專題04指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

因考點一；指數(shù)

1.（2023福建）已知2m=4,2"=8,則2吁”的值為（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】D

【知識點】指數(shù)累的運算

【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運算法則計算作答.

【詳解】因為2"'=4,2"=8,所以**=2-x2"=4x8=32.

故選：D

2.（2022浙江）設(shè)a>0,下列選項中正確的是（）

【答案】A

【知識點】指數(shù)基的運算、指數(shù)嘉的化簡、求值

【分析】利用分數(shù)指數(shù)幕以及指數(shù)的運算性質(zhì)求解.

/]\3?

【詳解】對于A,a3=。3*3=〃，故A正確；

\Z

對于B,若=〃。=],故B錯誤；

對于c,Lt_M.dr,故c錯誤；

對于D,。+6=彳=。==廣，故D錯誤.

a-

故選：A.

3.（2023河北）己知。>0,下列運算正確的是（）

a-i-a2-a

【答案】D

【知識點】指數(shù)塞的運算

【分析】根據(jù)指數(shù)界的運算法則依次計算得到答案.

【詳解】對選項A：故A錯誤；

對選項B：i,3,故B錯誤;

對選項C：±-2.>2--L故C錯誤；

14U-C4—L4

/1\2L,

對選項D：a2=a2=a,故D正確.

\/

故選：D

4.（2023廣東）下列運算錯誤的是（）

A.a3+a3=2a6B.

C./?/=曉D.(-2a2)3=-8aA

【答案】A

【知識點】指數(shù)塞的運算

【分析】根據(jù)指數(shù)器的運算規(guī)則，逐個驗證選項.

【詳解】/+/=2/,選項A的運算錯誤；

7*4-3=417=/，選項B的運算正確；

/.03=/+3=46,選項C的運算正確；

（-2/丫=（-2戶（/丫=-8/,選項D的運算正確；

運算錯誤的是A,

故選：A

5.（2022湖南）8L.

【答案】2

【知識點】指數(shù)塞的運算

【分析】根據(jù)指數(shù)基的運算，直接計算求值即可.

【詳解】解：83=（23）5=2-

故答案為：2.

片目考點二;指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.（2022河北）已知函數(shù)/（x）=x（3'+e3r）為偶函數(shù)，則實數(shù)。=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【知識點】由奇偶性求參數(shù)、求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【詳解】因為函數(shù)/"）=無（3'+〃3'）為偶困數(shù)，又函數(shù)/（工）=耳3、十夕3-，）的定義域為R,

所以=/（x），即T（3-'+a3）=x（3、+^-3-j,

所以（a+1乂3、+3-卜=0對任意的x恒成立，

又3”+3T＞0,所以a+l=0,解得。=一1.

故選：B

2.（2024新疆）已知函數(shù)/（x）=l-2、且f（3-2t）＞f（t）,則/的取值范圍是（）

A.（-8,-1）B.（-1,+co）

C.（-co,l）D.（1，田）

【答案】D

【知識點】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得到不等式，解出即可.

【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知/（幻=1-2,為單調(diào)減函數(shù)，

因為/（3-2亡）＞/（￡）,則3-2t＜如解得,＞1,

則，的取值范圍是(1,+8).

故選：D.

【答案】B

【知識點】函數(shù)圖像的識別、判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及定點即可判斷.

【詳解】函數(shù)單調(diào)遞增，且過點(0,1),B選項滿足條件.

故選：B

4.(2024浙江)函數(shù)/(x)=2'+l的值域是()

A.(0,+oo)B.(0,-Ko]C.(1,-KO)D.[l,+8)

【答案】C

【知識點】求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

【分析】根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域分析求解.

【詳解】由題意可得：y=2"的值域是(0,y0),即2，>0,可得/(x)=2'+I>l,

所以〃x)=2，+l的值域是(1,+8),

故選：C.

5.(2023遼寧)已知函數(shù)/(x)=3'(X￡R),g(x)=(￡j(xeRj,則函數(shù)/("的圖象和g(x)的圖象()

A.關(guān)于x軸對稱B.關(guān)于，軸對稱

C.關(guān)于原點對稱D.關(guān)于直線y=x對稱

【答案】B

【知識點】指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用

【分析】在/(x)=3'(xeR)的圖象上任取一點(。力)，可得點(-。㈤在g(x)=(；](xwR)的圖象上，從而

得解.

【詳解】在f（x）=3、（％eR）的圖象上任取一點（。?。?則3。=人

因為g（-a）=R=3-…=3"=6,

所以點（-。,與在g（x）=g[（xwR）的圖象上，

則函數(shù)/（丫）的圖象和8（丫）的圖象關(guān)于P軸對稱.

