第二章函數(shù)

第9節(jié)函數(shù)的圖象

益學(xué)習(xí)導(dǎo)航站

目核心知識(shí)庫(kù)：重難考點(diǎn)總結(jié)，梳理必背知識(shí)、歸納重點(diǎn)

考點(diǎn)1利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象★★★☆☆

考點(diǎn)2利用圖象變換法作函數(shù)的圖

(星級(jí)越高，重要程度越高)

《限時(shí)【變式訓(xùn)練】挑戰(zhàn)場(chǎng)：感知真題，檢驗(yàn)成果，考點(diǎn)追溯

【知識(shí)梳理】

考點(diǎn)1利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象

步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式;(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)

稱(chēng)性等);(4)列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線.

考點(diǎn)2利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

(1)平移變換

|.y=/(*)+H

上

A(A>0)個(gè)單位長(zhǎng)度

移

左移

1/x+a)產(chǎn)/(*)嗎不而同

“(”>0)個(gè)心>0)個(gè)------

單位長(zhǎng)度下單位長(zhǎng)度

移A(A>0)個(gè)單位長(zhǎng)度

y=f(x)-k

(2)對(duì)稱(chēng)變換

關(guān)于」?軸對(duì)稱(chēng)

產(chǎn)RX)的圖象---------?尸-/氏)的圖象;

,入關(guān)卜y軸對(duì)稱(chēng)上

.尸/3)的圖象----------AvM-x)的圖象；

上,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

)守3)的圖象*y=-/(-r)的圖象；

工?關(guān)于宜線~

產(chǎn)爐(》0,且a#1)的圖象旦log,Ha>0,且aW1)的圖象.

y一1M林

(3)伸縮變換

縱坐標(biāo)不變

產(chǎn)/卬).

各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的了心。)倍

zy、橫坐標(biāo)不變a/yV

尸危)------------便"乂----------->y=AJ(x).

各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A(A>0)倍

(4)翻折變換

」軸下方部分翻折到上方

產(chǎn)/⑴的圖象-)=3的圖象;

工軸及上方部分不變

一軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)

)守“)的圖象產(chǎn)處1)的圖象.

原了軸左側(cè)部分去掉?右側(cè)不變

【名師點(diǎn)撥】

1.圖象的左右平移僅僅是祖對(duì)于X而言，如果X的系數(shù)不是I,常需把系數(shù)提出來(lái),再進(jìn)行變換.

2.圖象的上下平移僅僅是?相?對(duì)?于)、而言的，利用“上加下減”進(jìn)行.

[WJ01;羯念思考辨析+教材經(jīng)典改編

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“4”或“X”)

(1)當(dāng)文￡(0,+8)時(shí)，函數(shù)y=|/(x)|與)=式國(guó))的圖象相同.()

⑵函數(shù))劉1P)的圖象，可由產(chǎn)/「戈)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到.()

(3)函數(shù)產(chǎn)磯￥)與廣/山)(〃>()且1)的圖象相同.()

(4)函數(shù)產(chǎn)/(犬)與產(chǎn)力㈤的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).()

【答案】⑴x(2)x⑶X(4)X

【解析】⑴令危尸-x,當(dāng)xE(0,y=\f(x)\=xfy=fiix\)=~xt兩者圖象不同，⑴錯(cuò)誤.

(2)日(1-x)y-(x~l)],所以可由廣/O向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到,(2)錯(cuò)誤.

(3)中兩函數(shù)當(dāng)時(shí)，尸研r)與丁次”)是由廣於)分別進(jìn)行縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)伸縮變換得到，兩圖象

不同，⑶錯(cuò)誤.

(4)產(chǎn)4上)與)=寸3)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),(4)錯(cuò)誤.

2.函數(shù)產(chǎn)士的圖象大致為()

【答案】C

【解析】法一當(dāng)oavl時(shí),)，<0,故B,D不正確；

當(dāng)0〃<1時(shí),y=^-<0,且y=x4-\單調(diào)遞增，

所以)=1匚單調(diào)遞減,故A不正確，故選C.

