第八章平面解析幾何

第5節(jié)橢圓第一課時

Q學習導航站

因核心知識庫：重難考點總結，梳理必背知識、歸納重點

知識點1橢圓的定義★★★☆☆

知識點2橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)★★★☆☆

(星級越高，重要程度越高)

g限時訓練挑戰(zhàn)場：感知真題，檢驗成果，考點追溯

【知識梳理】

知識點1橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個定點a、尺的距離的和等于常數(shù)(大于IEBI)的點的軌跡叫做橢圓，

這兩個定點叫做橢圓的佳點,兩焦點間的距離叫做橢圓的佳距.

注：若集合P={M|MR|+|MB|=2a},|QB|=2C,其中。＞0,c＞0,且。、。

為常數(shù)，則有如下結論：

(1)若。＞0,則集合＞為橢圓;

(2)若。=c,則集合P為線段F1F2:

(3)若則集合〈為空集.

知識點2桶圓的標準方程和幾何性質(zhì)

*=叱心0)

標準方程1+2(〃>Q。)

圖形

-qWxWa—

范圍

性質(zhì)-bWyWb-aWyWa

對稱性對稱軸：坐標軸

對稱中心：原點

4(—a,0),Ai(a,0)4(0,—a),42(0，a)

頂點

51(0,—b),&(0,b)

長軸A]A2的長為2o；

軸

短軸8山2的長為包

焦距|FIF2|=_2C

離心率e=*。1)

a

。、b、C

的關系

【名師點撥】

1.a+c與4—。分別為橢圓上的點到焦點距離的最大值和最小值；。與6分別為

橢圓上的點到原點距離的最大值和最小值.

2.過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦|/8|=",稱為通徑.

a

3.若過焦點E的弦為48,則的周長為4a

A2

4.。=1一：.離心率e越大，橢圓越扁；離心率e越小，橢圓越圓.

a-

5.橢圓的焦點在、軸上o標準方程中/項的分母較大，橢圓的焦點在y軸上o

標準方程中爐項的分母較大.

6.4?為橢圓工+廿=1伍/>0)的弦，力(項，川)，如2,如，弦中點M(xo,次)，

a-b-

則

(1)弦長|/8|=1+妁Xi—X2|=1+1,1一戶1；

(2)直線AB的斜率kAB=一呼。

a-yo

7.若M、N為橢圓，+：；=l(〃>b>0)長軸端點，P是橢圓上不與〃、N重合的點,

A2

則k/MkpN=l..

【考向核心題型】

考向一橢圓的定義及應用——自主練透

1.過點42,0)且與圓/+4x—32=0內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程

為?

【解析】將圓的方程化為標準形式為(工+2)2+/=36,圓心8(—2,0),廠=6,設

動圓圓心A1的坐標為(x,y),動圓與已知圓的切點為C.

則|3C|一|Mq=0M，而|BC|=6,

：.\MA\+\MB\=\MC\+\MB\=6>4=\AB\f

???點M的軌跡是以點B(—2,0),4(2,0)為焦點、線段43中點。為中心的橢圓,

且。=3,c=2,

222

b=a—c=5f

??.所求軌跡方程為：+[=l.

2.已知R、B分別是橢圓5/+9爐=45的左、右焦點，P是橢圓上的動點，則

儼”卜|刊圖的最大值為若，4(1,1),則|%|+,臼的取值范圍為.

【解析】由橢圓的方程;+[=1知，a=3,c=2,

.,.|PFi|4-|P^|=2a=6,

呼+『/研

：.\PFi[\PF2\^l2?=9,當且僅當|PH|=|0B|=3時取等號，

，|廢1卜尸尸2|的最大值為9.

A\PA\+\PF\\=\PA\-\PF2\+6.

由橢圓方程;+[=1知c=9—5=2,

，B(2,0),A\AF^=2.

利用一|/尸2|W|H|一|P尸2|WMB|(當P、A.Q共線時等號成立).

???|B4|+|PB|W6+2,|B4|+|P尸i|26-2.