故選：B.

6.（2023黑龍江）函數(shù)尸"+1（a>0,且"1）圖象過的定點是（）

A.（0,-1）B.（0,0）C.（0,-2）D.（0,2）

【答案】D

【知識點】指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題

【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)直接判斷即可.

【詳解】由于指數(shù)函數(shù)y=（。>0,且〃"）圖象過定點（0,1）,

所以函數(shù)y="+l（〃>0,且a=圖象過定點（0,2）.

故選：D

7.（2023甘肅）已知指數(shù)函數(shù)/（工）=（〃-1）"的圖象經(jīng)過點則必=（）

1

A.4B.1C.2D.-

2

【答案】A

【知識點】指數(shù)函數(shù)的判定與求值、求指數(shù)函數(shù)解析式

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征，結(jié)合經(jīng)過的點即可求解.

（1\

【詳解】由指數(shù)函數(shù)/（力=（。-1）6、的圖象經(jīng)過點-1,-可得

\]）

儲-1=1c

/1，解得人力

（G—1）力=—[p=2

所以4〃=4,

故選：A

8.（2024廣東）函數(shù)》=21-2（工工2）的值域為（）

（3、（3、

A.--,+ooB.（-a）,0]C.（-2,0]D.-00,--

【答案】C

【知識點】求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=2'-2的單調(diào)性來得到值域.

【詳解】因為XW2,那么可知x-lWl,

而函數(shù)y=2、在R上是增函數(shù)，故有：0<21〈2:2,

所以:-2<j，=2'—2W0,故C項正確

故選：C.

9.（2023湖北）設(shè)a,b,c,?！际遣坏扔?的正數(shù)，函數(shù)y==，在同一直角坐標系

中的圖象如圖所示，則。，b,%〃的大小關(guān)系是（）

y=bxyk.y=^

B.b<a<d<cC.c<d<a<bD.d<c<b<a

【答案】B

【知識點】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象判斷參數(shù)的范圍

【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定。，b,c,d與1的關(guān)系，再由x=l時，函數(shù)值的大小判斷.

【詳解】因為當?shù)讛?shù)大于1時，指數(shù)函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，

當?shù)讛?shù)大于0且小于1時，指數(shù)函數(shù)是定義域上的減函數(shù)，

所以c,d大于1,a,〃大于0且小于1,

由圖知：c'>d'f即c>d,b'<a'>即b<a,

所以〃

故選：B

10.（2023浙江）已知函數(shù)/（x）=M+Z）的圖象如圖所示，則函數(shù)g（x）=（x-/）a-6）的大致圖象為（）

101/1工

【答案】A

【知識點】函數(shù)圖像的識別、指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合函數(shù)/8)-優(yōu)十人的圖象可求得以力的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的圖

象即可得解.

【詳解】函數(shù)/(x)=a'+b的圖象是由函數(shù)｝="的圖象向下或向上平移回個單位得到的，

由函數(shù)/(%)=優(yōu)的圖象可得函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，則0<a<I,

令x=0得〃+1e(-1,0),貝

則函數(shù)g(x)=(x-0(x-6)的大致圖象為A選項.

故選：A.

11.(2023浙江)把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是4℃,空氣的溫度是那么fmin

后物體的溫度e°c可由公式0=%+他-4"4求得，其中A是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常

數(shù).現(xiàn)有一物體放在15。(2的空氣中冷卻，Imin物體的溫度為5HC,再過】min后物體的溫度為40。(2,則該

物體的初始溫度約為()(結(jié)果精確到個位)

A.66℃B.67℃C.68℃D.69℃

【答案】B

【知識點】指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用(1)

【分析】由題意可得51=15+(a-15)e",40=15+他-15卜一”,求解即可.

n_1c

【詳解】由題意可知，51=15+(4-15)rnf=區(qū)廣

<9,-15

40=15+(4-15)eN=>e2A

25

所以(4-15);^11615w0，?.?4—15=舞=0產(chǎn)67,

36225,25

故選：B

12.(2023浙江)已知函數(shù)/。)=y”+--2工，則使得〃x)>/(2x)成立的x的取值范圍是.

【答案】(0,：］

【知識點】函數(shù)對稱性的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、判斷指數(shù)型復(fù)合

函數(shù)的單調(diào)性

【分析】令g(x)=e3-i,則/(X)的圖象是由g(x)的圖象向右平移1個單位得到，分析g(x)的奇偶性

與單調(diào)性，即可得到/(力的單調(diào)性與對稱性，則/(x)>/(2x)等價于卜-1|>|2.1],解得即可.