法二函數(shù)產(chǎn)W的定義域?yàn)閘^eR，且xw±i㈠三/竟，

所以當(dāng)x<~\或TWO時(shí),V>0,

函數(shù)產(chǎn)士在(-8,-1)和(7,0)上均單調(diào)遞增：

當(dāng)00<1或Q1時(shí),廣0,函數(shù)產(chǎn)士在(0,1)和(1,+8)上均單調(diào)遞減.故選C.

法三記/U尸則#0)二一1，排除B,D;

當(dāng)尸0.01時(shí),A0.01)=-排除A,選C.

3.己知函數(shù)火幻三很卜2r,則下列結(jié)論正確的是()

A./U)是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是((),+8)

B：/U)是偶函數(shù),單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,1)

C：/U)是奇函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,1)

D.yu)是奇函數(shù),單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,0)

【答案】C

【解析】將函數(shù)於尸小|-21去掉絕對(duì)值,

得危尸『272產(chǎn))

(―—2x,x<0,

畫(huà)出函數(shù)/&）的圖象，如圖所示,

觀察圖象可知，函數(shù)7U）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

故函數(shù)ZU）為奇函數(shù),且在（T,1）上單調(diào)遞減.

4.函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于），軸對(duì)稱(chēng),再把）=/*）的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函

數(shù)產(chǎn)g（x）的圖象,則g（x）=.

【答案】e-+,

【解析】由題意得/U尸屋,

^(A)=e(vl)=et+l

【考向核心題型】

考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象

【典例】1.作出下列函數(shù)的圖象

⑴尸鏟；

⑵）:[10g2（X+l）|；

【解析】（i）先作出）=gy的圖象,保留尸G）、圖象中不20的部分,

再作出尸G）'的圖象中Q0部分關(guān)于），軸的對(duì)稱(chēng)部分，

即得產(chǎn)（以”的圖象,如圖①實(shí)線部分.

⑵將函數(shù)尸logM的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再將X軸下方的部分沿X軸翻折上去，即可得到函

數(shù)產(chǎn)|log2（X+l）|的圖象，如圖②.

（3）???產(chǎn)巴一?一:/-?且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出［0,+8）上的圖象,

+2x-l,x<0,

再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性作出（-8,0）上的圖象，

得圖象如圖③.

【思維建?！?/p>

1.描點(diǎn)法作圖:當(dāng)函數(shù)解析式（或變形后的解析式）是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描

出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出.

2.圖象變換法:若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱(chēng)得到，可利用圖象變換作

小，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.

【變式訓(xùn)練】1.分別作出下列函數(shù)的圖象：

(l)>=sin|x|;

2%—1

(2)Jy=-x---l-?

【解析】⑴當(dāng)x20時(shí)，產(chǎn)sinhl與產(chǎn)sinx的圖象完全相同,

又產(chǎn)sin|x|為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，其圖象如圖①.

圖①

2x-l1

⑵產(chǎn)■=24

x-lx-l"

故函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移2個(gè)單位得到，如圖②所示.

考點(diǎn)二函數(shù)圖象的識(shí)別

【典列】2.（2024.全國(guó)甲卷）函數(shù)人］）=-f+?-屋對(duì)11x在區(qū)間「2.8,2.8］的圖象大致為（）

【答案】B

【解析】由題知函數(shù)七;）的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)/七）二-（-工）2+（6v-er）sin（-x）=-^2-?-（et-ev）sin

所以函數(shù)凡r）為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),排除A,C;

/（l）=T+（e-Jsinl>T+（e-Jsin"一嗚-康,。，排除D.

【典例】3.（2025?長(zhǎng)沙模擬）已知函數(shù)人r）的部分圖象如圖所示,則函數(shù)於）的解析式可能為（）

,Ux

A加喑JB危尸一篇

C.?x）=-產(chǎn)DJU尸-等

八）|x|-l八x2-l

【答案】A

【解析】由題圖可知，函數(shù)./lr）為偶函數(shù)，

且定義域不是全體實(shí)數(shù),故排除B,C.

D中，當(dāng)x>l時(shí)，危尸一島，八幻告口），

則兀x）在（1,+8）上單調(diào)遞增,故排除D.

【思維建?！?/p>

1.抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析:

⑴從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置;（2）從函數(shù)的單謝性,

判斷圖象的變化趨勢(shì);（3）從周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù);⑷從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性.