故|以|十|P"i|的最大值為6+2,最小值為6—2.

y

go歹,

3.已知a,B是橢圓C：，+，=15>6>0）的兩個焦點，。為橢圓。上的一點,

且NRPB=60。.若△PBB的面積為33,貝1」力=.

【解析】|PE|+|PB|=2m又NFIPF2=60。,

222

所以|PR|+|PF2|-2\PFi11PBlcos60°=|FIF2|,

2

即（\PFi|+\PF2\）~3\PF\||PB|=4c2,

所以3尸尸111PBi=44—4/=4加,

所以|PK||PB|=%2,

J

又因為S△尸尸1尸2=1|尸尸1||尸尸小而60。=1><%2乂3=3叢=33,所以6=3.故填

22323

3.

［引申］本例2中，若將7（1,1）”改為7（2,2）”,則「丹|一陽|的最大值為_____,PFx\

+1盛I的最大值為8.

【解析】:尸尸2|+|網(wǎng)》0刊=2（尸在線段4F2上時取等號），???|尸人|一照|=6-

（嚴刑十|B4|）W4,

,.,必|一|尸尸2%|/后|=2,（當尸在力尸2延長線上時取等號），??.|列川+|以|=6+|以|

一|PB|W8.

【名師點撥】

1.橢圓定義的應用范圍

（1）確認平面內(nèi)與兩定點有關的軌跡是否為橢圓.

（2）解決與焦點有關的距離問題.

2.焦點三角形的應用

橢圓上一點。與橢圓的兩焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定

義可求其周長；利用定義和余弦定理可求1PBl|PB|;通過整體代入可求其面積等.

注：

【變式訓練】(2024?江蘇淮安淮陰中學期中)已知尸為橢圓C；+/=1的右焦

點，戶為。上一點，。為圓A7：r+什―3)2=I上一點，則尸0|十|尸網(wǎng)的最大值為

(D)

A.3B.6

C.4+23D.5+23

【解析】圓“：/十&-3)2=1的圓心為M(0,3),r=l,設橢圓的左焦點為Q,

如圖，由橢圓的定義知，|叩+尸*|=2〃=4,步以|%=4一|尸"|,所以|P0|+

|尸產(chǎn)|國產(chǎn)加|+1+1產(chǎn)月=9+1+4—/人|=5+|尸"|一|P人區(qū)5+叫4|,當且僅當

M,P,尸三點在一條直線上時取等號，A/(0,3),Q(—3,0),\MF{\=23,(\PQ\

十|PQ)mx=5+23.故選D.

考向二橢圓的標準方程——師生共研

1.短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側(cè)頂點的距離為3的

橢圓的標準方程為.

【解析】由已知，有/*解得卜=23，

G—C=3,匕=3.

從而b2=a2—c2=9.

???所求橢圓方程為::+[=

2.經(jīng)過點P(—23,1),0(3,一2)兩點的橢圓的標準方程為.

【解析】設橢圓方程為WX2+〃歹2=1(〃7>0,心0,#〃)，

???點P(—23,1),0(3,一2)在橢圓上，

12〃?+〃=1,解得m=1,〃=；.

3m+4〃=1,1JJ

故橢圓方程為.+[=1.

3.與橢圓：+：=1有相同離心率，且經(jīng)過點（2,-3）的橢圓的標準方程

為.

22

【解析】若焦點在X軸上，設所求橢圓方程為;+：=々＞0）,將點（2,-3）代入,

得r=22+（_3＞=2.

43

故所求方程為:+:=1.

若焦點在y軸上，設方程為%：=小＞0）代入點（2,-3）,得4；.?.所求方

?JJL/

y2x2

程為25+25=1,

34

綜上可知橢圓方程為?+}=1或;;+；：=1.

86乙。乙。

34

4.（多選題）（2024?重慶調(diào)研）已知橢圓C?的左、右焦點分別是八，

左、右頂點分別是4,42,點夕是橢圓。上異于4,4的任意一點，則下列說

法正確的是（）

A.|P6|+|PB|=4

B.若的面積為27,則點尸的橫坐標為土;5

C.存在點。滿足NBPB=90。

D.直線Rh與直線Rh的斜率之積為一3

16

【解析】依題意。=4,6=3,c—7?