【詳解】因為/(工)=/-1+'2—2.x=/T+(x—球―1,貝|」/(犬+1)=陰+--1,

令g(x)=e'+/—i,則/(x)的圖象是由g(x)的圖象向右平移1個單位得到，

1v|2w2

Xg(_.r)=e-+(-x)-1=e+x-1=g(x),即g(x)=陰為偶函數(shù)，

且當八NO時g(x)=c，+/-1,所以g(x)在乩十/)上單調(diào)遞增，則g(x)在(-0,0)上單調(diào)遞減，

所以/(”在(1,+功上單調(diào)遞增，在(f,l)上單調(diào)遞減，且關(guān)于x=l對稱，

所以/(x)>/(2“時，W|x-l|>|2x-l|,解得0<x<$

故答案為：(01)

13.(2023福建)函數(shù)/(x)=l-號?，川wR.

⑴求函數(shù)/*)的定義域；

(2)若/。)為奇函數(shù)，求〃[的值；

(3)當〃?=-4時，不等/(工)〃-在xw(0,+8)恒成立，求A的取值范圍.

【答案】(l)(—8,0)U(0,+8)

(2)陽=-2

(3)^<9

【知識點】基本不等式求和的最小值、由奇偶性求參數(shù)、具體函數(shù)的定義域、函數(shù)不等式恒成立問題

【分析】(1)由具體函數(shù)的定義域可得仃-1+0,求解即可；

(2)由“x)+/(-x)=O化簡即可得出答案；

(3)由題意可得爐+與之人在xe(0,+oo)恒成立，令4工)=/+學(xué)二，由基本不等式求出g(x)a即可得

出答案.

【詳解】(1)依題意可得9-1W0,解得XHO,

所以/(X)的定義域為(-8,0)u(0,+oc).

(2)若〃x)為奇函數(shù)，所以/(x)+/(-x)=O,

,m,m八brl—tnfn

所以2=m

m-me

所以2=/-+公-----=-m所以〃7=-2.

eA-1l-erev-l

4

(3)當機=-4時，/(工)=1+巨_

4

所以不等式/（x）＞kb在xw（0,XO）恒成立，即1+士＞2,

e-1

4c'4ex

即e'十二一之上，令g(x)=d+

er-l

g(')=e、+導(dǎo)eT+4(e'-l|+44

-....—+1=ev-l+—+5>

er-lev-l

因為xe（0,+8）,所以e'-le（O,+a＞）,

所以e—+島+5T（J）m+5=9,

4

當且僅當e'-1=7匚取等，

e-1

/4x、

所以“4e*+*=9.

Ie-1兒、

故女的取值范圍為AK9.

14.（2023寧夏）已知函數(shù)/（工）=/十1（。＞0,"41）的圖象經(jīng)過點（2,5）.

（1）求/（》）的解析式；

（2）求函數(shù)y=/（》）在區(qū)間［-2,2］上的值域.

【答案】（1）/（力=2,+1

⑵.

【知識點】求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、求解析式中的參數(shù)值

【分析】（1）將點（2,5）的坐標代入函數(shù)中可求出。的值，從而可求出函數(shù)解析式；

（2）由/"）在［-2,2］上是增函數(shù)，求出函數(shù)的最大值和最小值，從而可求出函數(shù)的值域.

【詳解】（1）因為函數(shù)圖象過點（2,5）,

所以/⑵=/+1=5,

所以＜/=4,解得。=±2,

因為。＞0,所以。=2,

所以/（x）=2、+l,

（2）因為y=2、在R上為增函數(shù)，

所以/。）=2'+1在［-2,2］上是增函數(shù)，

所以/（%、=八2）=5，

，心〃-2）=：,

所以函數(shù)的值域為；，5.

,4,

15.(2023浙江)已知函數(shù)f(x)=2川,g(x)=x\x-2a\.

⑴若g(x)是奇函數(shù)，求。的值并判斷g*)的單調(diào)性(單調(diào)性不需證明)；

(2)對任意引田-1,+8),總存在唯一的工€［2,內(nèi))，使得/(xj=g(%)成立，求正實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(l)a=0,g(x)在R上單調(diào)遞增

44

【知識點】判斷二次函數(shù)的單調(diào)性和求解單調(diào)區(qū)間、求已知指數(shù)型函數(shù)的最值、由奇偶性求參數(shù)、根據(jù)解

析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性

【分析】(1)函數(shù)為奇函數(shù)，舉特例求出。的值，再證明函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)》的正負，可觀察出g(x)=x|x|

在R上單調(diào)性.

