第七節(jié)拋物線

方/課程標(biāo)準(zhǔn)/

1.了解拋物線的實(shí)際背景，感受拋物線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的應(yīng)用.

2.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它的簡單幾何性質(zhì).

3.了解拋物線的簡單應(yīng)用.

體氽構(gòu)建I必備知識系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修

把平面內(nèi)與一個定點(diǎn)廠和一條定直線/（/不經(jīng)過點(diǎn)打的距離包第的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)尸叫做

拋物線的焦點(diǎn)，直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線

定義中易忽視“定點(diǎn)不在定直線上“這一條件,當(dāng)定點(diǎn)在定直線上.時，動點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)且

區(qū)【警惕與定直線垂直的直線____________________________________________

標(biāo)準(zhǔn)方程>2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)算2=2")(〃>())%2=一孫(〃>())

1Y

施I

物r

圖形

線~11~X土

、(

標(biāo)p/

準(zhǔn)頂點(diǎn)0(0,0)

方

對稱軸，軸

程x軸

和

住占修。）斗下。）「（。明尸(°T)

幾

何

性離心率e=l

性

質(zhì)

質(zhì)T

選線方程2

〕

范圍#20,〉ERy^O.xeR》WO,x￡R

開口方向向右向左向上向下

焦半徑（其

|PF|=x+-^伊尸仁1"1f+專仍/1=-%+專

中））0

.對點(diǎn)自測.

1.拋物線），=加的準(zhǔn)線方程是y=2,則。=（）

A.；B.-i

88

C.8D.-8

解析：B拋物線產(chǎn)加化為標(biāo)準(zhǔn)方程為『=%所以準(zhǔn)線方程是產(chǎn)一套，所以一a=2,解得。=一；.故選B.

2.過拋物線）?=4x的焦點(diǎn)的直線/交拋物線于P（xi，與），Q（X2，＞,2）兩點(diǎn)，如果XI+X2=6,則\PQ\=

（）

A.9B.8

C.7D.6

解析：B拋物線）2=4x的焦點(diǎn)為尸（1,0）,準(zhǔn)線方程為4=—1.跟據(jù)題意可得，|PQ|=|+|Q/|=乃

+1+9+1=A*I+%24~2=8.

3.焦點(diǎn)在），軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案：F=10y或f=—IOy

解析：設(shè)方程為『=2〃少（小KO）,由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5,知I,〃I=5,5=±5,所以滿足條件的拋物線的

標(biāo)準(zhǔn)方程為f=10），或f=一1（加

4.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)。（一2,3）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

答案：./=_］或/=$，

解析：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是）2=匕（MW0）或f=/町，（機(jī)W0）,代入點(diǎn)P（―2,3）,解得攵=—5,加=：,所

以9=_］或

.常用結(jié)論r

I.與拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的常用結(jié)論

如圖，傾斜角為。的直線4〃與拋物線尸=2*（p>0）交于A,B兩點(diǎn),產(chǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)4（xi，6），B

（X2，>2）.則有

（1）3'1）'2=一P?，Xl%2=9：

⑵焦點(diǎn)弦長：1村=.+也+〃=品;

（3）通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦，長為2p；

1+1-2

⑷焦半徑一出=合，IBF\

1+COS0*IAFII8FIp'

（5）以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切：以AF或8r為直徑的圓與y軸相切.

2.若4,B為拋物線）?=2px（〃>0）上兩點(diǎn)，且O4J_OB,則直線AB過定點(diǎn)（2〃，0）.

6應(yīng)用

1.直線！過拋物線C：V=i2x的焦點(diǎn)，且與拋物線C交于4,B兩點(diǎn),若弦A8的長為16,則直線/的傾斜角a

答案：;或g

解析：V/?=6,由結(jié)論1知IABI=-^-=-^-=16,/.sin2a=p則sina=g，a=?或尊

,sin2asm2a4233

2.已知直線/交拋物線）?=4x于點(diǎn)人，B,且麗?麗=0,若直線/的傾斜角a=*則ACMB的面積為.

答案：8而

解析：因?yàn)槲?礪=0,由結(jié)論2知，直線/過定點(diǎn)（4,0）,又直愛/的傾斜角為?，所以直線/的斜率2=01學(xué)

44

=-1,故直線/的方程為尸一1（X—4）,即葉廠4=0,由4"0,得直線/與拋物線尸=4%的交點(diǎn)的

（y2=4x,

縱坐標(biāo)為y=-2+2而，”=一2一2底由19一”1=4V5,故又必產(chǎn)喬4X475=875.

