4.7解三角形的綜合應用

課標要求精細考點素養(yǎng)達成

測量高度、距離、通過利用正、余弦定理解決測量和計算問

角度問題題，培養(yǎng)數(shù)學建模、數(shù)學運算素養(yǎng)

能用余弦定理、正

正、余弦定理在通過正、余弦定理在幾何中的綜合應用，

弦定理解決簡單

幾何中的應用培養(yǎng)數(shù)學建模、數(shù)學運算、邏輯推理素養(yǎng)

的實際問題

三角形中的三角通過三角變換在解三角形中的應用，培養(yǎng)

函數(shù)數(shù)學運算、邏輯推理素養(yǎng)

④知.?結構㈣

電圈網(wǎng)絡:

,目標

在目標視線與水平/說然

視線所成的用中，口秒

標視線在水平視線第yw/fi水平

仰角與俯角上方的叫作仰角，目磅火用視線

標視線在水平視線\u標

下方的叫作俯向加比

測

量

正」次正南方向線與u標方.問線所成的

術

銳角.通常集達為北（南）偏東（西）a

語

坡面與水平面所成二面加

坡度與的度數(shù)叫坡度.。為坡角；

坡比坡面的垂直高度與水平長

度之比叫坡比，

測量問題圖例

I.（對接教材）如圖所示，設A,8兩點在河的兩岸，一測量者在4所在的同

側河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50m,乙4cB=45。，NC4B=105。后，

可以計算出4,B兩點的距離為（）

?1

—7—

7、?廣一

Z_____:

CA

A.5O\[2mB.5O\/3m

C.25^/2mD.2m

答案A

解析在△A3C中，由正弦定理得.

sinZACBsinZCBA

50X也

?ACsxnZACBDU2

又NCB4=180。-45’?-1050-30°,所以AB-.?-5072r

sinNCBA_!_Y

2

(m).

2.（對接教材）在一幢10m高的樓頂測得對面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0。,塔基的

俯角為45。，那么這座塔吊的高是（

A.10J+坐）m

B.10(l+V3)m

C.5（黃+啦）mD.2(黃+啦)m

答案B

解析根據(jù)題意作圖如圖：

由題意知，A8=10m,仰角ND4E=60。，俯角NC4E=45°,在等腰直角三

角形C4E中，AE=EC=AB=\Om,在直角三角杉D4E中，ND4E=60。，所以

DE=AElanZDAE=AEtan600=1即m,所以塔高CO=10+1即=10(1+/)m.

7T

3.（易錯自糾）在銳角△43。中，角A,B,C所對的邊分別為m〃，c,B=%

J

若aABC的外接圓的面積為芳，則三角形面積的取值范圍是

答案呼，4小

解析由于aABC的外接圓的面積為華，所以外接圓直徑27?=京,

因為aABC為銳南三角形，所以A4，H△A8C的面積取值范圍為

4.（真題演練）（2024?全國新課標I卷）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別

為a,匕,c,己知sinC=y[2cosB,cr-\~b2—c1=yflab.

⑴求以

（2）若△ABC的面積為3+^3,求c.

解析（1）由余弦定理有。2+/一02=2必85。，又已知足+必一/=/而，

+序-c?小ab也

可得cosC=-

2ab~2ab~2,

因為Ce(O,7t),所以sinOO,

從而sinC=yj1-cos2C=

又因為sinC=d^cos8,所以cos8=\又8E(0,n),所以

「5

(2)由(1)可得5=?cosC=2?C￡(。，兀)，從而C=j,A=L?油,

571=sin*1V6+V2

而sinA=sin'=

1224

由正弦定理有一七=七=噬

snip;sn”sin4

從而戶狂抖業(yè)=嚀工,力=條行監(jiān)

由三角形面積公式可知，△A3C的面積可表示為

_1_.1小+1^6^23+^3、

S^ABC—2a0sinC-2"?02°2—8c,

由已知△ABC的面積為3+小，可得=3+小,

所以。=2啦.

-------------------------⑥能）?模型函9=

考點測量高度、距離和角度的問題

典例1（1）如圖，地平面上有一根旗桿0P,為了測得它的高度力，在地面上取

一基線A8,A8=20m,在人處測得點P的仰角NOAP=30。，在B處測得點尸

的仰角NOAP=45。，又測得NAOR=60。，則旗桿的高度為（）

p

60,

B

A.20(小一也)m

20

B.

2()

C.

D.10(市+也)m

(2)(多選)如圖所示，為了測量A,8處島嶼的距離，小明在。處觀測，A,B

分別在。處的北偏西15。、北偏東45。方向，再往正東方向行駛30海里至C處，

觀測8在C處的正北方向,A在。處的北偏西60。方向，則下列結論正確的是()

A.ZCAD=60°

B.A、。之間的距離為15鏡海里

C.A、8兩處島嶼間的距離為15%海里

D.B、。之間的距離為3M海里

答案(1)C(2)BC

解析(1)由已知，得AO=/h,BO=h,則在△450中，由余弦定理，得

AB2=AO2-^-BO2-2AOB(9cos60°,即400=3后+肥一,/，得仁山為方⑺.

