圓錐曲線：斜率問題、向量問題、三點(diǎn)共線問題專項(xiàng)訓(xùn)練

考點(diǎn)目錄

圓錐曲線中的斜率問題圓錐曲線中的向量問題

圓錐曲線中的三點(diǎn)共線問題

考點(diǎn)一圓錐曲線中的斜率問題

1.（25?26高三上?廣西桂林?開學(xué)考試）已知橢圓C：￡+，=1（。>/）〉0）的離心率為等，且C過點(diǎn)僅，夜）.

（1）求。的方程；

（2）直線/：），=%（》-1）（%>0）與C交于4B兩點(diǎn),過。上的點(diǎn)尸（與4,8不重合且不在坐標(biāo)軸上）作工軸的平

行線交線段48于點(diǎn)。（與4〃不重合），直線。。的斜率為〃（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），△力尸。的面積為S，MPQ的

面積為S2,若以耳反二忸斗』，直線"，40的斜率都存在，分別記為如，k”.

⑴求證：如+"8P=。；

（ii）判斷是否為定值？并說明理由.

2.（24?25高二上?浙江杭州?期末）已知雙曲線C：［-1=［（4>0/>0）的實(shí)軸長為2,右焦點(diǎn)尸到雙曲線C的

漸近線理離為

（1）求雙曲線。的方程：

（2）過點(diǎn)七（2,0）作直線4交雙曲線的右支于4B兩點(diǎn),連接力。并延長交雙曲線左支于點(diǎn)P（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求

△214的面積的最小值；

（3）設(shè)定點(diǎn)7&0）,過點(diǎn)7的直線6交雙曲線C于〃，N兩點(diǎn)，M,N不是雙曲線的頂點(diǎn)，若在雙曲線。上存在一點(diǎn)

S,使得直線SM的斜率與直線SV的斜率之和為定值，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

3.（25?26高三上?重慶?開學(xué)考試）己知雙曲線。:'-'=1（。＞0力〉0）的虛軸長為2,一條漸近線方程為

x+2y=0.

⑴求雙曲線C的方程；

（2）已知是C上的三個(gè)不同點(diǎn).

①若尸（。,0）,點(diǎn)。/在雙曲線C的同一支上，且力?！ㄊ堑冗吶切?，求|。&|；

②若。（異于原點(diǎn)。）是40。及外接圓的圓心，直線尸0,2R&P,。。的斜率均存在，并分別記為￡,右,勺，&，求

k&k3k4的值.

4.（25-26高三上?重慶?開學(xué)考試）如圖，在橢圓￡?+==1（〃〉0）中，石，石分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，B、D

分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，力為橢圓在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，直線/片交橢圓于另一點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)E,且點(diǎn)

「、入三等分線段80.

⑴求。的值；

Ss

（2）設(shè)2=氏如，〃=薩巳，已知％+〃=4,求直線AC的斜率.

,△AEO

22

5.(2025?江蘇泰州?模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)。為雙曲線無親■=1(〃>0/>0)的右頂

點(diǎn)，M(友,6)，N(2,-3)在雙曲線E上.

(1)求雙曲線E的方程：

⑵過點(diǎn)G(-3,0)且斜率為用的直線，與雙曲線E的左支交于4,8兩點(diǎn)，的外接圓的圓心為P,直線O尸的

斜率為%2,證明：占&為定值.

6.(2025?廣東湛江?模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的上頂點(diǎn)為4(0,2),

線段。4的中垂線交C于氏。兩點(diǎn)，且I1=6.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)E為橢圓C上位于直線〃力上方(不與點(diǎn)反。重合)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)4作直線的平行線交橢圓C于點(diǎn)R

點(diǎn)M為直線即與8。的交點(diǎn)，點(diǎn)N為直線8E與。M的交點(diǎn).證明：直線OU與直線。七的斜率之積為定值；

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7.（24?25高二下?廣西南寧?期末）已知雙曲線C:?一方=1（。>0力〉0）的離心率為五，點(diǎn)夕（3,"）在雙曲線C

上.