分類突破］:精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練

拋物線的定義及應(yīng)用

(考點(diǎn)T一:

(定向精析突破；

考向/求軌跡方程

【例1】已知動圓P與定圓C：(X—2)2+爐=|相外切，又與定直線/：X=一|相切，那么動圓的圓心P的軌

跡方程是()

A.y2=4xB.)2=—4x

C.y=D.y2=—8x

解析：C設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(x,)，)，C(2,0),動圓的半徑為r,則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切的性質(zhì)可

得，IPCI=l+r,。在直線的右側(cè)，故。到定直線的距離是d=x+l=心所以IPCI—d=l,即

J(%—2)2-\-y2—(x+1)=1,化簡得V=8x故選C.

解題技法

求軌跡問題的兩種方法

(1)直接法：按照動點(diǎn)適合條件直接代入求方程；

(2)定義法：用拋物線的定義可以確定動點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線.

考向2最值問題

【例2】若拋物線V=4x的準(zhǔn)線為！，P是拋物線上任意一點(diǎn)，則P到準(zhǔn)線/的距離與尸到直線3x+4.y+7=0的

距離之和的最小值是()

A.2B，Y

C.yD.3

解析：A由拋物線定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線，的距離等于點(diǎn)戶到焦點(diǎn)P的距離，由拋物線)，2=以及直線方程3x+4y

+7=0可得直線與拋物線相離.???點(diǎn)尸到準(zhǔn)線/的距離與點(diǎn)P到直線3x+4.y+7=0的距離之和的最小值為點(diǎn)F

(1,0)到直線3x+4y+7=0的距離，即罕二=1=2.

B+4Z

解題技法

與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略

(1)料拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”“三角形兩邊之和大

于第三邊”，使問題得以解決；

(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的逐線中垂線段最短”解決.

、訓(xùn)練

1.動圓過點(diǎn)(1，0),且與直線工=-1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為.

答案：/=4.r

解析：設(shè)動圓的圓心坐標(biāo)為(x,>0,則圓心到點(diǎn)(I,0)的距離與到直線工=-1的距離相等，艱據(jù)拋物線的定

義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2=4x.

2.（2024?天門模■擬）若在拋物線），2=—4%上存在一點(diǎn)P,使其到焦點(diǎn)〃的距離與到點(diǎn)A（-2,1）的距離之和最

小，則該點(diǎn)的坐標(biāo)為.

答案：（一；，1）

解析：如圖，???），2=—4x,???p=2,焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）.依題意可知當(dāng)A,P及P到準(zhǔn)線的垂足三點(diǎn)共線時，點(diǎn)

尸到點(diǎn)”與點(diǎn)尸到點(diǎn)A的距離之和最小，故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1.將y=l代入拋物線方程求得x=一；,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)

為（一：，1）.

4-

3.已知拋物線爐=4），上有一條長為6的動弦AB,則弦AB的中點(diǎn)到上軸的最短距離為.

答案：2

解析：由題意知，拋物線的準(zhǔn)線/：過點(diǎn)4作交/于點(diǎn)過點(diǎn)、B作BBiJJ交I于點(diǎn)、Bi,設(shè)弦AB

的中點(diǎn)為M,過點(diǎn)M作MMJJ交/于點(diǎn)則IMMI=上，一^-.因?yàn)閨4BIWIA尸I+IB尸I（尸為

拋物線的焦點(diǎn)），即IA尸I+IBFI26,所以IA4]I+I8歷I26,2IMMXI26,II23,故點(diǎn)M到

工軸的距離d22,故最短距離為2.

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

[H3，

（師生共研過關(guān)）

【例3】（1）已知尸為拋物線C：f=2px（p>0）的焦點(diǎn)，過尸作垂直于x軸的直線交拋物線于M,N兩點(diǎn)，

以MN為直徑的圓交），軸于C,。兩點(diǎn)，且ICQ|=3,則拋物線方程為（）

A/=2rB./=2V3x

C.）2=4岳D.），2=6X

（2）（2021?新高考I卷14題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：/=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,尸為C上一點(diǎn)，PF

與x軸垂直，。為x軸上一點(diǎn)，且PQ_LOP.若IFQI=6,則C的準(zhǔn)線方程為.

