PAGE貴州省貴陽市七校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，向量，則（

）A． B． C． D．2．若拋物線上有一點，其橫坐標(biāo)為2，則該點到焦點的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．“”是“直線與直線互相垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．如圖，在斜三棱柱中，為棱BC上靠近的三等分點，為的中點，設(shè)，則用表示為（

）A． B．C． D．5．如圖，在等腰梯形ABCD中，與CD之間的距離為3，O為AB的中點，則等腰梯形ABCD的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．6．在橢圓上有一點，左、右焦點分別為和，則下列說法正確的是（

）A．的周長為8B．存在點使得C．滿足的點有且只有4個D．如果線段的中點在軸上，此時的面積為7．如圖，在四面體ABCD中，，且，點滿足，則直線CE與AD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．已知為橢圓的兩個焦點，過原點的直線交橢圓于P，Q兩點.若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知直線和圓，則下列說法正確的有（

）A．直線過定點B．直線一定與圓相交C．直線被圓截得的最短弦長為4D．圓與圓有3條公切線10．如圖，在底面為直角梯形的直四棱柱中，，，動點滿足,），則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時，點到直線AC的距離為B．當(dāng)時，直線AP與平面所成角的正弦值是C．若，則點在平面內(nèi)D．若，則點在平面內(nèi)11．已知過點的拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸的交點為，過焦點作兩條相互垂直的直線分別交于A，B和M，N四點，則下列說法正確的是（

）A．若直線AB的斜率為1，則B．若點平分弦AB，則直線AB的方程為C．的最小值為D．若，則三、填空題12．已知雙曲線的漸近線方程為，其右焦點坐標(biāo)為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.13．已知為直線上一點，過作圓的切線，則最短切線長為．14．橢圓上有一動點，左、右焦點分別為和，過作圓的切線，切點分別為A，B兩點，則的最小值為.四、解答題15．已知直線過點且傾斜角為，圓的方程為.(1)求直線的方程；(2)已知直線與直線平行，且與圓相交所得弦長為2，求直線的方程.16．如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面ABCD，底面ABCD是矩形，其中是PD的中點.(1)求證：平面ACE；(2)若點為PB的中點，求點到平面ACE的距離.17．已知雙曲線的實軸長為2，焦距為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支交于兩點，為坐標(biāo)原點，求的面積.18．如圖甲所示，已知在長方形中，，且為BC的中點，將圖甲中沿折起，使得，如圖乙.(1)求證：平面平面AECD；(2)若點為線段的中點，求平面與平面夾角的余弦值；(3)若點是線段上的動點，且滿足，若平面與平面AECD的夾角為，求的值.19．如圖，在矩形ABCD中，分別是矩形四條邊的中點，點分別是OF，CF的等分點，直線和直線的交點為.(1)若，求點的坐標(biāo)并證明點在橢圓上；(2)證明：點在同一個橢圓上；(3)若.已知，過點作斜率為的直線交（2）中橢圓于S，T兩點，直線分別交直線于P，Q兩點，若，求的值.貴州省貴陽市七校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)答案1．D2．B3．A4．D5．A6．C7．B8．C9．ABC10．BCD11．ACD12．13．14．/15．(1)(2)或16．（1）如圖，連接AC，交BD于O，連接EO.因底面ABCD是矩形，則，又因是PD的中點，所以.又平面，平面，則平面.（2）因為底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，所以AB、AD、AP兩兩相互垂直.以A為原點，AB、AD、AP所在的直線分別為x軸，y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，E是PD的中點，所以，則，

設(shè)平面ACE的一個法向量為，那么，所以，令，則，所以，于是，所以點Q到平面ACE的距離為.17．（1）解：因為雙曲線的實軸長為，焦距為可得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：由直線過點且傾斜角為，可得直線的方程為聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則且，由弦長公式，可得，又由原點到直線的距離為，所以的面積為.18．（1）證明：在矩形中，因為，且為的中點，可得，所以，所以，所以，因為，，且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，過點作直線垂直于平面，以為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，則.，設(shè)平面的一個法向量，則，取，可得，所以，又由平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成夾角為，則，所以平面與平面AEF所成夾角的余弦值為.（3）解：由，可得，其中，則，設(shè)平面的一個法向量，則，取，可得，所以，又由平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成夾角為，則，解得，19．（1）當(dāng)時，直線①，直線②，聯(lián)立①②，得的坐標(biāo)為把的坐標(biāo)代入橢圓方程，有在橢圓上.（2）設(shè)，則.

則直線①，則直線②，在直線上，是方程①，②的解，①②，得，化簡得點在同一個橢圓上.（3）當(dāng)時，橢圓：，將橢圓向右平移兩個單位長度，則橢圓即是