所以|PR|+|尸尸2|=2a=8,A錯誤；

|居國|=27,；X27義伙）|=27,網(wǎng)=2,

“144—16厘144-64=80,優(yōu)=±45,R正確

9993

(|PR|+|PB|)2

/二Qk_|PEF+|PB|2一四6|2-\m2，-4c2

cosZF\PFi=2=

2-l^l-im2-|PFI|.|PF2|2m-\PF2\

“2”中的等號成立的條件是|PB|=|PB|,所以不

2荔篇「贏黨。

存在。滿足NQPB=90。，C錯誤;

設P(xo,泗)，

E+Y=L9高+16京=144,^(16—xo),

16916

4(—4,0),J2(4,0),

9

兩〃%=*一°5°=J=泅6—蝴=_9,?正確.故選BD.

出+4刈-4xo-16需一16脩

［引申］若將本例3中“離心率”改為“焦點”，則橢圓的標準方程

為.

【解析】設橢圓的標準方程為，fi+=貝=解得2=±23,

4+23+A4+A3十4

又3+2>0,.力=23,故橢圓標準方程為“+了=1.

4+233+23

【名師點撥】

1.求橢圓標準的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形狀時，

一定要注意常數(shù)2〃習尸尸21這一條件.

2.用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的一般步驟：

(1)作判斷：根據(jù)條件判斷焦點的位置；

(2)設方程：根據(jù)焦點位置，設相應的橢圓標準方程.焦點不確定時，要注意分

類討論，或設方程為〃。+〃產(chǎn)=1(〃?>0,心0,MWO)；

(3)找關系：根據(jù)已知條件，建立關于〃，b,c或加，〃的方程組；

(4)求解,得方程.

可概括為先“定位”，再“定量”.

3.橢圓系方程的應用

（1）與橢圓￡+5=1（心6>0）有相同的離心率橢圓系方程為X：+E="2>0）.

屋b“a】b”

（2）與橢圓5+^=1（〃乂>0）共焦點的橢圓系方程為f+了=1（心力>0,%+

出b-a1-rkbz-rk

務>0）,恰當運用橢圓系方程，可使運算簡便.

【變式訓練】

1.（多選題）若方程+爐=1所表示的曲線為C,則下面四個說法中正確的

3—tt—\

是（）

A.若ly<3,則C為橢圓

B.若。為橢圓，且焦點在y軸上，則2<f<3

C.曲線?？赡苁菆A

D.若。為雙曲線，MLt<\

3-/>0,

【解析】若。為橢圓則/—1>0,則1<?2或2W3.，A錯；

3一岸f—1,

若C為焦點在y軸上的橢圓則z-l>3-r>0,

則2</3,??.B對；顯然，=2時，曲線C是圓.

ACM;若。為雙曲線，則（3—1）<0,則/>3或y..,.D錯.故選BC.

2.（2022?全國甲卷）己知橢圓C：：；+，=1（心加>0）的離心率為；，小，42分別為

C的左、右頂點，B為C的上頂點.若扇I?扇2=-1,則C的方程為（)

4+3B?3=1

C.=1D.

b2_\

【解析】因為離心率

a標一3‘

解得

az99

4,4分別為C的左右頂點，則4（一凡0）,A2（af0）,

8為上頂點，所以8（0,/?）.

所以氏41=(—a,—b)fBA2=(a,—b)>

因為扇i?瓦52=—1，

所以一/+廿=-1,將〃=$2代入，

解得/=9,加=8,

故橢圓的方程為:+(=1.故選B.

考向三橢圓的幾何性質(zhì)——多維探究

角度1橢圓焦點、頂點、焦距、長軸、短軸

1.(2025?安徽蚌埠質(zhì)檢)若橢圓C；+?=1的離心率為36,則橢圓。的長軸長

為()

A.6B.26或26

3

C.26D.22或26

【答案】D

【解析】當焦點在y軸時，由。=；=2；〃'，解得〃?=；,符合題意，此時橢

圓C的長軸長為22；當焦點在x軸時，由e=f=掰-2,解得m=6,符合

3m

題意，此時橢圓。的長軸長為2m=26.故選D.