答案：（1）B（2）x=-1

解析：（I）由題意可知通徑MN=2p,所以圓的半徑是p,在RtACO尸中，吟）2+弓）2=〃2,〃>o,解得〃=

百，所以拋物線方程為）2=2岳，故選B.

w

（2）法一由題易得IOFI=卷IPFI=p,4）PF=/PQF,所以tanNOP"=tanNPQF,所以崔：=

p

耕叱書解得p=3,所以C的準(zhǔn)線方程為x=q

法二由題易得IOFI=2,IPFI=p,IPP產(chǎn)=I0川?IbQI,即p2=：X6,解得〃=3或〃=0（舍去），

所以C的準(zhǔn)線方程為尸一去

解題技法

I.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

（1）定義法：若題目已給出拋物線的方程（含有未知數(shù)〃），那么只需求出〃即可：

（2）待定系數(shù)法：若題目未給出拋物線的方程，對于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一設(shè)為

（〃W0）;焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為（a#0）,a的正負(fù)由題設(shè)來定，這樣就減少了不必要

的討論.

2.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧

（1）利用拋物線方程確定其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡化運(yùn)算.

E訓(xùn)練

1.已知A為拋物線Cy-=2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12,到），軸的距離為9,則p=（）

A.2B.3

C.6D.9

解析：C法一因?yàn)辄c(diǎn)A到），軸的距離為9,所以可設(shè)點(diǎn)A（9,為），所以獷=1汕又點(diǎn)4到焦點(diǎn)6，0）的距離

為12,所以所以（9—。2+18〃=122,即p2+36p—252=0,解得〃=—42（舍去）或〃=6.

故選C.

法二根據(jù)拋物線的定義及題意得，點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線工=一々的距離為12,因?yàn)辄c(diǎn)A到），軸的距離為9,所以々=12

一9,解得〃=6.故選C.

2.（2023?全國乙卷13題）已知點(diǎn)4（1,V5）在拋物線C：V=2px上，則4到C的準(zhǔn)線的距離為.

答案：7

*

解析：???點(diǎn)A（1,V5）在拋物線），2=2p.r上，.?.5=2p,得〃=：,?'?點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為心+?=1+：=：.

直線與拋物線的位置關(guān)系

（師生共研過關(guān)）

【例4】（多選）（2023?新疥考II卷10題）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線），=一百（x-1）過拋物線C：y?=2px（p

>0）的焦點(diǎn)，且與。交于例，N兩點(diǎn)，/為。的準(zhǔn)線，則（）

A.p=2

B.IMNI=-

C.以MN為直徑的圓與/相切

D.AOMN為等腰三角形

解析：AC由于），=2px的焦點(diǎn)為（《，（）），直線y=一遮（A—1）過焦點(diǎn)，所以一遮（^―I）=0,解得〃=2,

&2

2_4

A正確：聯(lián)立P1消去y得3A2—IOx+3=（）,設(shè)M（xi,巾），N（如）空），則為+/2=券，所

（y=-V3（x-1）,3

以IMVI=即+也+〃=奉B不正確；以MN為直徑的圓的圓心的橫坐標(biāo)為號主=|,圓心到準(zhǔn)線/的距離公升

1=；=；\MN\,故以MV為直徑的圓與，相切，C正確；不妨令點(diǎn)M在笫-象限，由3Mm+3=0得

也=3,所以》=手，”=一2b，所以IONI=j32+(-2V3)二房,IOMI=J([)]手),=4，

又|MN|=?,所以△OWN不是等腰三角形，D不正確.故選A、C.

解題技法

求解直線與拋物線綜合問題的方法

(1)研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，一般是用方程法，但涉及

拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等問題時，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用；

(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公

式IABI=內(nèi)+北+〃(焦點(diǎn)在x軸正半軸)，若不過焦點(diǎn)，則必須用弦長公式.

E訓(xùn)練

I.已知4,B為拋物線C：f=4y上的兩點(diǎn)，M(-1,2),若俞=麗，則直線的方程為.

答案：.v+2y-3=O

解析：由題意知點(diǎn)何(-1,2)在拋物線內(nèi)，且M(-1,2)是線段A8的中點(diǎn)，設(shè)A(xi,y),B(股，”)，

4

則為+必=-2,聯(lián)立IF"1乃'兩武相減得(汨一心)(x,+x2)=4(》一”)，即以8=左二"=中=一：，則

1熠=4%，XL*42

直線AB的方程為y—2=-3(x+1),即x+2y—3=0.由1"+2y?°'消去y,得f+2x—6=0,A=22—4X

2'(x2=4y,

(-6)>0,故斜率為一[符合題意.因此直線AB的方程為x+2y—3=0.