（1）求雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線》=2x+3與雙曲線C交于點(diǎn)M,N,其中點(diǎn)“在第二象限.

①求|MV|；

②已知雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為44,設(shè)直線的斜率分別為他，求％的值.

8.（24?25高二下?重慶沙坪壩?期末）橢圓E:￡+4=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為乙（。,0）,點(diǎn)。為

CTb"

橢圓E上動(dòng)點(diǎn)，西?電的值域?yàn)椋?』］.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為48,直線藝交橢圓￡于另一點(diǎn)。，點(diǎn)。和點(diǎn)。位于V軸兩側(cè)，若4用P,。四點(diǎn)

構(gòu)成的四邊形面枳為G，求直線尸。的斜率.

考點(diǎn)二圓錐曲線中的向量問題

1.(25?26高三上?重慶?階段練習(xí))已知橢圓C：5+，=l(〃>b>0)過點(diǎn)力(-4,0),離心率為暗,過點(diǎn)丁(2,0)的

直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)”,N.

(1)求橢圓。的方程；

48

(2)若的面積為彳，且AW=?7V，求實(shí)數(shù)4的值.

2.(24?25高二下?重慶?期末)已知曲線C到兩個(gè)定點(diǎn)(7,0)和(1,0)的距離和為定值4.

(1)求。的方程；

⑵過點(diǎn)尸(1,0)的直線/(斜率存在且不為0)與C交于N兩點(diǎn)，N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P.已知。(4,0).

(i)證明：P、M、。三點(diǎn)共線；

(ii)求血?而的取值范圍.

3.（2025?遼寧鞍山?模擬預(yù)測）設(shè)A,力分別是直線y=2x和》=-2》上的動(dòng)點(diǎn)，且恒卸=4,動(dòng)點(diǎn)〃為線段力笈的

中點(diǎn).

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

⑵已知線段小是圓C:（x+2）2+_/=l的一條直徑，求而.而的最大值.

4.（24-25高二下?貴州黔西?階段練習(xí)）已知雙曲線￡=-4=的離心率是述，焦距為6.

a~b'5

⑴求月的方程；

----------25

⑵若直線/i=h+1與￡相交于48兩點(diǎn)，且O/.OA=_］（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求/的方程.

5.(24?25高二下?云南昆明?期中)已知雙曲線C:=l(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為“TO),40,0),離

cTb2

心率為2.

(1)求雙曲線。的方程；

(2)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M(-2,0)且斜率不為0的直線/交雙曲線。于P,。兩點(diǎn)(點(diǎn)夕在第一象限，點(diǎn)0在第二

象限)，直線。。交雙曲線C于點(diǎn)R,求乖?聲.

2

6.(24?25高三上?云南昭通?階段練習(xí))已知雙曲線一1=1伍＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為4,4,過點(diǎn)歷(2,0)

的直線/交雙曲線「于R。兩點(diǎn).

(1)若離心率e=2,求b的值.

(2)若。=偵4%1/為等腰三角形時(shí),￡L點(diǎn)尸在第二象限，求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

3

(3)連接。。并延長，交雙曲線「于點(diǎn)A,若麗彳=1,求。的取值范圍.

7.（24?25高二上?湖北武漢?期末）已知直線，：kr+L與雙曲線C:泉-必=1（心0）的右支交于不問的兩點(diǎn)

M,N.

（1）求實(shí)數(shù)6的取值范圍；

——1—

（2）直線/與y軸交于點(diǎn)尸，是否存在實(shí)數(shù)機(jī)使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)機(jī)的值；若不存在，請說明

理由.

8.（24?25高三下?湖南永州?開學(xué)考試）已知橢圓氏5+今=1（。>6>0）橢圓的離心率e=g.左頂點(diǎn)為人下頂

點(diǎn)為8?。是線段。8的中點(diǎn)，其中名用.=苧.

