、值（。＜工＜16）.

10.綜合與實(shí)踐

【問題情境】

數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動課上，老師提出如下問題：一個三級臺階，它每一級的長、寬、高分別為20、3、2,A

和B是一個臺階兩個相對的端點(diǎn).

【探究實(shí)踐】

老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若4點(diǎn)處有一只螞蟻要到4點(diǎn)去吃可II的食物，那么螞蟻沿著臺階爬到4點(diǎn)

的最短路程是多少？

（1）同學(xué)們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級臺階展開成平面圖形，可得到長為20,寬為15

的長方形，連接力8,經(jīng)過計算得到48長度為,就是最通路程.

【變式探究】

（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長是30cm,高是8cm,若螞蟻從點(diǎn)4出發(fā)沿著玻

璃杯的側(cè)面到點(diǎn)B,則螞蟻爬行的最短距離為_____.

A20

120--------------

]

J

B2|--------------_______-----------------J

圖①圖②圖③圖④

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖⑷，圓柱形玻璃杯的高9cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜,

此時，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的點(diǎn)8處，則螞蟻從外壁8處到內(nèi)壁“處所

爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計）

11.（1）【問題發(fā)現(xiàn)】①如圖1,中，AB=AC,。為4c邊上的中點(diǎn)，連接力O.設(shè)△力BQ的面積

和周長分別為5和G，1co的面積和周長分別為$2和G，則s-S2，c-c?.（填“>”，y或“二”）

②如圖2,△力8c中，。、E是EC邊上的兩點(diǎn)，若S“DE=；S.,BC，則力E與8C的數(shù)量關(guān)系是

（2）【問題延伸】如圖3,四邊形力8CQ中，NBAD=NBCD=qO0,AB=AD,若力。的長度為6,求出四

邊形/8CO的面積.

（3）【問題解決】國際港務(wù)區(qū)計劃將一塊四邊形空地開發(fā)為小型公園，空地的示意圖如圖4所示.其中

AB=AD,/BAD=/BCD=90°,ZADC=60°,^C=100m.現(xiàn)計劃將點(diǎn)A處設(shè)置為公園的入口，在C。

邊上設(shè)置一個出口“，并修建一條貫穿整個公園的小路4M.根據(jù)規(guī)劃，要求小路4W將整人公園分成兩

塊面積相同和周長相同的區(qū)域（即△4“。與四邊形月8cM的周長和面積都相同），施工隊能否按照規(guī)劃修建

出這條小路？若能，請求出CM的長度；若不能，請說明理由.（小路的寬度忽略不計）

圖1圖2圖3

圖4備用圖

題型4:勾股定理的證明、與弦圖有關(guān)的計算題

12.閱讀材料：面枳是幾何圖形中的重要度量之一，在幾何證明中具有廣泛應(yīng)用.出入相補(bǔ)原理是中國占

代數(shù)學(xué)中一條用丁推證幾何圖形面積的基本原理，它包含以下基本內(nèi)容：一個幾何圖形，可以切割成任意

多塊任何形狀的小圖形，總面積保持不變，總面積等于所有分割成的小圖形的面積之和.基于以上原理，

回答問題：

圖4

(1)三邊長為8的正方形按圖1方式分割，分割之后(填“能''或"不能”)把圖形重新拼成圖2中長為

13,寬為5的長方形；

(2)如圖3,a,6,c分別表示直角三角形的三邊，比較大?。篴2^b2c2；(。+力)22ab；

(3)觀察圖4,寫出(ac+bd)2與(*+〃)(*+/)的大小關(guān)系：.

13.閱讀理解：

【問題情境】教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1,利用此圖，可以驗(yàn)證勾股定理嗎？

【探索新知】從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn)：大正方形的面積=小正方形的面積+4個直角三角形的面積.從

而得數(shù)學(xué)等式：S+〃)2=C2+4X1"，化簡證得勾股定理：a2+b2=c2.

(1)【初步運(yùn)用】如圖1，若b=2a,則小正方形面積：大正方形面積=_：

(2)【初步運(yùn)用】現(xiàn)將圖1中上方的兩直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2,若〃=4,h=6,此時空白部分的面積

為二

(3)【初步運(yùn)用】如圖3,將這四個直角三角形緊密地拼接，形成風(fēng)車狀，已知外圍輪廓(實(shí)線)的周長為

24,OC=3,求該風(fēng)車狀圖案的面積.

(4)【初步運(yùn)用】如圖4,將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形48cb正方形EFG”,正方

形MNK7的面積分別為S/,S”S3,若$+S2+S3=40,則S2=_.