2.在平面直角坐標(biāo)系xO.y中，拋物線「：f=8)，的焦點(diǎn)為人過點(diǎn)尸(()，-2)的直線/與拋物線「交于A(處，

V)，8(12,”)兩點(diǎn)(其中0VxiVx2)，連接4〃并延長交拋物線「于點(diǎn)C,記直線/的斜率為匕直線C9的

斜率為匕則&+〃=.

答案：0

解析：設(shè)C(X3,”)，由題意知直線/的斜率存在，設(shè)直線/：y=b-2,聯(lián)立『2二8〃消去丫得g6+16

y=kx-2,

=0,A=64Z^—64>0,x\-X2=16,同理可得回“3=-16,故Xi=一白，又點(diǎn)A,。都在拋物線f=8)，上，所以由

對稱性知&+〃=0.

瞅蹤檢測I：關(guān)灌能力分層施練素養(yǎng)重提升……|課后練習(xí)

A級?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.(2024?瀘州一模)拋物線C9=人的焦點(diǎn)為立點(diǎn)尸是。上一點(diǎn)，若IPF]=5,則點(diǎn)。到)，軸的距離為

()

A.4B.3

C.2D.1

解析：A根據(jù)題意，點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(1,0),故IP/7I=.卬+1=5,即*=4,即點(diǎn)。到)，軸的距離為4.故選A.

2.(2024.西寧一棋)已知面積為我的等邊△O4B(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的三個頂點(diǎn)都在拋物線V=2px(p>0)上，則

〃=()

A祖B-

c.2D.2V3

3

解析：A因?yàn)榈冗匒OAB的面積為G,所以04=2,不妨設(shè)點(diǎn)A是第一象限的點(diǎn)，則結(jié)合拋物線的對稱性可知

4（V3,1）,所以1=2>/3/?,解得〃=￡.故選A.

6

3.（2024?南昌聯(lián)考）已知拋物線E：f=4y,|wlC：.r+（），-3）2=1,P為E上一點(diǎn),Q為C上一點(diǎn),則IPQI

的最小值為（）

A.2B.2或一I

C.2V2D.3

解析：B由題意知C（0,3）,設(shè)P（xo,加），則以=4.%,IPCI=］卜+（%-3）"=J%-2y（）+9=

J（%—1）,+8,所以當(dāng)制=1時，IPCImin=2V2,又因?yàn)閳AC的半徑為1,所以IPQImin=2&-l,故選

B.

4.（2024?黃岡模擬）中國古代橋梁的建筑藝術(shù)，有不少是世界橋梁史上的創(chuàng)舉，充分顯示了中國勞動人民的非凡

智慧.一個拋物線型拱橋，當(dāng)水面離拱頂2m時，水面寬8m.若水面下降1m,則水面寬度為（）

A.2V6inB.4V6m

C.4V2mD.12m

解析：B由題意，以拱橋頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拗物線方程為f=-2m，（〃>0）,由題意知，

拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-4,-2）和點(diǎn)8（4,—2）,代入拋物線方程顰得〃=4,所以拋物線方程為f=-8y,水面

下降1m,即y=-3,解得用=2乃，Q=—2乃，所以此時水面寬度d=2xi=4后.

T-2f|24_

7T^

5.（多選）已知點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=x—l與拋物線C：）a=4x相交于A,8兩點(diǎn)，則（）

A.IABI-8

B.OALOB

CnA08的面積為2企

D.線段AB的中點(diǎn)到直線x=0的距離為2

解析：AC設(shè)A(K,)，]),8(x2,X2),拋物線C：y2=4x,則〃=2,焦點(diǎn)為(1,0),則直線y=x-1過焦

X

點(diǎn).聯(lián)立方程'1'消去y得『-6x+l=0,則XI+,H=6,xix2=l,所以IA8I=內(nèi)+也+〃=6+2=8,故A

.y2=4x,

正確：Fiy2=(%]—1)(x?-1)=XIA2—(X1+X2)+1=—4,由。力?布=%|12+)“竺=1—4=—3W0,所以。A與

08不垂直，故B錯誤；原點(diǎn)到直線y=x-l的距離為%，所以△A0B的面積為S=1xdX|ABI=

v2v22

1^X8=2V2,故C正確；線段A8的中點(diǎn)到直線x=0的距離為空2=9=3,故D錯誤.

