2020年北京市高級(jí)中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試卷(滿分:100分考試時(shí)間:120分鐘)一、選擇題(本題共16分,每小題2分)第1~8題均有四個(gè)選項(xiàng),符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).1.如圖是某幾何體的三視圖,該幾何體是 ()A.圓柱 B.圓錐 C.三棱柱 D.長(zhǎng)方體2.2020年6月23日,北斗三號(hào)最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星從西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空,6月30日成功定點(diǎn)于距離地球36000公里的地球同步軌道.將36000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為 ()A.0.36×105 B.3.6×105 C.3.6×104 D.36×1033.如圖,AB和CD相交于點(diǎn)O,則下列結(jié)論正確的是 ()A.∠1=∠2 B.∠2=∠3C.∠1>∠4+∠5 D.∠2<∠54.下列圖形中,既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形的是 ()5.正五邊形的外角和為 ()A.180° B.360° C.540° D.720°6.實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示.若實(shí)數(shù)b滿足-a<b<a,則b的值可以是()A.2 B.-1 C.-2 D.-37.不透明的袋子中有兩個(gè)小球,上面分別寫著數(shù)字“1”“2”,除數(shù)字外兩個(gè)小球無(wú)其他差別.從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球,記錄其數(shù)字,放回并搖勻,再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球,記錄其數(shù)字,那么兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率是 ()A.14 B.13 C.128.有一個(gè)裝有水的容器,如圖所示.容器內(nèi)的水面高度是10cm,現(xiàn)向容器內(nèi)注水,并同時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí).在注水過(guò)程中,水面高度以每秒0.2cm的速度勻速增加,則容器注滿水之前,容器內(nèi)的水面高度與對(duì)應(yīng)的注水時(shí)間滿足的函數(shù)關(guān)系是 ()A.正比例函數(shù)關(guān)系 B.一次函數(shù)關(guān)系C.二次函數(shù)關(guān)系 D.反比例函數(shù)關(guān)系二、填空題(本題共16分,每小題2分)9.若代數(shù)式1x-7有意義,則實(shí)數(shù)x10.已知關(guān)于x的方程x2+2x+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則k的值是.

11.寫出一個(gè)比2大且比15小的整數(shù).

12.方程組x-y=113.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x與雙曲線y=mx交于A,B兩點(diǎn).若點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,則y1+y2的值為14.如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在BC上(不與點(diǎn)B,C重合).只需添加一個(gè)條件即可證明△ABD≌△ACD,這個(gè)條件可以是(寫出一個(gè)即可).

15.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,A,B,C,D是網(wǎng)格線交點(diǎn),則△ABC的面積與△ABD的面積的大小關(guān)系為:S△ABCS△ABD(填“>”“=”或“<”).

16.下圖是某劇場(chǎng)第一排座位分布圖.甲、乙、丙、丁四人購(gòu)票,所購(gòu)票數(shù)分別為2,3,4,5.每人選座購(gòu)票時(shí),只購(gòu)買第一排的座位相鄰的票,同時(shí)使自己所選的座位號(hào)之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后順序購(gòu)票,那么甲購(gòu)買1,2號(hào)座位的票,乙購(gòu)買3,5,7號(hào)座位的票,丙選座購(gòu)票后,丁無(wú)法購(gòu)買到第一排座位的票.若丙第一個(gè)購(gòu)票,要使其他三人都能購(gòu)買到第一排座位的票,寫出一種滿足條件的購(gòu)票的先后順序.

三、解答題(本題共68分,第17~20題,每小題5分,第21題6分,第22題5分,第23~24題,每小題6分,第25題5分,第26題6分,第27~28題,每小題7分)解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.17.計(jì)算:13-1+18+|-2|-6sin18.解不等式組:519.已知5x2-x-1=0,求代數(shù)式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值.20.已知:如圖,△ABC為銳角三角形,AB=AC,CD∥AB.求作:線段BP,使得點(diǎn)P在直線CD上,且∠ABP=12∠作法:①以點(diǎn)A為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,交直線CD于C,P兩點(diǎn);②連接BP.線段BP就是所求作的線段.(1)使用直尺和圓規(guī),依作法補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡);(2)完成下面的證明.證明:∵CD∥AB,∴∠ABP=.

