專題突破練9球的“切”“接”問(wèn)題

必備知識(shí)夯實(shí)練

1.（2025四川綿陽(yáng)三模）已知直三棱柱A8C-4%G中,CAJ_C8,4B=CG=2,該三棱柱所有

頂點(diǎn)都在球O的球面上，見(jiàn)球O的體積為（）

A%B空

33

C.8兀D.竺包

3

2.（2025重慶渝中模擬）已知高為4的圓臺(tái)存在內(nèi)切球淇下底半徑為上底半徑的4倍，則

該圓臺(tái)的表面積為（）

A57TtB.50兀

C.257tD.4271

3.（2025浙江嘉興三模）若某正四面體的內(nèi)切球的表面積為4兀，則該正四面體的外接球的

體積為（）

A.9TTB.27兀

C.36TID.64兀

4.（2025江蘇蘇錫常鎮(zhèn)一模）已知一圓柱內(nèi)接于半徑為1的球，當(dāng)該圓柱的體積最大時(shí)，其

高為（）

A.-B.立

23

C.坦D.立

32

5.（2025浙江臺(tái)州二模）已知某個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面面積分別為3次和12/5,高為6,

則該正三棱臺(tái)的外接球半徑為（）

A.4B.2V5

C.3D.276

6.（多選題）（2025河北衡水模擬）半徑為3的球。上相異三點(diǎn)A,民。構(gòu)成邊長(zhǎng)為3的等邊

三角形，點(diǎn)尸為球。上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐P-A8C的體積最大時(shí),（）

A.三棱錐O-A8C的體積為呼

B.三棱錐O-ABC的內(nèi)切球半徑為半

C.三棱錐P-ABC的體積為容包

4

D.三棱錐P-ABC的外接球半徑為3

7.（2025河北邯鄲模擬）已知直三棱柱ABC-A\B\C\存在內(nèi)切球，若

則該三棱柱外接球的表面積為.

8.如圖所示的由4個(gè)直角三角形組成的各邊長(zhǎng)均相等的六邊形是某棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖,

若該六邊形的面積為1+或,則該棱錐的內(nèi)切球半徑為.

9.（2025浙江杭州模擬）已知正三棱錐的高為兒且各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積

為等，則三棱錐體積的最大值是.

關(guān)鍵能力提升練

10.（2025湖北宜昌模擬）已如三棱錐R45C的每條側(cè)棱與它所對(duì)的底面邊長(zhǎng)相等，且

PA=3&13=PC=5,則該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為（）

A.V34B.叵

2

C.答D等

11.（2025湖南長(zhǎng)沙模擬）天然鉆石是在地球深部高壓、高溫條件下形成的一種由碳元素

組成的單質(zhì)晶體,隨著科技發(fā)展，人工鉆石也在不斷涌現(xiàn).現(xiàn)有一款解琢后的鉆石,其形狀

如圖所示，可看作由正六棱臺(tái)ABCOE/JAICIOIEIFI和正六棱錐P-A8COE/組合而成,

其中48=2,43=3,若該組合體的外接球存在，且外接球的體積為36兀,則44的長(zhǎng)度為

（）

A.lB.V3

C.V5D.V6

12.（2025江蘇宿遷模擬）在四棱錐P-A8CO中，側(cè)面PAB是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，底面

4BCQ為矩形，且平面平面ABCD.若四棱錐RABCQ存在一個(gè)內(nèi)切球，設(shè)球的體積

為％,該四棱錐的體積為檢,則9的值為（）

V2

VTTT

A.B?等

6

C譽(yù)D譽(yù)

13.（2023全國(guó)甲，文16）在正方體ABCD-AIBGQI中,AB=4,。為AG的中點(diǎn)，若該王方體

的棱與球。的球面有公共點(diǎn)，則球。的半徑的取值范圍是

14.（2025湖南永州三模）已知四棱臺(tái)的底面為矩形,上底面面積為下底面面積的今所有側(cè)

棱氏均為痣當(dāng)該四棱臺(tái)的體積最大時(shí),其外接球的表面積為.

核心素養(yǎng)創(chuàng)新練

15.（2025湖南婁底二模）已知正六棱柱ABCDEE-AIICIDIEIFI的各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R

的球面上，一個(gè)能放進(jìn)該正六棱柱內(nèi)部的最大的球的半徑為/?.若4?二2,則當(dāng)月最小時(shí)，該

r

止六棱柱的體積為（）

A.36B.42

C.48D.24

答案：

1.A解析如圖所示,

將直三棱柱A8C-A山Ci補(bǔ)全成長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)|4出匚

VTT5=2或?yàn)樵撊庵饨忧虻闹睆?，所以其半徑為火二?01，所以球。的體積為

V=^n/?3=|iiX2-/2=.故選A.