【名師點撥】研究橢圓幾何性質(zhì)的步驟

(1)將所給方程化成橢圓的標準形式.

(2)根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點在哪個坐標軸上.

(3)準確求出mb進而求出橢圓的其他特征值.

角度2求橢圓的離心率

1.(2024?江西名校教研聯(lián)盟開學考)已知橢圓C:;+/=15>6>0)的焦距為2,

且?guī)?6,則C的離心率為()

【答案】D

【解析】根據(jù)題意知c=l,故居=〃+/=廿+1①，且ab=6②，聯(lián)立①②解

得〃=3,。的離心率e=c=3.故選D.

a3

2.(2025?江蘇南通如皋中學測試汨、尸2分別是橢園;十]；=1(。>異0)的左右焦點，

a1b”

過尸2作直線交橢圓于N、8兩點,已知4尸」8尸1，/ABFi=30。,則橢圓的離心

率為()

A.$-2B.6-3

22

C.6-2D.6-3

【答案】A

【解析】如圖所示，設MB尸加，因為力N4BFi=30。,所以|45|=2〃?，

\AFi\=2a—m,\BF\\=3m,|=2m—(2a—m)=3m—2a,所以3〃7+3"L2〃

=2a,解得機=3‘3=2"0；3),所以力/=(16—83)標,6訓=(12—43)標,

在△4Q772中，由余弦定理得(2。)2=〃72+(24—〃7)2—2〃7(24—〃7g0560。，化為4c2

-4/+6,〃〃-3//=0,所以4c2—4標+(12—43>2-<16-83)4=0,化簡得標

=2—3,所以e=62,故選A.

2

3.(2025?山西大同調(diào)研)已知橢圓C：[+，=1(>6>0)的左、右焦點分別為

尸2,過點尸(3c,0)作直線/交橢圓C于M,N兩點，若血=2而1,|成f|=4|畸,

則橢圓C的離心率為.

【答案】

【解析】因為國/=2而，即、=2即2所以F2N//F1M,且尸2M=1|BM，延長

MB交橢圓于點。,則由對稱性可設|E0|=|BN|=z,|EM=2f,|BM="|乃。|

=2a-tf因為此M+|產(chǎn)2M=2a,所以f=；.則由12M=m/M=：，己0尸:，

得NQMB=90。，在ARM4中，由^^^+尸力小弓尸應產(chǎn)可得5a2=9",.??離

【名師點撥】求橢圓離心率的方法

（1）由已知條件列方程組，求出〃，c（或〃，6）的值，由e=c[或e=1—1/）求

a

解.

（2）由已知條件得出關于a,c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關于離心率e的一元

二次方程求解.注意c￡（O,l）.

角度3求橢圓離心率的取值范圍

1.（2024?河南許昌中學定位考試）已知橢圓5+[=1（公￡>0）的左、右焦點分別為

Fi（-c,0）,B（c,0）.若橢圓上存在一點P使.<=.二,則該橢圓的

sin/PFiBsm/PFFi

離心率的取值范圍為.

【答案】{e|2—1<e<1}

【解析】在中，由正弦定理知sinNMBf%,因為a

sinZPF2Fi\PF\\sin/PFiB

/；廠廠，橢圓離心率e=',所以即|PR|=e|PB|.①

sinZPFzFia|PFi|ce

又因為點P在橢圓上，所以儼外|+|尸月|=2〃，

將①代入可得|PB|=%.

e+1

7

又Q—c<|0B|<a+c,所以兩邊同除以4得1—e<<l+e.又0<e<l,

e+1

所以{e|2-l<e<l}.