∵AB=AC,∴點(diǎn)B在☉A上.又∵點(diǎn)C,P都在☉A上,∴∠BPC=12∠BAC()(填推理的依據(jù))∴∠ABP=12∠21.如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E是AD的中點(diǎn),點(diǎn)F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.(1)求證:四邊形OEFG是矩形;(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的長(zhǎng).22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象由函數(shù)y=x的圖象平移得到,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2).(1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式;(2)當(dāng)x>1時(shí),對(duì)于x的每一個(gè)值,函數(shù)y=mx(m≠0)的值大于一次函數(shù)y=kx+b的值,直接寫出m的取值范圍.23.如圖,AB為☉O的直徑,C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CD是☉O的切線,D為切點(diǎn),OF⊥AD于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F.(1)求證:∠ADC=∠AOF;(2)若sinC=13,BD=8,求EF的長(zhǎng)24.小云在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到一個(gè)函數(shù)y=16|x|(x2-x+1)(x≥-2)下面是小云對(duì)其探究的過(guò)程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:(1)當(dāng)-2≤x<0時(shí),對(duì)于函數(shù)y1=|x|,即y1=-x,當(dāng)-2≤x<0時(shí),y1隨x的增大而,且y1>0;

對(duì)于函數(shù)y2=x2-x+1,當(dāng)-2≤x<0時(shí),y2隨x的增大而,且y2>0;

結(jié)合上述分析,進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn),對(duì)于函數(shù)y,當(dāng)-2≤x<0時(shí),y隨x的增大而.

(2)當(dāng)x≥0時(shí),對(duì)于函數(shù)y,當(dāng)x≥0時(shí),y與x的幾組對(duì)應(yīng)值如下表:x0113253…y01171957…結(jié)合上表,進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn),當(dāng)x≥0時(shí),y隨x的增大而增大.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,畫(huà)出當(dāng)x≥0時(shí)的函數(shù)y的圖象.(3)過(guò)點(diǎn)(0,m)(m>0)作平行于x軸的直線l,結(jié)合(1)(2)的分析,解決問(wèn)題:若直線l與函數(shù)y=16|x|(x2-x+1)(x≥-2)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),則m的最大值是25.小云統(tǒng)計(jì)了自己所住小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量(單位:千克),相關(guān)信息如下:a.小云所住小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量統(tǒng)計(jì)圖:b.小云所住小區(qū)5月1日至30日分時(shí)段的廚余垃圾分出量的平均數(shù)如下:時(shí)段1日至10日11日至20日21日至30日平均數(shù)100170250(1)該小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量的平均數(shù)約為(結(jié)果取整數(shù));

(2)已知該小區(qū)4月的廚余垃圾分出量的平均數(shù)為60,則該小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量的平均數(shù)約為4月的倍(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位);

(3)記該小區(qū)5月1日至10日的廚余垃圾分出量的方差為s12,5月11日至20日的廚余垃圾分出量的方差為s22,5月21日至30日的廚余垃圾分出量的方差為s32.直接寫出s26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)為拋物線y=ax2+bx+c(a>0)上任意兩點(diǎn),其中x1<x2.(1)若拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,當(dāng)x1,x2為何值時(shí),y1=y2=c;(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=t.若對(duì)于x1+x2>3,都有y1<y2,求t的取值范圍.27.在△ABC中,∠C=90°,AC>BC,D是AB的中點(diǎn).E為直線AC上一動(dòng)點(diǎn),連接DE,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE,交直線BC于點(diǎn)F,連接EF.(1)如圖1,當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí),設(shè)AE=a,BF=b,求EF的長(zhǎng)(用含a,b的式子表示);(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí),依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線段AE,EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,☉O的半徑為1,A,B為☉O外兩點(diǎn),AB=1.給出如下定義:平移線段AB,得到☉O的弦A'B'(A',B'分別為點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)),線段AA'長(zhǎng)度的最小值稱為線段AB到☉O的“平移距離”.(1)如圖,平移線段AB得到☉O的長(zhǎng)度為1的弦P1P2和P3P4,則這兩條弦的位置關(guān)系是;在點(diǎn)P1,P2,P3,P4中,連接點(diǎn)A與點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度等于線段AB到☉O的“平移距離”;