2XvZN2

6.（多選）已知拋物線V=2px（〃>0）的焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線的距高為4,直線/過點(diǎn)尸且與拋物線交于A（AHyt）,

B（x2,>-2）兩點(diǎn)，若MCm,2）是線段AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.p=4

B.拋物線方程為）N=16X

C.直線/的方程為y=2x-4

D.MBI=10

解析：ACD由焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4,根據(jù)拋物線的定義可知p=4,故A正確：則拋物線方程為爐=8廠故

B錯誤;焦點(diǎn)F（2,0）,且比=8即,*=&◎,若M（〃?，2）是線段A3的中點(diǎn)，則》+了2=4,，必一羽=8?

一8M,即紇*=+=［=2,???直線/的方程為y=2x—4,故C正確；又由［*二取，可得/一64.+4=（）,

Xi-x2yx+y24（y=2x—4,

???總+甩=6,\AB\=\AF\-\~\BF\=k+刈+4=10,故D正確.

7.（2023?天津廟考12題）過原點(diǎn)。的一條直線與圓C：（x+2）2+）2=3相切，交曲線），2=2px（p>0）于點(diǎn)P,

若IOPI=8,則〃的值為.

答案：6

解析：如圖，設(shè)直線與圓C相切于點(diǎn)由圓的方程，可知圓心。（一2,0）,半徑/?=IMCI=6.在RSC0M

中，由勾股定理易知IM。I=1.設(shè)。（的，和），???點(diǎn)。在拋物線上，，羽=2pxo（P>0）①.由IOPI=8,可得

］將+羽=8,即詔+就=64②.由①②，得詔+2pxo=64③.連接CP,由。（-2,0）,P（xo,為），可得ICPI

=J（而+2）④.在RtAMCP中，由勾股定理可得ICPI=JICMI，+IPMI2=

JICMI+（|0MI+IOPI）=J（V3）+（14-8）=鬧卷）.由④⑤，得（xo+2）?+光=84⑥.把①代入

⑥，得（燦+2）2+2px°=84⑦.⑦一③，得4的+4=20,解得*=4.將迎=4代入③，得蟲=6.

r

X

8.已知直線/經(jīng)過拋物線丁=61?的焦點(diǎn)凡且與拋物線相交于人，〃兩點(diǎn).

（1）若直線/的傾斜角為60。，求IA8I的值；

（2）若IA8I=9,求線段A8的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離.

解：（1）因?yàn)橹本€/的傾斜角為60。，所以其斜率2=tan6（r=百，

又F（j,0）,所以直線/的方程為y=g（x-j）.

y=\/3（X--）,

聯(lián)立，2消去），得4f—20x+9=0,

V=6x,

解得即=aX2=g，

故IABI=J1+（V3）2X|2-1|=2X4=8.

（2）設(shè)A（內(nèi)，”），B（X4,）4）,由拋物線定義，知IABI=IA/|+I8〃|=/3+§+總+§=13+工4+〃=13

LtC

+x?+3=9,

所以總+必=6,于是線段A8的中點(diǎn)”的橫坐標(biāo)是3,

又準(zhǔn)線方程是不=一|,

所以點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為3

B級?綜合應(yīng)用

9.拋物線）?=2px（〃>0）的焦點(diǎn)為FA,8為拋物線上的兩個動點(diǎn)，且滿足NAF8=60。.過弦48的中點(diǎn)M作拋

物線準(zhǔn)線的垂線MM垂足為N.則J黑的最大值為（）

A.立B幽

33

C.lD.2

解析：C設(shè)IA尸I=4,IBF\=b,過A,B點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線AQ,BP,由拋物線定義，得I4尸I

=IA。I,IB尸I=IBPI,在梯形A8PQ中，2IMNI=IAQI+IBPI=。+方.在△A榜中，由余弦定理

得，I46I=（.C60n=—ub=十〃）3a〃，火YabW?二（a十〃）'一e（a十

b）2—：（〃+b）三：（a+〃）2,得到|A8I巨（a+b）=IMNl.???號即甘箸的最大值為1,故選C.