2.D解析依題意，圓臺(tái)的軸截面截其內(nèi)切球得球的大圓，且該大圓是圓臺(tái)軸截面等腰梯

形的內(nèi)切圓，等腰梯形ABCD為圓臺(tái)軸截面，其內(nèi)切圓O與梯形ABCD切于點(diǎn)。,EQ?,F,

其中Oi,Q分別為上、下底面圓心,如圖.

設(shè)圓臺(tái)上底半徑為八則下底半徑為4/4C=BE+CE=023+0C=5人而等腰梯形A8CQ的

高01。2=4,因此(5-)2-(4六r)2=42,解得『1,所以該圓臺(tái)的表面積為16兀+兀+5(4+1)。=42兀

故選D.

3.C解析正四面體的內(nèi)切球與其外接球球心重合,如圖，

正四面體ABCD內(nèi)切球與外接球球心0在其高AOi上，則OOi是正四面體ABCD內(nèi)切

球的半徑,。4是正四面體ABCD外接球的半徑，由正四面體ABC。的內(nèi)切球的表面積為

4兀，得。0|=1,令A(yù)8=凡貝!|R0\|=*/,AOi=yfAB2-BO1=手二A。=手a-1,在

RsBOOi中，（立〃-1）2-（立〃）2=1,解得a=2y/6AO=3.

33

所以該正四面體的外接球的體積V=乎％3=36兀故選C.

4.C解析設(shè)球半徑為R,圓柱的底面半徑為人圓柱的高為兒如圖,

則有小二產(chǎn)十（產(chǎn)1,即?+?+?=1小段,整理得用名表，當(dāng)且僅當(dāng)9=9即

無(wú)涉三時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)圓柱體積V二?力取得最大值矗，所以圓柱的體積最大

時(shí)尸喙即仁竽.故選C.

5.B解析如圖所示,。1,。分別為上、下底面的外心，則外接球球心。在線段上.

連接C'0\并延長(zhǎng)，交Ab于點(diǎn)連接C02并延長(zhǎng)，交48于點(diǎn)D.

設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為m,根據(jù)正三角形面積公式得宙=375,

???m=2倔。C-C。-x3=2,

33

在22

a2=

設(shè)等邊三角形A5O的邊長(zhǎng)為應(yīng)根據(jù)正三角形面積公式得4V3

Aa2=473,02C=|CD=|x6=4,則0I0+Q0=0IQ=6.

設(shè)正三棱臺(tái)的外接球的半徑為R

得，/?2_02。2+JR2.℃2=6,

解得R2=20,

即R=2底

故選B.

6.BCD解析設(shè)△/帆的中心為。，由正弦定理可得2A。尸忌1解得A。產(chǎn)低

由球的截面性質(zhì)可得00i_L平面ABC,所以00=/。矣_0]42==王

所以三棱錐O-ARC的體積為JX乎X32xV6=等故A錯(cuò)誤;設(shè)三棱錐O-ABC的內(nèi)切球

344

半徑為二由等體積法可得工x在x32x?4二越,解得『理故B正確;當(dāng)點(diǎn)尸到平面ABC的

3444

距離最大時(shí),三棱錐P-43c的體積最大，此時(shí)棱錐的高為00什3=3+倔所以三棱錐P-

的體積為:x字X32X(3+V^)=9(、’”因故c正確;三棱錐P-ABC的外接球即為球O,

344

所以半徑為3,故D正確.故選BCD.

7.29/1解析因?yàn)锳6=3,6C_4/6J_6c，故AC=5,故RS46C的內(nèi)切圓的半徑為

AB+BC-AC.

------------=1.

2

因?yàn)橹比庵鵄8C-481c存在內(nèi)切球，故直三棱柱的高即為內(nèi)切球的直徑.

而內(nèi)切球的半徑即為底面三角形內(nèi)切圓的半徑，故內(nèi)切球的半徑為1,

故直三棱柱的高為2.

則外接球的直徑即為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，故外接球的半徑為

乂22+32+42=1V29,

故外接球的表面積為29兀

8.1-f解析設(shè)六邊形邊長(zhǎng)為凡將圖形還原得四棱錐尸-ABC。,如圖,

由題意，側(cè)面展開(kāi)圖的面積5=（1+魚(yú)>屏=1+互解得即1.

因?yàn)镻D上AD,PDLDCADCDC=DAD,DCu平面ABCD,所以POJ?平面ABCD,所以PD

為四棱錐P-A8CO的高.

設(shè)內(nèi)切球的球心為。，半徑為小貝“VP-ABCD=VO-ABCD+VO-P/\B+VO-PBC+VO-PAD+VO-PDG即

￡X1'X.SABCD=^S>ABCD^S^PAB^S^PBC+S^PAD+S￡,PDC）-rM^K-1-..