（1）求橢圓后的方程.

（2）設(shè)朋為橢圓￡上一動(dòng)點(diǎn)，求I歷。|的最大值.

（3）過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓E有兩個(gè)交點(diǎn)〃，Q.在y軸上是否存在點(diǎn)T使得方?匝40恒成立.若存在求出

這個(gè)7點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請說明理由.

考點(diǎn)三圓錐曲線中的三點(diǎn)共線問題

1.(24?25高二下?湖南長沙?期末)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)(0』)的距離比它到直線y+2=0的距離小1,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為

E.

(1)求軌跡上的方程.

⑵直線4與4分別與軌跡E交于點(diǎn)48和點(diǎn)C,。(荏與反同向)，且//4,線段/C與8。交于點(diǎn)H,線段48與

C。的中點(diǎn)分別為M,N.

(i)求證：三點(diǎn)共線；

(ii)若=|HN|=2,求四邊形48。。的面積.

2.(2025?寧夏石嘴山?三模)已知拋物線C：/=2py(p>0)的焦點(diǎn)F與橢圓工+/=［的上頂點(diǎn)重合，點(diǎn)。為坐標(biāo)

4'

原點(diǎn).

(1)求拋物線。的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；

(2)過點(diǎn)少的直線/交拋物線C于P,。兩點(diǎn)，且|尸。|=8,求直線/的方程：

(3)設(shè)點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，直線加分別與拋物線。相切于點(diǎn)48,證明：4反/三點(diǎn)共線.

3.(2025?重慶?模擬預(yù)測)二次函數(shù)的圖象是拋物線，現(xiàn)在我們用“圖象平移”的方式討論其焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，舉例

如下：二次函數(shù))，=.5+1的圖象可以由y=/的圖象沿向量3=(0,1)平移得到；拋物線y=即寸=?的焦點(diǎn)坐標(biāo)

為(0*｝準(zhǔn)線方程為y=;故二次函數(shù)》=./+1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為((),；)準(zhǔn)線方程為y=(.

(1)求二次函數(shù)y=^-x2-x+\的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

4

⑵求二次函數(shù)y="+bx+c(a工0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：

(3)設(shè)過題4』)的直線與拋物線y=；f-x+l的另一個(gè)交點(diǎn)為3,直線48與直線y=x-4交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)P作x軸

的垂線交拋物線P=Jx2-x+i于點(diǎn)N是否存在定點(diǎn)G,使得氏N,G三點(diǎn)共線？若存在，請求出定點(diǎn)G的坐標(biāo)；

4

若不存在，請說明理由.

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4.(25?26高三上?福建?開學(xué)考試)己知雙曲線。:0-￡=1(〃>°力>°)的右焦點(diǎn)為尸，離心率為2,圓

O:x2+y2=\與C恰有兩個(gè)交點(diǎn).

(I)求。的方程；

(2)設(shè)A為。的左頂點(diǎn)，過E且斜率存在的直線交C的右支于兩點(diǎn)，直線分別交圓。的另一點(diǎn)于P,0.

(i)證明：P，。,。三點(diǎn)共線；

(ii)設(shè)直線"N與直線交于。，證明：點(diǎn)。在定直線上.

5.(2025?北京昌平?二模)已知橢圓￡:*■+點(diǎn)■，(心力〉。)的長軸長為2石，以橢圓石的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)

的四邊形的面積為6.

(1)求橢圓￡的方程及離心率；

(2)過點(diǎn)(2,0)且斜率為左四工0)的直線與橢圓￡交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)。與點(diǎn)8關(guān)于x軸對稱.在x軸上是否存在定點(diǎn)

。(用,0),使三點(diǎn)共線？若存在，求實(shí)數(shù)〃?的值，若不存在，說明理由.

6.(2025?遼寧本溪?模擬預(yù)測)已知橢圓的右焦點(diǎn)為/(1,。)，力為。上一點(diǎn)，|4日的最小