(2)若點(diǎn)A,B都在直線y=3x+23上,記線段AB到☉O的“平移距離”為d1,求d1的最小值;(3)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,32,記線段AB到☉O的“平移距離”為d2,直接寫出d12020年北京市高級(jí)中等學(xué)校招生考試參考答案一、選擇題1.D根據(jù)題中三視圖可以判斷該幾何體是長(zhǎng)方體.故選D.2.C36000=3.6×104.故選C.3.A∠1和∠2是對(duì)頂角,所以∠1=∠2,選項(xiàng)A正確;∠2是△AOD的外角,所以∠2>∠3,同理∠2是△COB的外角,∠2>∠5,選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤;∠1是△COB的外角,所以∠1=∠4+∠5,選項(xiàng)C錯(cuò)誤.故選A.4.D選項(xiàng)A不是中心對(duì)稱圖形,是軸對(duì)稱圖形;選項(xiàng)B既不是中心對(duì)稱圖形也不是軸對(duì)稱圖形;選項(xiàng)C是中心對(duì)稱圖形,不是軸對(duì)稱圖形;選項(xiàng)D既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形.故選D.5.B多邊形的外角和是360°.故選B.6.B通過(guò)觀察數(shù)軸可知1<a<2,所以-2<-a<-1.因?yàn)?a<b<a,所以b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離一定小于2.觀察四個(gè)選項(xiàng),只有選項(xiàng)B符合.故選B.7.C解法一:摸兩次球,可能的結(jié)果有4種,分別為(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),數(shù)字之和為3的情況有2種,所以兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率為12.故選C解法二:畫(huà)樹(shù)狀圖如下.所以共有4種情況,它們發(fā)生的可能性相等,其中數(shù)字之和為3的情況有2種,所以兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率是24=18.B設(shè)注水時(shí)間為t秒,水面高度為hcm,當(dāng)t=0時(shí),h=10cm,所以不是正比例函數(shù)關(guān)系;又由題意可知,水面高度勻速增加,所以可知水面高度與對(duì)應(yīng)的注水時(shí)間是一次函數(shù)關(guān)系.故選B.二、填空題9.答案x≠7解析代數(shù)式1x-7有意義,即x-7≠0,解得x≠10.答案1解析一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以Δ=4-4k=0,解得k=1.11.答案答案不唯一,如:2解析1<2<2,3<15<4,所以比2大且比15小的整數(shù)為2或3.答案不唯一,寫出1個(gè)即可,如:2.12.答案x=2解析x-y=1,①3x+y=7,②①+②得4x=8,所以x=2.將x13.答案0解析根據(jù)題意可知直線y=x和雙曲線y=mx的交點(diǎn)為(-m,-m),(m,m),所以y1+y2=-m+m=0.14.答案答案不唯一,如:D是BC的中點(diǎn)解析根據(jù)題意可知AB=AC,∠B=∠C,若根據(jù)“邊角邊”判定△ABD≌△ACD,可以添加BD=CD(D是BC的中點(diǎn));若根據(jù)“角邊角”判定△ABD≌△ACD,可以添加∠BAD=∠CAD(AD平分∠BAC);若根據(jù)“角角邊”判定△ABD≌△ACD,可以添加∠BDA=∠CDA(AD⊥BC或∠ADC=90°),答案不唯一.15.答案=解析根據(jù)題中圖形可以求得△ABC的面積為4,△ABD的面積由割補(bǔ)法可求,為4,所以兩個(gè)三角形的面積相等.16.答案答案不唯一,如:丙、丁、甲、乙解析已知丙第一個(gè)購(gòu)票,且買4張,可知丙購(gòu)買的是3,1,2,4這四個(gè)位置,則左邊剩余6個(gè)位置,右邊剩余5個(gè)位置;若甲第二個(gè)購(gòu)票,則甲購(gòu)買的是5,7這兩個(gè)位置,此時(shí)只能是丁第三個(gè)購(gòu)票,乙最后購(gòu)票,否則無(wú)法滿足題意,即此時(shí)順序?yàn)楸?、甲、丁、?同理,若乙第二個(gè)購(gòu)票,則乙購(gòu)買的是5,7,9這三個(gè)位置,接下來(lái)只能是丁第三個(gè),甲第四個(gè),即此時(shí)順序?yàn)楸?、乙、丁、?若丁第二個(gè)購(gòu)票,則甲、乙順序無(wú)影響,即此時(shí)順序?yàn)楸?、丁、甲、?或丙、丁、乙、甲).三、解答題17.解析原式=3+32+2-6×22 (4分)=5. (5分)18.解析5x解不等式①,得x>1. (2分)解不等式②,得x<2. (4分)∴原不等式組的解集為1<x<2. (5分)19.解析(3x+2)(3x-2)+x(x-2)=9x2-4+x2-2x=10x2-2x-4. (3分)∵5x2-x-1=0,∴5x2-x=1.∴原式=2(5x2-x)-4=-2. (5分)20.解析(1)補(bǔ)全的圖形如圖所示.(2分)(2)∠BPC; (3分)一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半. (5分)21.