JA4

9.誓解析如圖，設(shè)“為底面三角形的中心,PH為三棱錐的高，設(shè)為〃，由題意得W球

二:nR3=等，解得R=2.

???該三棱錐為正三棱錐,"。="苧8。，

：.BC=V3-j4-（/i-2產(chǎn)=V3-V-/i2+4/i,.\VP.ABC=^?y-BC2-/?=Y（-A3+4//2）（0</?<4）.

令人人）=/3+4/72（0〈/7〈4）/（力）=-3〃2+8〃,由/，（力尸0,可得力二^或力=0（舍去），當(dāng)xe（o,|）

時(shí)當(dāng)x￡（*4）時(shí)/如<0,

???加）在（05上單調(diào)遞增，在6,4）上單調(diào)遞減,/./（//）,nax二代尸等,???Umax二野.

10.C解析根據(jù)題意,三棱錐P-A8C可以嵌入一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，且三棱錐的每條棱均是長(zhǎng)

方體的面對(duì)角線，設(shè)長(zhǎng)方體交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)為。力C如圖所示，

貝|]a2+b2=PA2=\S,a2+c2=PB2=25,b2+c2=PC2=25^^?=3,/?=3,c=4.

所以該三棱錐的體積為VP/8C=!X3X3X4=：S表面積x八而S表面積=4SMAB=4X：x3四x

152-（學(xué)）2,所以可求得『答，

11.D解析因?yàn)榻M合體的外接球的體積為36兀,設(shè)球的半徑為R,所以9TTR3=36兀,所以外

接球的半徑R=3.

因?yàn)?8=3,所以球心。與正六邊形ABCDEF的中心重合，

記正六邊形4面CD臼F1的中心為。，因?yàn)?Bi=401=2,041=3,

所以0。k庫(kù)R=巡，

所以AA產(chǎn)J（麻了+M=行.

12.C解析如圖，

取A8的中點(diǎn)MC。的中點(diǎn)N,連接PMPMMN,因?yàn)槭钦切危瑒tPM_LA8,又

ABC。是矩形，有MMLAB,而平面平面A8C。,平面PABCI平面ABC。二AB,PMu平

面PAB,MNu平面A8CD因此PMJ_平面A8CO,MN_L平面PAB,又AO〃MN〃8C,則AD

_L平面PA5,8C_L平面PAB則AOJ_PA￡C_L尸氏PMAMN=MPMMNU平面PMN,則AB

_L平面PMN,又尸Nu平面PMN,所以A8_LPN,而A8〃C。,則CO_LPN,顯然△尸4。名

2PBe.

由球的對(duì)稱性和正四棱錐P-A8C。的特征知，平面PMN截四棱錐尸-ABC。的內(nèi)切球。

得截面大圓,此圓是RsPMN的內(nèi)切圓，切MN/M分別于E,F,有四邊形OEMF為正方

所以0=1戶二包回，x也x理=之所以殳=包.

354'3323'V218

13.[2A/2,2V3]解析（方法一）第一步，弄清球。與正方體棱有公共點(diǎn)，球半徑最小的球?yàn)?/p>

棱切球（即與棱相切的球），最大的球?yàn)橥饨忧?

第二步，作對(duì)角面截正方體與其棱切球、外接球分別得如下矩形和小、大兩個(gè)

圓（如圖）.

第三步，由圖可知棱切球半徑門=3X4&=2企,外接球半徑9二扣/）|二/4\"二2G

球。半徑的取值范圍是［2代,2遮］.

（方法二）由對(duì)稱性知,只需考慮球與正方體的棱有公共點(diǎn)，正方體中心O到一條棱的最短

距離即為到棱中點(diǎn)的距離，為2企,到一條棱的最長(zhǎng)距離即為到棱頂點(diǎn)的距離，為2低故r

e［2V2,2V3J.

14.5471解析由題意，設(shè)下底長(zhǎng)、寬分別為3〃,34則上底長(zhǎng)、寬分別為。力，如圖1,0,0

分別是上、下底面的中心，連接00\。4,0A?二痣0A三迎2+爐。人］甘弋心+爐

根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系，知該棱臺(tái)的高為力=J6-（Q2+再

則匕BCD-&B]GD[=1-(9ab^ab+yj9ababyh=^-aby/6-(a2+^2)=yy/a2b2(6-a2-b2)<

13卜2+「2+6”2b2）3——y［2

333

當(dāng)且僅當(dāng)a2=b2=6-（a2+b2\Spa-/尸魚(yú)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)棱臺(tái)的高〃二，6?（出+爐）=V2,

上底面外接圓半徑廠i=Ai0產(chǎn)1,下底面半徑0=3,設(shè)球的半徑為R,顯然球心M在OOi

所在的直線上.

當(dāng)棱臺(tái)兩底面在球心異側(cè)時(shí)，即球心M在線段OOi上，如圖2,

I?

OL