2.抓住函數(shù)的特征,定量計(jì)算:尋找函數(shù)的特征點(diǎn),利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問(wèn)題.

【變式訓(xùn)練】2.（2025?濟(jì)南模擬）函數(shù)危尸毛誓,則產(chǎn)/㈤的部分圖象大致形狀是（）

v?JL

【答案】A

【解析】易知函數(shù)的定義域?yàn)镽,

因?yàn)楫a(chǎn)島是奇函數(shù)，尸如上是奇函數(shù)，

所以/U）是偶函數(shù),排除B,D,

當(dāng)xG(0,兀)時(shí),產(chǎn)sinA>0,

所以火x）＞0,排除C.

【變式訓(xùn)練】3.（2025?天津十二區(qū)重點(diǎn)學(xué)校模擬）），=⑥）的大致圖象如圖，則於）的解析式可能為

()

AyUAIx2-sinx\

B：/U)=|x-sinx\

C.Ax)=\2x-\\

D./(Xi=|x2-%-7

【答案】A

【解析】因?yàn)?())=0,所以排除D;

C中，因?yàn)楫?dāng)Q0時(shí)，凡E)=2'T為(0,+8)上的增函數(shù),與所給圖象不符,所以排除C;

B中，因?yàn)榛?x)二卜x-sin(-x)|二卜x+sinx|=|x-sinx|對(duì)工金口都成立，

所以/U)為偶函數(shù),與所給圖象不符,所以排除B.

考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用

角度1圖象法解方程或不等式

【典例】4.已知定義在R上的奇函數(shù)/U)在［0,+8)上的圖象如圖所示，則不等式的解集

為()

A.(-0)U(V2,2)

B.(-°°,-2)U(2,+~)

C.(-co,-2)U(->/2,0)U(V2,2)

D.(-2,-V2)U(0,V2)U(2,+oo)

【答案】C

【解析】根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征,作出人丫)在(-8,0)上的圖象，如圖所示,

由派)＞四,得(f-2加種0,

則宏院阿公空。

解得1<-2或-&<x<0或&<x<2,

故不等式的解集為(-8,-2)U(-四,0)U(V2,2).

角度2圖象法求參數(shù)范圍

【典列】5.設(shè)/&)是定義在R上的函數(shù),./UH/是奇函數(shù),(口七是偶函數(shù),函數(shù)

g(x)=若對(duì)任意的x￡[()，M,g(x)W3恒成立,則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為()

AWB.U

34

C.-D.—

23

【答案】B

【解析】因?yàn)?r)+e是奇函數(shù)，

/U)r是偶函數(shù)，

所以/(T)+(TV=-/W-

/(-X)+X=/(X)-X,

得yu尸廠f.

g⑶一匕g(x_l),xe(1,+8),

當(dāng)xe(l,2]B4,A-ie(0,1],所以g(x)=2g(x-l尸狀I(lǐng)).同理,當(dāng)x￡(2,3]時(shí),g(x)=2g(hl)=4g(尸

2)二領(lǐng)尸2).

以此類(lèi)推,可以作出g(x)的圖象如圖所示.

結(jié)合圖象可得，當(dāng)x￡(4,5］時(shí),

^(x)=16/(x-4),由g(x)W3,

得16(尸4)(5-x)W3,

解得或工2?

44

因?yàn)閷?duì)任意的[0,m],

g(x)W3恒成立,所以0v〃W*

所以實(shí)數(shù)〃7的最大值為

【思維建模】

1.當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時(shí),常將

不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系問(wèn)題，從而利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

2.利用圖象求參數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確分析函數(shù)圖象的特殊點(diǎn),借助函數(shù)圖象，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系較明

確的問(wèn)題.

【變式訓(xùn)練】4.已知函數(shù))，」此是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x￡((),3)U(3,+8)時(shí)，1-幻>〃(幻,<3)=0,

則不等式7U)>0的解集為.

【答案】(-?>,-3)U(-3,0)

【解析】依題意知，火0)二0,

當(dāng)xG(0,3)U(3,+8)時(shí)m-幻嗎㈤，

即Fx)>〃U)，得/U)vO，

由43)=0,得4-3)=寸(3)=0,

由此畫(huà)出/U)的大致圖象如圖所示，

由圖可知，不等式幾丫)>0的解集為

(-8,-3)U(-3,0).

