專題突破練17圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)

必備知識夯實練

1.（2025湖北黃岡二模）設(shè)收曲線加+力2=。為橢圓”是％。＞（）”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.（2025安徽淮北二模）若拋物線）2=4.K的焦點是橢圓+?=1（m＞（））的一個焦點，則橢

圓。的長軸長為（）

A.2B.2V3

C.4D.8

3.（2025江蘇蘇州模擬）如圖，在平面直角坐標系xQy中，己知橢圓C:《+的

右焦點為匕右頂點為A,上、下頂點分別為比3點。在線段。砂上，且|四。|二2|川q.若

OQ〃A及,則C的離心率為（）

A.-B.-

32

C3

D.-

,23

22

4.（2025浙江臺州二模）已知Fi.B為雙曲線。:0-3=1（。＞06＞0）的左、右焦點.過點Fi

Q/

作直線/與雙曲線。的右支交于A,8兩點，且|A8|二|8"i|,cosNA3Qq,則雙曲線。的離

心率為（)

*質(zhì)

A.——B呼

3

c2V6

C-嗚

5.己知雙曲線?一＞1（〃＞（），＞0）的左、右焦點分別為Fi,乃,拋物線/4岔x的準線/經(jīng)

過為,且/與雙曲線的一條漸近線交于點A,若NAPM三，則雙曲線的方程為（）

4

A.^-^=lBX-^=1

164416

c.^y=iD.pji

22

6.（多選題）（2025山東泰安二模）已知雙曲線4v-『v1（。＞0/＞0）的左、右焦點分別為

八尸2,則下列選項正確的是（）

A.若折2/二舊廁雙曲線的任一焦點到漸近線的距離為V5

B.若點尸在雙曲線。上,則直線PF\與PB的斜率之積為與

C.以線段為直徑的圓與雙曲線。在第一象限交于點P,旦|PO|二|PB|,則雙曲線。的

離心率e=V5+l

D.若過乃的直線/與x軸垂直且與漸近線交于A4兩點,N4FiO=g,則雙曲線C的漸近

線方程為y=±2＞/3x

7.（多選題）（2025安徽黃山二模）已知拋物線Cy=2px的焦點為F點A（8,8）在拋物線上，

過點尸作直線交拋物線于M（孫），I）,MX2,聞兩點，則下列說法正確的是（）

A.|MN|的最小值為4

B.以線段MN為直徑的圓與直線x=-2相切

C.當標=2FN時,則|MN|=9

D.麗?麗二-12

8.（2022全國甲，文15）記雙曲線（::￡一旨=1（。＞0力＞0）的離心率為e,寫出滿足條件“直線

y=2x與C無公共點”的e的一個值:.

9.（2025江西宜春一模）已知拋物線C：）2=4x的焦點為匕點P在C上且位于第一象限，過

點尸作直線垂直于C的準線，垂足為A,若直線A廠的傾斜角為與，則|尸月=.

10.（2025湖北宜昌二模）已知橢圓。:馬+4=1（。?＞（））的左、右焦點分別為回足,過點

人的直線與。交于4,8兩點.若|AF2|二2|8F2|,|A8|二|8Q|,則橢圓。的離心率為.

關(guān)鍵能力提升練

11.（2025河北秦皇島二模）已知雙曲線岸一3=1（。＞0/＞0）的左頂點為A,右焦點為

F（c,0）,過點A且斜率為k的直線/與圓（x-c）2+）2=（c-a）2相切，與C交于第一象限的一點

B.若則。的離心率的取值范圍是（）

A.[3,3+2V2]

B.[3,3+4㈣

C.[3+2&,7+4何

D.[3+4V3,7+4＞/3]

12.（多選題）（2025陜西西安二模）設(shè)雙曲線。:[一\二13＞0,。＞0）的左、右焦點分別為

為尸2,下列說法正確的是（）

A.若。的漸近線的斜率為則C的離心率為日

B.若。的漸近線方程為廣土爭，且點（2弓）在。上，則〃=2

C.過點乃的直線與C的右支相交于A,8兩點，若|A8|二4〃,NBA8=90°,則。的離心率為

Vio

2

D.若C的左、右頂點分別為MN,且P是。上異于MN的一點，則直線PM,PN的斜率之

積為與

QN

13.（2025山東荷澤模擬）已知橢圓+[=1（心力＞0）的左、右焦點分別為吊尸,過點

22的直線交橢圓于P,Q兩點，且PQJ_QQ&QF/2=2SAP&F2,則橢圓。的離心率為.