解析(1)證明:∵菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∴DO=BO,∵E是AD的中點(diǎn),∴EO∥AB,∵EF∥OG,∴四邊形OEFG是平行四邊形,∵EF⊥AB,∴∠EFB=90°,∴四邊形OEFG是矩形. (3分)(2)∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AB=AD=10.在Rt△AOD中,E為AD的中點(diǎn),∴AE=12AD=5,OE=12AD=5.∵EF∴在Rt△AFE中,AF=AE2-E∵四邊形OEFG是矩形,∴FG=EO=5,∴BG=AB-AF-FG=2. (6分)22.解析(1)∵一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象由函數(shù)y=x的圖象平移得到,∴k=1. (1分)∵一次函數(shù)y=x+b的圖象過(guò)點(diǎn)(1,2),∴1+b=2,∴b=1. (2分)∴這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=x+1. (3分)(2)m≥2. (5分)詳解:當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)y=mx(m≠0)的值都大于y=x+1的值,即函數(shù)y=mx(m≠0)的圖象在直線y=x+1上方,臨界條件為當(dāng)x=1時(shí),兩條直線都過(guò)點(diǎn)(1,2),此時(shí)m=2,當(dāng)m>2時(shí),兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)向左移動(dòng),也能滿足當(dāng)x>1時(shí),y=mx(m≠0)的值都大于y=x+1的值.∴m的取值范圍為m≥2.23.解析(1)證明:連接OD,如圖.∵CD是☉O的切線,∴∠ODC=90°,∴∠ADC+∠ADO=90°.∵OF⊥AD于點(diǎn)E,∴∠AEO=90°,AE=DE,∴∠OAD+∠AOF=90°.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠ADC=∠AOF. (3分)(2)在Rt△CDO中,sinC=ODOC=1設(shè)OD=x,則OC=3x,BC=4x.∵AB為☉O的直徑,∴∠ADB=90°,∴∠AEO=∠ADB,∴OF∥BD,∴△COF∽△CBD,∴OFBD=OCBC.∵BD=8,∴OF=3x4x×8=6.∵AE=DE,AO=BO,∴OE∴EF=OF-OE=2. (6分)24.解析(1)減小;減小;減小. (3分)詳解:在函數(shù)y1=-x中,∵k=-1<0,∴當(dāng)-2≤x<0時(shí),y1隨x的增大而減小.∵y2=x2-x+1=x-122+34,∴其圖象的對(duì)稱軸為直線x=12,∴當(dāng)-2≤x<0時(shí),綜上所述,y=16|x|(x2-x+1)在-2≤x<0時(shí),y隨x的增大而減小(2)(4分)(3)73. (6分詳解:根據(jù)(1),可知當(dāng)-2≤x<0時(shí),y隨x的增大而減小,當(dāng)x=-2時(shí),y=73,所以若直線l與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),則m的取值范圍是0<m≤73,即最大值為25.解析(1)x=(100+170+250)×1030=520即答案為173. (2分)(2)17360≈2.9. (4分(3)s12>s22>s32詳解:根據(jù)題中圖象可知,1日到10日的數(shù)據(jù)最分散,21日到30日的數(shù)據(jù)最為集中,根據(jù)方差的意義可知s12>s226.解析(1)由拋物線的性質(zhì)可知,只有當(dāng)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x=1對(duì)稱時(shí),才有y1=y2.∵x1<x2,∴當(dāng)x2-1=1-x1時(shí),y1=y2.∵拋物線過(guò)點(diǎn)(0,c),∴x1=0,∴x2=2,∴當(dāng)x1=0,x2=2時(shí),y1=y2=c. (3分)(2)當(dāng)t≤32時(shí),∵x1+x2>3,x1<x2∴x2>32故當(dāng)t≤32時(shí),只需討論x2>t的情況①當(dāng)x1<t<x2時(shí),∵x1+x2>3,t≤32,∴x1+x2>2∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=t,且x1<t,∴t<2t-x1<x2.∵當(dāng)x=2t-x1時(shí),y=y1,且a>0,∴y1<y2,符合題意.②當(dāng)t≤x1<x2時(shí),∵a>0,∴y1<y2,符合題意,∴當(dāng)t≤32時(shí),對(duì)于x1+x2>3,都有y1<y2當(dāng)t>32時(shí),令x1=32,x2=t,此時(shí)x1+x2>3,但y1>y2,綜上所述,t的取值范圍是t≤32. (6分27.解析(1)∵D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),∴DE∥BC,∵DE⊥DF,∴∠EDF=90°,∴∠DFB=90°.∵∠C=90°,∴DF∥AC.∵BD=DA,∴BFFC=BDDA=1.∴BF=∵AE=a,BF=b,∴在Rt△ECF中,EF=CE2+CF2=AE2(2)依題意補(bǔ)全圖形,如圖.線段AE,EF,BF