10.（多選）己知拋物線的瘁點(diǎn)為凡

M（A1，6），N（.X2,>2）是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

A.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（：，0）

O

B.若直線MN過點(diǎn)F,則xd2=一白

16

C.若而=入而，則IMNI的最小值為:

D.若II+II=1,則線段MN的中點(diǎn)尸到x軸的距離為J

Z8

2

解析：BCD易知點(diǎn)廣的坐標(biāo)為（0,；）,選項(xiàng)A錯誤；根據(jù)拋物線,的性質(zhì)知，直線MN過焦點(diǎn)F時，xiX2=-p

=一白，選項(xiàng)B正確；若而=入稱，則線段MN過點(diǎn)F,則IMNI的最小值即拋物線通徑的長，為2p,即3選

162

項(xiàng)C正確；拋物線的焦點(diǎn)為（0,*,準(zhǔn)線方程為），=一，過點(diǎn)M,N,P分別作準(zhǔn)線的垂線W,NNt

PP',垂足分別為“，V,尸（圖略），所以IMM,I=IMFI,IMV'I=INFI.所以IMM'I+INN'I

=IMFI+1館樓所以線段IP”…「V，所以線段MN的中點(diǎn)尸到x軸的距離為個

=7—；=：，選項(xiàng)D正確.

4oo

11.（多選）設(shè)拋物線C）2=4%的焦點(diǎn)為立O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過b的直線與C分別交于A（x,,V）,B（X2,”）

兩點(diǎn)，則（）

A.yiyz為定值

B.N40B可能為直角

C.以8尸為直徑的圓與），軸有兩個交點(diǎn)

D.對于確定的直線人B,在C的準(zhǔn)線上存在三個不同的點(diǎn)P,使得△A8P為直角三角形

解析：AD設(shè)幾：x=9+l，與）?=4x聯(lián)立可得：y2—4少一4=0,>1”=—4,故A對；因?yàn)橛蒙W=勺￥=1,所

16

以3*鼠用=皿#一1,所以N4OBW2故B錯；設(shè)B尸的中點(diǎn)M（手，爭，?=一,則以B/為直徑的圓

工］》222222

與），軸相切，故C錯；設(shè)44的中點(diǎn)，（/上，空出）,N到。準(zhǔn)戰(zhàn)的距離為3箸+1,因?yàn)椤梗?/上+1,

故有以48為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切，對于確定的直線A&當(dāng)NP為直角，此時P為切點(diǎn)；當(dāng)NA或N8為直

角，此時P為過A（或8）的A8的垂線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，故D正確.故選A、D.

12.已知拋物線CV=8x的焦點(diǎn)為“，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)4在。上且IAKI=/IAFI,則ZiAPK的面

積為.

答案：8

解析：地物線C：）?=8式的焦點(diǎn)為尸（2,0）,準(zhǔn)線為工=-2,??.K（一2,0）,點(diǎn)A的軌跡是阿波羅尼斯圓，九

222

=毒7=&，設(shè)4（-）），即［（x+2）+y=V2j（x-2）?+*,化簡整理得（x-6）+/=32,與已知

拋物線C：9=8工聯(lián)立，可以解得4〔2,±4）,.??△■?的面積為"I?I井I=1X4X4=8.

13.如圖，拋物線型太陽灶是利用太陽能輻射，通過聚光獲取熱量進(jìn)行炊事烹飪的一種裝置.由于太陽光基本上屬于

平行光線，所以當(dāng)太陽灶（旋轉(zhuǎn)拋物面）的主光軸指向太陽的時候，平行的太陽光線入射到旋轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)

過反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點(diǎn)處通過，在這里形戊太陽光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點(diǎn)就在它

的主光抽上.現(xiàn)有一拋物線型太陽灶，灶口直徑A8為2V5m,灶深CQ為0.5m,則焦點(diǎn)到灶底（勉物線的頂點(diǎn)）

的距離為m.

答案：1.5

解析：由題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，。與C重合，設(shè)拋物線的方程為）2=2px（p>0）,由題意可得

人（；，73）,將八點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的方程可得3-2pX：,解得〃一3,所以拋物線的方程為）2—6%，焦點(diǎn)的坐標(biāo)

為丐，0）,即（|,0）,所以焦點(diǎn)到灶底（拋物線的頂點(diǎn)）的距離為弓=1.5m.

14.已知過點(diǎn)何省，0）的直線，與拋物線產(chǎn)=2少（〃>0）交于48兩點(diǎn)，且方?赤=-3,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求〃的值；

(2)當(dāng)IAMI+418Ml最小時，求直線/的方程.

解：⑴設(shè)直線/的方程為尸山+?

x=my-\--,、、

聯(lián)立2得y2—2p/〃y—p2=0,

y2—2px,

設(shè)A5,yi),B(松>,2)?所以yi+)，2=2p/%,yi>,2=~p2,

因?yàn)橥吡=-3,所以工逮2+》”=-3,

又xiM嗎恭？，所以9_