(2)由題意可知/(石)41,+8),而g(x)=(2r'-c，分2〃W2,2<2”4,2“24討論求解.

-x"+2ar.x<la

【詳解】(1)???g(x)為奇函數(shù)，

則g(l)+g(—l)=|l—24-|l+24=0,解得4=0.

此時g(X)=x|x|,

又g(x)+g(-x)=x|x|-x|x|=0,又g(x)的定義域為R,

此時g(x)為奇函數(shù)

所以若g(x)為奇函數(shù)，4=0,

當x2()時，g(x)=Y在［0,+8)上單調(diào)遞增，

當.”0時，g(x)=-V在(-8,0)上單調(diào)遞增，

又g(x)為定義在R上的連續(xù)函數(shù)，

故g(x)在R上單調(diào)遞增.

(2)當時，/(x)=2"l?，?/(x)w［L+oo)

x~-2axx>2a

g(x)=，y

-x2+2ar,x<2a

①當2aW2時，g(x)在［2,內(nèi))上單調(diào)遞增，???g(2)=4-4q?l,。之彳，：.^<a<\.

②當2<2a<4時，g(x)在［2,2a］上單調(diào)遞減，在［2生”)上單調(diào)遞增.

,g(2)=-4+4a<1,4<：，1<tz<.

③當2a24時，g(x)在［2,可上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在［2a,”)上單調(diào)遞增.

?，?g（Q）=+2/<1,-1<67<1,不成立.

35

綜上可知，—<a<—.

44

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題中對任意王￡[-1,+8）,總存在唯一的電W[2,+R）,使得/（xJ=g（X2）成立的理解

及合理轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵所在，先處理任意為6[-1，”），求出函數(shù)的值域，為工一），則總存在唯一的

22+8）,使得/（z）=g（X2）成立轉(zhuǎn)化為g⑴值域包含口,+00）且在g（X”l時函數(shù)單調(diào)，據(jù)此可分類討論,

列出不等式求解.

16.（2024浙江）設(shè)函數(shù)/（x）=a+3l/cR）.

⑴判斷函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,+8）和（-8,0）上的單調(diào)性（不需要證明過程）；

（2）若函數(shù)/（X）在其定義域內(nèi)為奇函數(shù)，求“與人的關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，當4=1時，不等式/（X）”?『在xe（0,+oo）恒成立，求％的取值范圍.

【答案】（1）答案見解析

（2）6=2〃

⑶k?2a+3

【知識點】基本（均值）不等式的應(yīng)用、函數(shù)不等式恒成立問題、判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶

性求參數(shù)

【分析】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷出結(jié)論；

（2）利用奇函數(shù)定義可求得6=為，經(jīng)驗證滿足題意；

（3）將不等式轉(zhuǎn)化成&W3'-1+W+3在%€（0,+8）恒成立，再利用基本不等式即可得出AW2J2+3.

【詳解】（1）由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知p=3'-l單調(diào)遞增，

對分分類討論如下：

①當〃=0時，/（X）為常函數(shù)；

②當/>>0時，/（X）在區(qū)間（-。0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0,+⑹上單調(diào)遞減

③當6<0時，“X）在區(qū)間（-8,0）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增

（2）易知函數(shù)/（x）的定義域為（田,0）。（0,+8）,

???/（X）是奇函數(shù)，.??/（X）+/（T）=O，

bb（2a-b\y+（b-2a\八

H即nq+----+a+------=0=>------2——-------L=o,

y-\3-*-l3*-l

所以。=2”，

經(jīng)驗證/）=2o時，滿足）=-八>）,

所以。與6的關(guān)系式為占=2-

2

（3）由已知得/（x）=l+不、之A3*,

VX14-22

整理可得：k＜3+—=3+-）=3v_i）3在x￡（0,+8）恒成立，

y-\r-\3x-i

由基本不等式可得3T+一一+3226+3,

3-1

當且僅當（31）2=2時，即尤=］0g3（五+1）時，等號成立，

所以心2及+3.

17.（2023浙江）已知定義在R上的函數(shù)/（x）=”4匚2川+”加（〃?eR）.

⑴當機=1時，求/（X）的值域；

（2）若函數(shù)/（X）在（1,位）上單調(diào)遞增，求實數(shù)〃，的取值范圍；

⑶若函數(shù)y=g（x）的定義域內(nèi)存在使得g（a+x°）+g（。-/）=26成立，則稱g。）為局部對稱函數(shù)，其

中伍力）為函數(shù)g（x）的局部對稱點.若（L0）是/（x）的局部對稱點，求實數(shù)用的取值范圍.