【變式訓(xùn)練】5.設(shè)函數(shù)公)的定義域?yàn)镈,如果存在正實(shí)數(shù)例,使得對(duì)任意都有小

則稱(chēng);U)為D上的“機(jī)型增函數(shù)”.已知函數(shù);U)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)A>0時(shí),/(x)二|廠3

￡R).若於)為R上的“20型增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】（-8,5）

【解析】,??函數(shù)兀1）是定義在R上的奇函數(shù),

且當(dāng)X>0時(shí),/（犬）二廣3-4,

(\x-a\-a(x>0),

=，0(%=0)，

(—|x+a|+a(x<0).

:/⑶為R上的“20型增函數(shù)”，

???凡什20）習(xí)&）在R上恒成立.

①當(dāng)時(shí)，由‘火幻的圖象（如圖1）向左平移20個(gè)單位長(zhǎng)度得凡計(jì)20）的圖象,

圖1

顯然;U+20）的圖象在/U）圖象的上方，滿足凡什20）次X）.

②當(dāng)〃>（）時(shí)，由7U）的圖象（如圖2）向左平移20個(gè)單位長(zhǎng)度得到凡計(jì)20）的圖象，要保證7U+2O）的圖

象在/U）圖象的上方，需滿足24-20<-2&可得0<a<5.

綜上可知,a的取值范圍是（-8,5）.

7\y-^-aO

$=/U+20)/-a*

圖2

【限時(shí)訓(xùn)練】（限時(shí)：60分鐘）

一、單選題

1.（2025?北京海淀區(qū)質(zhì)檢）要得到函數(shù)盧的圖象只需將函數(shù)）W的圖象（）

A.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

【答案】A

【解析】士，故將）三的圖象先向右平移I個(gè)單位長(zhǎng)度,

，X-lX-1

再向上平移I個(gè)單位長(zhǎng)度得到尸W的圖象

2.（2025?蘭州調(diào)研）將函數(shù)月-f+1|+2的圖象向左、向下分別平移2個(gè)、3個(gè)單位長(zhǎng)度、所得圖象為

)

【答案】C

3—x7,x6[—1,1],

【解析】由尸

x2+1,X6(-8,+8),

可得函數(shù)的大致圖象如圖所示,

將其圖象向左、向下分別平移2個(gè)、3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象為C選項(xiàng)中的圖象.

3.（2025?廈門(mén)質(zhì)檢）函數(shù)的圖象大致為（）

XO\X

【答案】A

【解析】囚為函數(shù)、”尸急的定義域?yàn)镽,所以排除C,D,

因?yàn)槿?幻弓U）,所以/U）為偶函數(shù)，

圖象關(guān)于）軸對(duì)稱(chēng)，所以排除B.

【答案】C

【解析】由圖象知

(2x+5,x<-1,

二孫尸[ln(x+2),%2—1.

故4-3）=5-6=-L

5.（2024?邢臺(tái)調(diào)研）己知函數(shù)火x）=|lnM,則函數(shù)產(chǎn)哦-x+l）的圖象是（）

【答案】D

【解析】因?yàn)殪叮?|ln|刈的定義域?yàn)椋鸋KWO｝,

所以）=7（七+1）的定義域?yàn)椋耘懦鼳,C.

因?yàn)樨?二|ln田|20,

所以產(chǎn)y-x+l）W0,所以排除B.故選D.

6.（2025?寧波模擬）若某函數(shù)在區(qū)間卜兀兀］上的大致圖象如甚所示,則該函數(shù)的解析式可能是（）

A.y=(x+2)sin2x

(4x2+5x)sinx

|x|+l

廠_(x+2)sinx

^，y=|x|+l

二+23

D.y二

cosx+2

【答案】B

【解析】A中，設(shè)./W=v=（x+2）sin2x,

則當(dāng)xE&ir）時(shí),2KG（兀,2H）,

則心）＜0,不符合,排除A;

c中，設(shè)yu尸產(chǎn)”繆

當(dāng)x￡（0,兀）時(shí)出）二

且2〃+2＜兀+2,0＜sin1,14+1＜兀+1,

所以0<U+2）sinX<K+2,

所以/U）=（'+j]：n*<（x+2）sinX<K+2<6,不符合，排除C;

D中，設(shè)加=產(chǎn)蔻，

令段）=0,解得戶0或-2,不符合,排除D.故選B.