核心素養(yǎng)創(chuàng)新練

14.（多選題）（2025浙江杭州二模）設(shè)曲線。:之y|y|二l,直線廣以+〃與曲線C的交點的可

4

能個數(shù)的集合記為。（4。）,則（）

A.D（6/,/?）={0,l,2,3）

B.Q（a,2）={0,1,2}

C.D（竹3a）={0,l,2}

D.若。（a力尸{3}廁⑷*且匕＜0

答案：

1.A解析若曲線ajr+by^c為橢圓，則該橢圓的標準方程為1+%=1(的3).

ab

因為橢圓中分母須大于o,所以￡>0且90,又因為砧水),那么^>o且bc>0,所以充分性

ab

成立.

當eic>0時，比如a=0=l,c=l,此時曲線方程為x2+>2=1,它表示的是圓不是橢圓，必要性不

成立.所以“曲線加+外2二°為橢圓，，是％c>0”的充分不必要條件.故選A.

2.C解析在拋物線y2=4x中，焦點坐標為(1,0).所以橢圓的焦點在x軸上，且c=l(c為橢

圓的半焦距).在橢圓中,加=。2=3+1=4,又因為。>(),所以。=2.則橢圓的長軸長為

24=2x2=4.故選C.

3.B解析由題可得，點&(06)430),尸(”)),??.瓦7=(G").

,.,[3D|二2|DF|,則點。為線段B尸靠近點尸的三等分點,

?.21?21....,

故。爭，亭),0。=(安翔乃24=(〃,/),

?3OJJ

由OO〃AB2得式=W化簡得e=-=:.故選B.

a-ba2

4.B解析由雙曲線定義得,|AFI|-|AB|=|8FIHBB|=2〃,|FIF2|=2C.

設(shè)|8FI|=|45|=〃2,則|BF2|="z-2〃,由圖,|4乃|二|AB|-|B3|=2a,|AFi|=4a,

在△AMi中，由余弦定理得cosNABF產(chǎn)"山"

2mm9

解得〃尸3〃，

222

；?出乃|=〃z-2a=a在中,由余弦定理得cosNF28F1=cosNABFi二,曹°

，?〃三?/,故離心率e-二日=匣.故選8

ay33

5.D解析拋物線)2=4V5r的準線方程為x=?V5,則c=V5,則F\(-V5,0),F2(V5,0),

(_b(X=-C,

不妨設(shè)點A為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立y=7招可得,“_生

&=?c,(/一U

即點A（-喏）.

因為4乃_LB后,且N尸尸乂=7,

4

則△RE為等腰直角三角形，

俏=2,fa=1,

且|AB|=|FE|,即"=2c,可得12,所以，=/F解得包=2,

"。g山+隱V=V5,

因此雙曲線的標準方程為x2-藝=1.故選D.

4

6.ACD解析由雙曲線的性質(zhì)知，焦點到漸近線的距離為“故A正確；

當點戶為雙曲線頂點時，直線PFi與PF2的斜率之積為0,故B錯誤；

由題意點P在圓*+），=/上，又I尸O|二|PB|,所以心與，代入圓的方程，可得）‘片字，將點

吒，軍）代入雙曲線方程可得《一篇=1,

即容3+26，

Q4

所以e=^=J1+&=V4+2V3=百+1,故C正確；

直線/的方程為x=c,與漸近線產(chǎn)±9相交于A（G§,B（C,-5

所以布=（2喏），取=（c,0）,即cos"焉翳=-^==g,化簡可得*12,解得%2攝

74+9

所以雙曲線漸近線方程為y=±2於r,故D正確.

故選ACD.

7.BCD解析由題得,8'=2px8,解得p=4,則C:y2=8.r,F（2,0）,

由題可設(shè)直線MN:x=（y+2,聯(lián)立拋物線方程得產(chǎn)用7-m二。,顯然/>0,

所以），|十”=8。）”）2=-16,貝+尸.小仇十丫2）2-4%、2=8（1十戶）沁，當且僅當「=0

時等號成立,A錯誤；

由拋物線的定義知|MN|=K+JQ+4,而線段MN的中點橫坐標為空二

所以線段MN的中點與直發(fā)戶?2的距離為亨+2,即為|A/N|的一半,

所以以線段MN為直徑的圓與直線x=-2相切,B正確;

若花？二2前，且則），|=2|回,而yiy2=-16,

所以yi=4V2,y2=-2V2,

則y\+y2=St=2\/2=，=日，

所以加+工2二心”+），2）+4=4x2&+4=5,貝U|MN|=XI+X2+4=9,C正確;

由。M?ON=xiX2+y\y2=(t2-^1)yiyi+2t(yi+j2)+4=-16?-16+16/2+4=-12,D正確.