【答案】（1）［T,M）

（2）；,+8）

⑶（05

【知識點】求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、由指數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)、基本不等式求和的最小值

【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得/（x）的值域.

（2）利用換元法，對，〃進行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得〃?的取值范圍.

（3）由/（1+》）+/（1-切=0分離參數(shù)小，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得機的取值范圍.

【詳解】（1）當機=1時，f（x）=4'-2v+,=（2A）2-2.2K=（2X-1）2-1,

由于2、＞0,所以/卜）=伍_1『_］之_1,當2，=1,x=0時等號成立，

所以/（x）的值域為［T+8）.

（2）依題意，函數(shù)/（x）在（1,一）上單調(diào)遞增，

f（x）=w4X-2v+,+1-W=/H（2V）2-2-2V+I-W,

當了＞1時，令E=2'＞2,貝！Jy=/-2/+l-m①，

當陽=0時，y=~2t+\f在（2,+8）上單調(diào)遞減，

即/（X）在（L”）上單調(diào)遞減，不符合題意.

當陽＞0時，①的對稱軸f=’＞（）,

2rnm

栗使/（X）在（1,+s）上單調(diào)遞增，貝1」夕—〃/-2'+1-〃?在（2,+8）上單調(diào)遞增，

m>0

所以“1，解得〃】之:.

—<22

jn

—21

當用<0時，①的對稱軸，=一二=一<0,

2mm

~1、

函數(shù)歹=〃?/-2/+1-機的開口向下，在區(qū)間一,+8上單調(diào)遞減，不符合題意.

綜上所述，機的取值范圍是最+g).

(3)根據(jù)局部對稱函數(shù)的定義可知，/(l+x)+/(l-x)=0,

即吐4-、-2,+'+,+1-/?+-2'-x+,+l-w=0,

4">4'+4”47—2機一42—4-27+2=(),

2w-4t+2w-4^-w-2-2t-2-2'x+i=0,

2-2r+2-2-r-l人,----------

m=r-，'令$=2-2、+2-2-*—1225/2?2。2?2-工一1=3,

2-4+2-4-1

當且僅當22,=2-2'x=0時等號成立,

貝代2=4,4、+44*+1+2（4-22-2-2、）=44+44,+9-42-4-2

=4,4'+4?4-、-2?（2,2*+2?2-、-1）+7=4?4、+4-4^-25+7,

所以24+2?47—1=*+2S-9,

2

〃」=-----5----=-----2-5---=----2---

2

貝Us^2s-9S+2S-9S._9+2，

2s

aoa

函數(shù)y=s-己+2在區(qū)間［3,+8）上單調(diào)遞增，所以y=s-己+2N3—g+2=2,

SS3

2

所以〃?=F；T°』，

s-----1-2

所以小的取值范圍是(0』］.

【點睛】關(guān)鍵點睛：形如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)結(jié)合的問題，無論是單調(diào)性還是值域(最值)，都可以考慮

利用換元法，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來進行求解.研究含參數(shù)的二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵點是對參數(shù)進行分類

討論，結(jié)合二次函數(shù)的開口方向、單調(diào)性、值域等知識可將問題解決.

需考點三;對數(shù)

1.（2024福建）已知函數(shù)/（x）=lgx,則/。0）=（）

A.0B.1C.2D.10

【答案】B

【知識點】求函數(shù)值、對數(shù)的運算

【分析】根據(jù)特殊對數(shù)值，代入即可求解.

【詳解】/(1())=lgl()=l.

故選：B

2.(2024浙江)已知。＞0,則下列計算正確的是()

C.-------=始2D.log,a+log,—=1

log,aa

【答案】C

【知識點】運用換底公式化簡計算、對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、指數(shù)塞的運算

【分析】由公式可得A、B；換底公式可得C；log；：=2log：可得D.

m

【詳解】仲步故A錯—W*…0,故B錯;

Ina_Ina_舊2\

log,a~\na~，故C對；log.a+log3-=log^a-iog3tz=0,故D錯.

h?2"

故選：C.

3.(2024北京)log62+log63=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用

【分析】直接利用對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.

【詳解】log62+log63=log6(2x3j=log66=l.

故選：B.

4.(2023北京)(；)-log39=()

A.-5B.-1C.0D.1

【答案】B

【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、指數(shù)塞的化簡、求值

【分析】根據(jù)指數(shù)幕的性質(zhì)及對數(shù)的運算求解.

2

[詳解]—-lOg39=l-log33=1-2="!.