7.（2024?濰坊二模）已知函數(shù)"20'則/U）圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)有（）

—|%2+2x1,x<0,

A.1對(duì)B.2對(duì)

C.3對(duì)D.4對(duì)

【答案】C

【解析】作出人幻的圖象，函數(shù)）=G）：x2o關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象如圖所示.

因?yàn)楹瘮?shù)），O，x，0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象與）=-斤+24]<（）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，故/U）圖象上關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)有3對(duì).故選C.

8.已知函數(shù),危）=嗓2。+1）+|,則不等式段）>0的解集是（）

A.（-l,1）B.（0,1）

C.（-l,0）D.0

【答案】B

【解析】不等式."）>（）Q10g2（X+l）>M，

分別畫(huà)出函數(shù)y=]og2（x+1）和廣僅|的圖象，

如圖所示，由圖象可知尸10g2(X+l)和產(chǎn)hi有兩個(gè)交點(diǎn)，分別是(0,0)和(1,1),

由圖象可知Iog2(X+l)>k|的解集是(0,1),

即不等式/(幻>0的解集是(0,1).

二、多選題

9.對(duì)于函數(shù),/U)=Ig(Lb2|+l),下列說(shuō)法正確的是()

A4r+2)是偶函數(shù)

ByU+2)是奇函數(shù)

c.yu)在區(qū)間(-8,2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增

D：/U)沒(méi)有最小值

【答案】AC

【解析】/(x+2)=lg(|x|+l)為偶函數(shù),A正確，B錯(cuò)誤.

作出;U)的圖象如圖所示,

可知/口)在(-8,2)上單調(diào)遞減,在(2,+8)上單調(diào)遞增;

由圖象可知函數(shù)存在最小值0,C正確,D錯(cuò)誤.

10.函數(shù)/(犬尸三胃的圖象如圖所示,則下列結(jié)論一定成立的是()

{X+C)

A.〃<0B./?<0

C.c>0D.abc<0

【答案】BCD

【解析】由圖知40）=尚>0,所以〃<（）,B正確;

當(dāng)X=~C時(shí)，函數(shù)應(yīng)￥）無(wú)意義，

由圖知-”（）,所以0（）,C正確；

令y（.v）=o,解得%=，，

由圖知，（），

a

又因?yàn)?x0,所以A錯(cuò)誤；

綜上,〃>(),b<0,c>(),所以abc<0,D正確.

11.（2025?合肥調(diào)研）函數(shù)府）=黃高的大致圖象可能是（）

【答案】BCD

【解析】當(dāng)昕0時(shí)出）吟是偶函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí),/1）單調(diào)遞減,此時(shí)對(duì)應(yīng)的圖象可能是C.

當(dāng)?！?時(shí),/（x）的定義域?yàn)镽,

令心)=0,得A-i<0,

-ax+l

A~x)x2+a'

./U）為非奇非偶函數(shù),

E3,、-ax2-2x+a2

且/(T?Z小(N+a)2，

令-a-=0,貝|J/=4+4/>0,

設(shè)方程的兩根分別為X],X2（X|<0<X2）,

所以當(dāng)xe(-oo,X1)B^,/(x)<0,

當(dāng)X￡(XI,X2)時(shí)，八x)>0,

當(dāng)尤E3,+8)時(shí),八幻<0,

即函數(shù)./&)在(-8,X］),(必+8)上單調(diào)遞減,在3,垃)上單調(diào)遞增，

由單調(diào)性判斷此時(shí)對(duì)應(yīng)的圖象可能是B.

當(dāng)4/<0吐易知,/W為非奇非偶函數(shù)，

凡丫)在x=±V-Q處無(wú)定義取a=~2,

此時(shí)網(wǎng)舞，尼)=0,

又人工尸筌等勺)，

所以當(dāng)x<-魚(yú)時(shí),yu)>0且12單調(diào)遞