(5)【遷移運(yùn)用】如果用三張含60。的全等三角形紙片，能否拼成?個特殊圖形呢？帶著這個疑問，小麗拼出

圖5的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)含60。的三角形三邊和c之間的關(guān)系，寫出此等

量關(guān)系式及其推導(dǎo)過程(知識補(bǔ)充：如圖6,含60。的直角三角形，對邊/斜邊x=定值〃).

14.勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理.在我國古書《周髀算

經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”

(如圖1),后人稱之為“趙爽弦區(qū)”，流傳至今.

圖4

(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該

定理(以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件)；

②如圖1,大正方形的面積是17,小正方形的面枳是5,如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2

的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積.

(2)如圖4、5、6,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖

形中面積關(guān)系滿足S+S?=目的有個：

(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案(圖中陰影部分)的面積分別

為』、邑，直角三角形面積為S3,請判斷§、S］、S3的關(guān)系.

15.【材料閱讀】我國古人對勾股定理的研究非常深邃.如圖1,已知直角三角形三邊長為a,b,c(c為斜

邊)，由勾股定理：/=/+//,^b2=c2-a2=(c+a)(c-a),則c-a=---,得到：

c+a

、?

(c+a)-(c-a)_(°+")一。+々_(。+。)2.

Q--------------_------------―-----------

222(c+a)

從而得到了勾股定理的推論：己知直角三角形三邊長為a,b,c(c為斜邊)，貝ija="："[一"

【問題解決】如圖2,已知ABC的三邊長分別為"="T,4c=8,力。=5,如何計算的面積？據(jù)記

載，古人是這樣計算的：作4c邊上的高力”.以的長為斜邊和直角邊作RtZkQM(如圖3),其中

DE=BH、EF=CH.

(1)用古人的方法計算。尸的值，完成下面的填空：

DF2=DE2-EF2

=BH2-CH2

=[()2-()2H()2-()2]

(2)試直接利用閱讀材料中勾股定理的推論繼續(xù)完成面積的計算過程；

(3)卻還有其他計算“BC的面積的方法嗎？寫出解答過程.

題型5:勾股定理與特殊三角形

16.如圖1,等邊△力8c的邊長為4,點(diǎn)。是直線/加上異于A,〃的一動點(diǎn)，連接CO,以CO為邊長，在

CQ右側(cè)作等邊△CQE,連接"月.

圖1備月圖1備用圖2

【初步感知】

(1)求證：KAD知CBE；

【類比探究】

(2)當(dāng)點(diǎn)。在直線48上運(yùn)動時，

①AD與BE的數(shù)量關(guān)系是------：

②△出加的周長是否存在最小值？若存在，求此時4)的長：若不存在，說明理由;

【拓展應(yīng)用】

(3)當(dāng)點(diǎn)。在直線上運(yùn)動時，△夕力后能否形成直角三角形？若能，請直接寫出此時力。的長；若不能,

說明理由.

17.在和△力。E中，點(diǎn)。在3c邊上，/BAC=NDAE=a,AB=AC,AD=AE.

(1)如圖1,當(dāng)a=90。時，連接EC,寫出。A,DC,之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(2)如圖2,當(dāng)a=60。時，過點(diǎn)A作OE的垂線并延長，交BC于點(diǎn)八若6c=10,4/5=2,求線段C廠的長.

18.閱讀下面材料，并解決問題:

圖②圖③

(1)如圖①等邊“8c內(nèi)有一點(diǎn)若點(diǎn)P到頂點(diǎn)小B、C的距離分別為3,4,5,求/4P8的度數(shù).為了

解決本題，我們可以將“即繞頂點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到處，此時"CP'wJBP,這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換,

將三條線段4，PB,PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出4網(wǎng)=_；

(2)基本運(yùn)用

請你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問題：

已知如圖②，中，NCAB=90°,AB=AC,E,/為4c上的點(diǎn)且/￡4尸=45。，求證:

EF2=BE2+FC2：

⑶能力提升

如圖③，在RtZ\?18。中，ZC=90°,AC=\,N48C=30。，點(diǎn)。為RtZXXBC內(nèi)一點(diǎn)，連接力。，BO,

CO,且N4OC=NCO8=N8CU=120°,求Q4+O4+OC的值.

題型6：勾股定理與數(shù)軸

19.閱讀材料，完成任務(wù).