(2)由題意可知CZ)=3()(海里)，NAOC=9()°+15°=105。，N33c=45。，N

BCD=90°,ZAC￡)=90°-ZBCA=90°-60°=30°,

所以NCAO=18()。-ZADC-ZACD=180°-105°-30°=45°^60°,故A錯

沃；

ZADB=15°4-45O=60°,

在△ACO中，由正弦定理得焉=建，得4。=端署=15地(海里),

故B正確；

在RtABCD中，因為NBOC=45。，NBCO=90。，所以8/)=g67)=30\乃(海

里)23即(海里)，故D錯誤；

在△A3。中，由余弦定理得,

AB=+BD12-2ADBDcos^ADB=A/450+1800-2X]56X30^X；

=15%（海里），故C正確.

?思維點撥?

1.求距離、高度問題

選定或確定要創(chuàng)建的三角形，需設出未知量，從幾個三角形中列出方程］組）,

解方程（組）得出所要求的量.

2.求角度問題

根據(jù)題意畫出正確的示意圖，明確仰角、俯角、方位角以及方向角的含義，

并準確找到這些角.

提醒：要注意研究的對象不在同一平面內(nèi)的情形.

訓練1一艘輪船按照北偏東40。方向，以18海里/時的速度直線航行，一座燈

塔原來在輪船的南偏東20。方向上，經(jīng)過20分鐘的航行,輪船與燈塔的距離為6仍

海里，則燈塔與輪船原來的距離為海里.

答案6

解析記輪船的初始位置為A,燈塔位置為3,20分鐘后輪船的位置為C,如

圖所示.

由題意得AC=18）＜/=6（海里），/。44=180。一40。-20。=120。，8。=6、與（海

里）?

AC?+4右2—/。262+482一（附）2

在△ABC中，由余弦定理得cosNCAB=

2ACAB2X6A8

1

2f

所以解得A8=6或A8=-12（舍去），

所以燈塔與輪船原來的距離為6海里.

考點2正弦定理、余弦定理在幾何中的應用

典例2在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為mb,c,已知4=3,c=啦,

B=45°.

⑴求sinC的值;

4

-

（）在邊上取一點使得求tanZE>AC的值.

2BCD,cosZADC=5*

解析（1）（法一：正、余弦定理綜合法）

5

由余弦定理得序=〃2+，-2〃久053=9+2—2義3乂6X^-=5,所以b=小.

L一、?-2cbr1t.八csinB\5

由正弦無理何菽=而'則sinC=h=5.

（法二：幾何法）

如圖，過點A作垂足為E在RtaABE中，由c=啦，8=45°,可

得AE=BE=T,又Q=3,所以EC=2.

在RtZ\ACE中，AC=NAE2+EC2=,,因此sinC=^=害.

A

/?rDr

（2）（法一：兩角和的正弦公式法）

因為cosNAOC=—,,NAOC喏，兀），

____________3

所以sinZ.ADC=-\/l—cos2ZADC=

因為NADCC住，兀），所以C￡（0,胃，所以cosC=41-sii?C=亭.

所以sinZDAC=sin（7t—ND4C）

=sin（NAOC+C）

=sinNAOCcosC+cosNAOCsinC

因為NDAC￡0,T,所以cosNDAC=y]1一sin?ND4C=

25?

“sinNQAC2

所以tanNDAC=cosC=TT

(法二)(最優(yōu)解：幾何法+兩角差的正切公式法)

4

在(1)的方法二的國中，由cosNA/)C=一予可得cosNAOE=cos(7r—N/4OC)

44?--------------------

=—cosNA￡>C=m，從而sinNDAE=cos^ADE=ycosNDAE=yj1—sin2NDAE=

3sinZDAE4

7,tanZDAE=---/八，口=彳.

5cosDAE3

EC

又由(1)可得tanNE4C=77=2,所以tanZDAC=tan(ZEAC-ZEAD)=

tanNEAC-tanNEAO__2_

1+tanZEACtanZEAD1T

典例3如圖所示，四邊形ABC。的外接圓為圓0,BC=2,AC=3,tanfi=-

2也.

⑴求sinNACB；

(2)若NCOQ=NA。。，求AD的長.

tan3="叱=—2啦,2g1

解析⑴由，cosB可得sMB=-^—,cosB=—y

,sin2B4-cos2B=1,

設人B=c(c>0),

在△ABC中，由余弦定理得9=4+，-4CX(-，，即02+*—5=0,

解得c=-3（舍去）或c=y.

5^

-X3

3.

由正弦定理得sin/48=先磐3

(2)因為NCOO=NAOQ,所以AO=C。.