故選BCD.

8.2(答案小唯一，只要1〈心通即可)

解析由題意知,雙曲線C的漸近線方程為)，=±、,要便直線)，=2r與雙曲線C無公共點,

只需0<-<2即只由0<-W2,得0<行§,所以1</W5,故1<e<V5.

aa

9.4解析因為拋物線C:)2=4x的焦點為￡所以尸(1,0),

由題意可#ZAPF=ZPFx,ZAPF+ZAFP+ZFAP=n,

所以ZFAP=n-ZAFx=n--=

33

又由拋物線定義得|P4|二|尸F(xiàn)|,

所以△孫尸為等邊三角形，沒準線與x軸交于點火，在RtA4尸尸中,NF4尸二30°,

所以|AF|二2|F用=4,

所以|PF|=|A/q=4.

10片解析由已知可設(shè)舊引r,

則|A尸2|=2X,|BFI|=|AB|=3X,

由橢圓的定義有IBFi|+1B乃|二2〃二4乂故x二看

??.|A乃|=〃二|AA|,|M|=|AB|二尊故點A為橢圓的上頂點或下頂點.

2J9a29a2

在^AFiB中，由余弦定理推論得COSNBA5=°=W

2a—3

在aAOB中，設(shè)NOAB：。，

故cosZFiAB=cos23=\-2s\n20=-Msin2<9=i

33

LL.c|。尸2|.八x/3

故e=-=---=sin0=—.

a\AF2\3

11.A解析依題意，點A(/,0),直線/的方程為產(chǎn)-r+a),

圓(x-c)2+y2=(c-a)2的圓心為(c,0),半徑為c-a,

由直線/與圓(x-c)2+)，2=(c-a)2相切，得%詈=C-4,

令雙曲線離心率為e,又當必W1,則安=色=4匚=J1+W，

3e-1c-ak7H

因此1+4=11+羞Wh/12],即反解得3WeW3+2&,

e-1yiMe-1

所以。的離心率的取值范圍是[3,3+2&].故選A.

12.ACD解析對于A,由。的漸近線的斜率為則與="

所以C的離心率為J1+/=J1+:=今故A正確；

對于B,由C的漸近線方程為產(chǎn)土多，設(shè)C:~y^=k(k>0),

又點(2,J)在。上，所以g—￡二1二七即。.-)?二],

所以片次，故B錯誤；

對于C,由過點正2的直線與C的右支相交于A乃兩點，不妨設(shè)仍尸2|二〃?,因五2|二，7,

若|A8|=4a,NRA8=90°,

則|AFi|=2〃+m,|8Fi\=2a+n,

在RsAFiB中，由勾股定理得(2〃+加)2+(/〃+〃)2=(2。+〃產(chǎn),結(jié)合〃?+〃=4〃,解得m=a,n=3a,

故|4F]|=3a,|AB|=a,

在RsA尸1尸2中,由勾股定理得(2c)2=(3a)2+〃2,即4(^=10?2,

所以e=-=耳,故C正確；

a2

W

對于D,設(shè)尸(xo,和)(x(#±〃)，

則條T=i，即必=9%那),

又M(-a,O),N(a,O),

所以底如囚=含.氏=羔=qgj=/，故D正確.

故選ACD.

134解析由S"F2=2S“%F2,可得IQ五2|二2|PB|,設(shè)1PBl二如則|QB|=2/*|PFi|二2〃-

m,\QFi\=2a-2m,i)PQ_LFQ則|PFI『=|PQF+|Q產(chǎn)產(chǎn),即『〃-上。=鄉(xiāng)加2+(2。-2M2,解得〃片之

3

所以|。臼=2*2乂^=黑|0B|=3，

OOO

在R3QFF2中，有冉「2/二IQFJ2+IQF2『，即4c2=乎+竽，解得9=|,所以橢圓。的

離心率吒*

22

14.ACD解析當)，2()時有。*-產(chǎn)=1,且漸近線為"土彳，當y<()時有。:—+)2=1,如圖

1.

曲線上半部分為雙曲線的一部分，下半部分為橢圓的一部分，且曲線關(guān)于y軸對稱，根據(jù)

對稱性，只需討論的情況.

若〃=(),

當b<-\時，直線與曲線無交點；

當b=-\時，直線y=ar+/?與曲線有1個交點；

當Z>>-1時，直線y=ax+b與曲線有2個交點；

當0<^<1時，如圖2.

由圖知，以直線)=or+/2與橢圓部分相切為界，此時有1個交點；

此時a不變力—J,直線與曲線有2個交點直線與曲線無交