材料1：數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想.按照圖1所示將兩個邊長為1的小正方形進(jìn)行剪拼(無縫隙不重疊的

拼接)成一個大的正方形，可以得到無理數(shù)正；按照圖2和圖3所示的兩種剪拼方法將一個邊長為1的正

方形和一個邊長為2的正方形剪拼出一個大正方形，可以得到無理數(shù)m.

材料2：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng).要在數(shù)軸上找到表示土灰的點(diǎn)，關(guān)鍵是在數(shù)軸上構(gòu)造線段

0A=0A'=y/2.如圖4,正方形的邊長為1個單位長度，以原點(diǎn)。為圓心，對角線長為半徑面弧與數(shù)軸上

分別交于點(diǎn)兒，，則點(diǎn)力對應(yīng)的數(shù)為正，點(diǎn)4對應(yīng)的數(shù)為-應(yīng).類似的，我們可以在數(shù)軸上找到表示

任意尢理數(shù)的點(diǎn)

材料3：如圖5,改變圖4中正方形的位置，用類似的方法作圖，可在數(shù)軸上構(gòu)造出線段05與08’,其中0

仍在原點(diǎn)，點(diǎn)&8'分別在原點(diǎn)的右側(cè)、左側(cè)，可由線段OB與04'的長得到點(diǎn)從9所表示的無理數(shù).按

照這樣的思路，只要構(gòu)造出特定長度的線段，就能在數(shù)軸上找到無理數(shù)對應(yīng)的點(diǎn).

圖4圖5

任務(wù)：

(1)材料1中，無理數(shù)機(jī)是，畫圖確定表示〃，的點(diǎn)M：

-5-4-3-2-1012345

(2)如圖5,點(diǎn)8表示的數(shù)為，點(diǎn)"表示的數(shù)為：

(3)數(shù)軸上分別標(biāo)出表示數(shù)。5以及-3+〃的點(diǎn)，并L匕較它們的大小.

?1?11???1A

-5-4-3-2-10123

(4)若。=-3+〃?，b=求代數(shù)式|。+0.5|-12-6|的值，并在數(shù)軸上表示對應(yīng)的點(diǎn).

II1II1II

-5-4-3-2-10123

題型Z表格類素材題

20.受全球氣候變暖影響，今年深圳的雨水特別多.據(jù)悉，不止深圳，整個華南地區(qū)暴麗形成“列車效

應(yīng)雨水增多導(dǎo)致雨傘的需求量大大增加.下圖是某型號雨傘的結(jié)構(gòu)圖.

根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù),

探究雨傘中的數(shù)學(xué)問題

素圖1是這個雨傘的示意圖.不管是張開還是收攏，力戶是傘柄，

材傘骨48=4。且4E=AF=FC,DE=DF,。點(diǎn)為傘

圈.傘完全張開時N8/1C=120。，如圖1所示.

1P

（圖1）

A

素傘圈D能沿著傘柄滑動，如圖2是完全收攏時傘骨的示意圖，

E（F）

材此時傘圈力滑動到。的位置，且4E、。'三點(diǎn)共線.測得

D'

24。'=59cm,AE=30cm（參考值:V166?12.88）.P

（圖2）

同學(xué)們經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：雨往往是斜打的，且都是平行的.如fF

素

圖3,某一天，雨線6歷與地面夾角為60。，小田站在傘圈。jlr

材

點(diǎn)的正下方點(diǎn)G處，記為GH,此時發(fā)現(xiàn)身上被雨淋濕，

3

測得8N=162cm.NGM

（圖3）

問題解決

任

務(wù)判斷力尸位置求證：4戶是的角平分線.

1

任探究傘圈移動距離當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，求傘

務(wù)圈。移動的距離(精確到0.1cm).

2

任求傘至少向下移動距離____cm,使

務(wù)擬定撐傘方案得人站在G處身上不被雨淋濕，(直

3接寫出答案)

題型8：最值問題

21.如圖所示，“4C是等邊三角形，將線段4。繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到C。，連接力。、BD,CE平分

/ACD交BD于點(diǎn)E.

⑴若CE=2,求/E的長：

(2)以力。為邊作△〃)/，乙4/7)=60。，連接收，判斷￡4、FD、"'之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由：

(3)若點(diǎn)尸是直線8。上的一動點(diǎn)，將△WP沿著〃進(jìn)行翻折得到"PF,連接班"將"繞著點(diǎn)4逆時針

旋轉(zhuǎn)60。得到線段BG,連接力G,FG.若AB=2,當(dāng)力G最小E寸，直接寫出九陽的值.

22.如圖1所示，點(diǎn)8在線段4C上，分別以力從C