故選：B

5.（2023遼寧）若1g。和3是方程的兩個根，則必等于（）

A.-1B.-C.1D.10

10

【答案】D

【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用

【分析】根據(jù)韋達定理，結(jié)合對數(shù)運算計算即得.

【詳解】由3和3是方程/7_]=（）的兩個根，得3+3=1,即電（"）=1,

所以=10.

故選：D

6.（2022廣東）下列算式正確的是（）

A.lgl0+lg2=lg12B.lg5+lg2=10

C.lg50-lg2=lg48D.lg60-lg5=lg12

【答案】D

【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用

【分析】

根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】對于A,lgl0+lg2=lg20,故A錯誤；

對于B,Ig5+lg2=lgl（）=l,故B錯誤；

對于C,lg50-lg2=lg25,故C錯誤；

對于D,lg60-lg5=lgl2,故D正確.

故選：D.

7.（2023黑龍江）10g35+k）g[=（）

A.0B.1C.3D.5

【答案】A

【知識點】對數(shù)的概念判斷與求值、對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則運算求解.

【詳解】由題意可得：log35+log3!=log/5xF|=logJ=0.

故選:A.

8.（2023浙江）下列算式計算正確的是（）

2

A.2.[=]B.4?x4'=0C.log、我=1D.Ig31g5=lgl5

【答案】C

【知識點】指數(shù)塞的運算、對數(shù)的運算

【分析】利用指數(shù)箱運算法則與對數(shù)運算法則求解即可.

【詳解】對于A,因為停j=l,所以停）

工1，故A錯誤;

對于B,42x4"=4~~2=4°=1,故B錯誤;

對于C,log,V8=log,2=1,故C正確；

對于D,因為Ig3+lg5=lgl5,所以Ig31g5wlgl5,故D錯誤.

故選：C.

Q

9.（2023天津）已知2”=3，log4-=^,則x+2y的值為（）

3

A.-B.3C.4D.8

2

【答案】B

【知識點】指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、運用換底公式化簡計算

【分析】先求得x的值，再利用對數(shù)運算性質(zhì)即可求得》+2歹的值.

【詳解】由2、=3,可得x=bg23,

88

則；+2y=log23+210gl-=log,3+Iog2-=log28=3

故選：B

10.（2023湖南）已知log2（log4X）=0，那么（）

11

A.2B.-2C.-D.——

22

【答案】C

【知識點】指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算

【分析】根據(jù)對數(shù)運算的知識求得x,進而求得

【詳解】依題意，log2（log4x）=0,

所以叫尸=1,所以x=4,

-1-1II

所以…42kl

故選：c

11.（2023重慶）log;S0-log210=（）

A.70B.log,70C.3

【答案】C

【知識點】對數(shù)的運算

【分析】根據(jù)對數(shù)運算公式求解.

3

【詳解】log280-log210=log2^=log28=log2=3.

故選：C

12.（2024北京）log（、4+log69=.

【答案】2

【知識點】對數(shù)的運算

【分析】由同底數(shù)的對數(shù)計算公式化簡，即可得出結(jié)果.

［詳解】log64+log69=log64x9=log636=2.

故答案為：2.

13.（2023安徽）愴10+端=.

【答案】0

【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、對數(shù)的運算

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.

【詳解】lgl0+lg^=lg（10xl.j=0,

故答案為：0

14.（2023寧夏）2"%**=

【答案】8

【知識點】對數(shù)的運算

【分析】由指數(shù)、對數(shù)的運算公式即可求得.

【詳解】由指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)可得*啕4=2x2臉4=2x4=8.

故答案為：8

15.（2022廣東）計算：log,8+log：=_____

22

【答案】2

【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用

【分析】根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)即可求解.

A-,

【詳解】log28+log^-=log224-log22=3-1=2.

故答案為：2

16.(2023浙江)計算12rp=__________,lg2-lg1=___________.

164J5

【答案】|41

【知識點】指數(shù)幕的運算、對數(shù)的運算

【分析】根據(jù)指數(shù)嘉的運算法則及對數(shù)的運算法則計算可得.

I詳解唱『摘『鏟￡

lg2-lg-^=lg^24-^=lgl0=l.

故答案為：1

雷考點四：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1.(2024湖北)若函數(shù)/(%)滿足〃對定義域內(nèi)任意實數(shù)。力，都有則/(%)可以

是()

A./(x)=xB./(x)=x2

C.f(x)=2xD./(x)=ln.v

【答案】A

【知識點】對數(shù)的運算、求函數(shù)值、比較函數(shù)值的大小關(guān)系

【分析】根據(jù)解析式代入檢驗判斷A,取特殊值檢驗判斷BC,根據(jù)解析式及基本不等式可判斷D.