由已知得8+NA0C=%所以COSNAQC=1

J

設AD=CD=/?(/??>()).

i4

在CD中，由余弦定理得9=nr+nr—2nvXg=亨%\

所以〃「=§,所以m=半，即4。=平.

IJ4

?，國雄點撥?

與平面圖形有關的解三角形問題的關鍵及思路

1.把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、

余弦定理列方程組求解.

2.尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件或將條件集中到同一個三

角形中列方程(組)求出結果.

3.對于幾何圖形外接圓問題，要充分利用圓的幾何性質結合正、余弦定理求

解.

訓練2(1)(2024.山東質檢)濕地公園是國家濕地保護體系的重要組成部分，某

市計劃在如圖所示的邊形ABCD區(qū)域建一處濕地公園.已知N/)AB=90。，Z

08A=45。，NBAC=30。，ND8c=60。，AB=2小km,則CO=km.

R

(2)在圓。的內(nèi)接四邊形A8CQ中，AB=pBC=3,CD=2?D4=l,

則四邊形ABCD的面積為,圓。的半徑為.

答案⑴2小(2：5千

ARAr

解析⑴在△BAC中，由正弦定理得sinNAC5=sinN43C'

所以_____________2^2_________AC

“sin(l80°-30°-45°-60°)-sin(450+6()。丫

：?/co=?/icoTXOZL人八。，所以AC=y[^>+y[^.

sin45sm45cos60+cos45sin60vv

文NDAB=90。,NQ8A=45°,所以△AB。為等腰直角三角形，所以AD=

AB=2吸.

在△OAC中，由余弦定理得

CD=yjAC2-i-AD2-2ACADcosZDAC

=、（加+啦）2+（2也）2—2（加+也）義2啦cos（90°—30。）

=273.

1+8-AC29-AC2

⑵連接AC（圖略），在△ACO中，cosD=

4y[2~4也

2+9-AC2_ll-AC2

672-=6娘

AC211AC^49

因為3+。=兀，所以cos3+cos￡）=46+—~=0,解得4。2=彳-,

所以cosQ=—%,cosB=興,所以sinB=sinO=

所以SMBC=^XABXBCXsinB=gx也義3乂*一

（41\J

5A^c=|xADXDCXsinD=1x1義2啦x*=[,

4乙1V./?_/

217357

所以四邊形ABCD的面積5=717\z7+7J=717\z；=4

Ar

設圓。的半徑為凡則由正弦定理得2R="市

UllJL^

所以該外接圓的半徑為手.

8）素養(yǎng)?拓展薪）

拓展點三角形中的“三線”問題

1.中線問題

典例1在△ABC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為〃，h,c,A=],。=4,若

A。為邊3c上的中線，AD=3,則△ABC的面積為.

答案乎

解析因為4=三，所以cosA=：.

222

由余弦定理得，a=b-bc-2bccosAf即16=/+。2—力c.

又疝=3（/+油），所以|在|2=｝（|病/+|前|2+2危.油）,

即36=Z>2+C2+/?C,

解得%=10.

所以AA3c的面積S=z/?csinA=1x10X喙

?思維點撥?

中線有關結論

在△ASC中，設。是6c的中點，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,

則2Ab=鋸+危，即病2=；（序+，+28比03）.

訓練1在△ABC中，AB=\,AC=2,邊BC上的中線AO=1,則SMBC=

答案平

解析由題意知國）=J（超+屐7）,等式兩邊同時平方得元）2=丸布+尿

即l=(+gxiX2XcosN34C+l,解得cosN8AC=一；,

而NBAC為三角形內(nèi)角，則sinNBAC=

貝454八5(7=；乂1X2X=?

2.角平分線問題

典例2已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mb,c,A=60。，b=3c,

角A的平分線交BC于點￡>,且BO=由，則cos/AOB的值為（）

A_?

z>?7B雪

c?平D.

答案B

解析如圖，因為/BAC=6()。，AO為NB4C的平分線，所以NCAO=N8AD

=300.又6=3。,

cnq^/?/4Dsin30°,

所以筮二廿"=1^----------=二=3.因為8D=巾，所以CD=3市,所以。

BDSADAB；皿.30?！?/p>

=CB=4幣.因為a2=Z?2+?-2bccosZCAB,所以16X7=%2+c2—2?3c、c』，解

BD'即答sin^DB'

得c=4.在△A5O中，由正弦定理，知

sinNBA。sinNAOB

2

2

所以sinN4D5=s.因為力=3c>c,所以B>C.因為NAO3=3()0+C,ZADC=

300+B,所以NAOB</AOC,又NAO8+NAOC=180。，所以NAOB為銳角，

4

所以cosNADB=y]\—3ivr^-ADB=

-77.

?思維點撥?

角平分線有關結論

40BD

如圖，在△ABC中，A。是N84