【詳解】對A,/(干卜學(xué)，空,所以滿足條件，故A正確；

對瓦取〃=01=1,m，“。)；/⑴=；,不滿足條件，故B錯誤；

對C,取a=0,b=l,/(￡|S"°)；""二號=,，不滿足條件，故c錯誤；

對D,訴…"字］=—,/(〃)+/⑸=皿3皿=m曬

'I2J2222

由?之而知當。工人時，*氏故/修口/)；/㈤,故D錯誤.

4/>乙)乙

故選：A

2.(2022河北)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)的是()

i2

A./(.r)=ln-B./(x)=——C./(.r)=x2-3xD./(X)=

xx

【答案】B

【知識點】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的單調(diào)性即可.

【詳解】對于A,函數(shù)y=在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)/在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減,

X

所以函數(shù)/（x）=ln：在區(qū)間（0,+8）上為減函數(shù)，A選項錯誤；

7

對于B,由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，/（戈）=-±在區(qū)間（0,+。）上為增函數(shù)，B選項正確;

X

對于C,由二次函數(shù)性質(zhì)可知，/（x）=--3x在Io,：］上單調(diào)遞減，在（々一）上單調(diào)遞增，C選項錯誤;

、2）Iz/

對于D,由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，/（x）=（j）在區(qū)間（0,+句上為減函數(shù)，D選項錯誤.

故選：B

3.（2023廣西）對數(shù)函數(shù)y=log2、的圖象經(jīng)過點（）

A.（1,0）B.（3,0）C.（5,0）D.（7,0）

【答案】A

【知識點】對數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題

【分析】令y=o即可.

【詳解】令y=iog2》=0,解得x=i,

則其過點（1,0）.

故選：A.

4.（2023安徽）下列函數(shù)為減函數(shù)的是（）

（］、*

3

A.y=\x\B.y=xC.y=10g3xD.y=-

［3,

【答案】D

【知識點】根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

【分析】根據(jù)基本函數(shù)的單調(diào)性即可結(jié)合選項逐一求解.

【詳解】對于A,/（》）=卜|,由于八1）=/（-1）,所以不是減函數(shù)，

對于B,y=d為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

對于c,y=log/為（0,+3）上的單調(diào)遞增函數(shù)，

對于D,y=^\為R單調(diào)遞減函數(shù)，

故選：D

5.(2024江蘇)函數(shù)/(幻=1。8“(2工一3)+5(a>0,。工1)的圖象過定點A,則A的坐標為()

A.(1,0)B.(1,5)C.(2,5)D.(2,6)

【答案】C

【知識點】對數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題

【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)所過的定點坐標.

【詳解】令2%-3=1,則x=2,此時〃x)=k)g/+5=5,故定點A的坐標為(2,5).

故選：C

6.(2023新疆)下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間［-1］］上單調(diào)遞減的是()

A./(x)=x2+xB.f(x)=x3

c.f(x)=2x+2-xD./(Y)=ln

\2+xJ

【答案】D

【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性

【分析】A：根據(jù)奇偶性作出判斷；B：根據(jù)單調(diào)性作出判斷；C：根據(jù)奇偶性作出判斷；D：根據(jù)奇偶性和

單調(diào)性作出判斷.

【詳解】對于A：/(X)為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；

對干B：由幕函數(shù)性質(zhì)可知/(幻=,一在［-1』上單調(diào)遞增.故B錯誤：

對于C:/(x)的定義域為(—,+8)且關(guān)于原點對稱，

又〃r)=27+2x=/(x),所以/(x)是偶函數(shù)，故C錯誤；

對于D：因為f>0,所以-2<x<2,所以/(力的定義域為(-2,2)且關(guān)于原點對稱,

2+x

又"-x)=ln［衿］=ln=_"衿=-/?),所以/(X)為奇函數(shù)，

pEd//\I(2—x、.(—2—x+4］(4)

又因為/(x)=ln—=ln-----=ln-1+--,

V2+xJI2+x)V2+.rJ

且y=x+2在卜1,1］上單調(diào)遞增，所以y=『一在卜1』上單調(diào)遞減，

4人

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知/(x)=ln］-l+*)在卜1』上單調(diào)遞減，故D正確;

故選：D.

7.(2023四川)函數(shù)/(丫)=|h詞的圖象是()

【知識點】函數(shù)圖像的識別、判斷對數(shù)型函數(shù)的圖象形狀

【分析】根據(jù)函數(shù)定義域及函數(shù)值的正負判斷即可.

【詳解】因為/但叩詞的定義域為(0,田)，故BD錯誤；

又/(X)寸同30,故c錯誤；故A正確.

故選：A

江蘇)已知函數(shù)/(x)=[bg*-貝lj/(13-a)等于()

8.(2023Y>1K/(^)=-4,

715-31

A.—B.-----C.—D.—

4844

【答案】B

【知識點】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，先求得明再求得

a<1[a>1

【詳解】依題意，。/或|-，解得。二15,

2-2=-4[-log2(?+l)=-4

所以/(13-。)=/(-2)=2-3-2=-號.

O

故選：B

9.(2023遼寧)已知函數(shù)/⑺*)'與g(x)的圖象關(guān)于一對稱，則g(1+l)的值域為()

A.(0,+8)B.[0,+oo)C.(-oo,0)D.(-oo,0]

【答案】D

【知識點】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、求二次函數(shù)的值域或最值、求反函數(shù)

【分析】根據(jù)對稱性可知8(工)=1咤產(chǎn)，利用二次函數(shù)及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可求得值域為

3

【詳解】因為/(》)=(1]與g(x)的圖象關(guān)于y=x對稱，所以/(力與g(x)互為反函數(shù)，

13,

即可得g（x）=log產(chǎn).

3

因為所以X?+121,

因為0＜；＜1，所以gW+ogJ在［1，+8）上單調(diào)遞減，

即可得log；（丁+1）w。，即g卜2+］）的值域為（―,0］.

故選：D.

10.（2024湖南）若X￡［1,4］,則函數(shù)/（x）=l°g產(chǎn)的最大值與最小值的和為.

2

【答案】-2

【知識點】研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最值即可.

【詳解】因為函數(shù)/（、）=108尸在xe［l，4］上單調(diào)遞減，

2

所以/（^）max=/（D=logJ=0,〃X）mln=/（4）=logi4=-2,

22

所以〃。皿+/（初加=-2

故答案為：-2

11.（2023江蘇）已知函數(shù)/3=1。82?唾2，

I乙

⑴當收［2,8］時，求該函數(shù)/⑴的值域；

⑵若不等式,/（x）＞加1。氏x在x句4,16］上有解，求m的取值范圍.

【答案】（1J—：,2

（2）卜8,5

【知識點】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、對數(shù)函數(shù)最值與不等式的綜合問題

【分析】（1）換元令log?x=/,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求值域；

（2）換元令log2“=f,整理可得，十3Z，〃在/e［2,4］上有解，根據(jù)存在性問題分析求解.

YY

【詳解】（1）因為/（》）=1082/。82三=。。82》-2）（1084-1）,

由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，當工42力］時，log2xe［l,3］,

令bg?x=/,令［1,3］,即可得g（/）=（-2）（-1）=J—匯+2,

可知g1）=--3/+2的開口向上，對稱軸為/=■!，

由二次函數(shù)性質(zhì)可知當Z=T時，g(/)mm=4,當，=3時，g(入，=2,

所以可得當xe[2,8]時，函數(shù)/("的值域為-；,2.

(2)當xe[4,16]時，可得log?xw[2,4],令四4=/,/e[2,4],

可得(一2)(/—1)=r—3/+2NM,即『一夕+22〃〃在止[2,4]上有解，

整理可得1:3幣"在，?2,4]上有解，

因為函數(shù)"/)=/+：-3在/目2,4]上單調(diào)遞增，當/=4時，

(3'

所以切的取值范圍是-8,5.

12.(2022甘肅)已知函數(shù)/(x)=log”(-/+5x).

⑴求函數(shù)/(x)的定義域；

(2)若函數(shù)/(X)的圖象過(1,2),求/(”的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(1)(0,5)

(2)增區(qū)間為。目，減區(qū)間為住51

【知識點】具體函數(shù)的定義域、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【分析】(1)根據(jù)解析式有意義解不等式可得；

(2)根據(jù)圖象過點(1,2)求“，然后由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解即可.

【詳解】(1)由題可知-V+5x>0,即x(x-5)<0,

解得0vxv5,所以函數(shù)/(X)的定義域(0,5).

(2)由函數(shù)/(》)的圖像過。,2),有/⑴=噫4=2,解得。=2,

令/=-r+5*，則r=iog2，,

=*+5x在(0,習(xí)上單調(diào)遞增，在&5)上單調(diào)遞減,

因為y=iog2,為增函數(shù)，

2

所以，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)“X)在的增區(qū)間為減區(qū)間為4,5)

13.(2023廣東〉已知函數(shù)/(》)=取+1。83(9、+