2.（2025?山西部分學校月考）設a、乃分別是橢圓C：*：+[=1（曲￡>0）的左右

*b-

焦點，若橢圓。上存在點P,使線段尸a的垂直平分線過點B,則橢圓離心率

的取值范圍是（）

【答案】c

【解析】由題意橢圓。上存在點P,使線段尸R的垂直平分線過點則0

=|QB|=2c,且需滿足以后為圓心，以|PB|為半徑的圓與橢圓有交點，即2c

一°,即又K1,故橢圓離心率的取值威圍是S'”,故選C.

a3

【名師點撥】求橢圓離心率取值范圍的方法

一般借助幾何量的取值范圍（如IMWmO?vl）建立不等關系，或者根據(jù)幾

何圖形的臨界情況建立不等關系求解，或根據(jù)已知條件得出不等關系，直接轉(zhuǎn)化

為含有〃，力，c的不等關系求解，遇直線與橢圓位置關系通常由直線與橢圓方程

聯(lián)立所得方程判別式/的符號求解.

【變式訓練】

1.（角度1）橢圓C的焦點為*（-1,0），后（1,0）,點尸在C上，|BP|=2,NF1F2P

=:,則C的長軸長為（）

A.2B.23

C.2+3D.2+23

【答案】D

【解析】橢圓。的焦點為廳（一1,0）,尸2（1,0）,

則c=l,

V|PF2|=2,：.\PF\I=2Q—I尸乃I=2。一2,

由余弦定理可得

\PF\|2=\F\F^+\PF\2-2\F\F\?|PF|-cos即（2〃-2>=4+4—2X2X2X12],

2222兀

解得。=1+3,a=\-3（舍去），

，2a=2+23,故選D.

2.（角度2）（2025?廣東三校模擬）已知點RA分別是橢圓：；+，=15>6>0）的左焦

點、右頂點，B（0,b）滿足品?福=0,則橢圓的離心率等于（）

3+15-1

A.B.

22

3-15+1

C.D.

22

【答案】B

【解析】,:前?涌=0,：.FBA-AB,??.|必|2+|月3|2=（〃+C）2,即加+〃+/+加

2

=（〃+c）2,整理得2〃c—2力2=0,即c?,1=0,即/+?—1=0,

a-a

求得e=-1土5,???&>（）,???6=-1+5,故選B

22

3.（角度3）（2024?云南昆明一中雙基檢測）已知點P（xo,次）是橢圓C：:;+,=

1（心力>0）上的一點，F(xiàn)i，尸2是。的兩個焦點,若麗i?而240,則橢圓C的離心率

的取值范圍是（）

【答案】D

【解析】由題意知，以廳月為直徑的圓與橢圓有公共點，???C2b,即C2R序一，

今；.又ee（0,l）,A.故選D.

【知識拓展】

S橢關的徽值問題

1.(2025?浙江數(shù)海漫游模擬)已知尸2分別為橢圓C"：+[=1(。泌>0)的左

Hb-

右焦點，過B的一條直線與C交于4B兩點,且力|班囹=1,則橢圓

長軸長的最小值是()

A.42B.3+22

C.6D.4+22

【答案】B

【解析】設=則|48|一+1,|所||=2〃一1,|/*|=2。一人由48得?

產(chǎn)+ff2+fo

+1)2+(2Q—。2=(2〃一1)2,則2a=>0,有f>l,所以2a==(/—1)+

t—\t—\t~\

+323+2(/-I)-"=3+22,當且僅當"—1)=,即Z=l+2時取等

t-\/—1

號.則橢圓長軸長的最小值是3+22.故選B.

2.(2024?山東煙臺、德州診斷)在平面直角坐標系xQy中，點片(-1,0),8(2,3),

向量沆=/爪為+小宓，且加一〃一4=0.若尸為橢圓/+1=1上一點，則|的的

最小值為()

4

A.10B.10

5

Q

C.10D.210

5

【答案】A

【解析】設點C(x,y),由/(—1,0),4(2,3)及南=加2+6宓，得(.丫，y)=(一相

x——加+2〃，

+2〃,3〃），即而〃7—〃-4=0,消去〃?，〃得：3x~y-\-12=0,

y=3〃，

設橢圓/+：=1上的點尸(cos仇7sin。)，則點尸到直線3》-y+12=0

|3cos0—7sin。+12|_12—4sin（。一9）7

的距離d=,其中銳角°由tan°=7確定，

32+（-1）210

當sin（。-9）=1時，4癡=：10,而I無!2d,所以I對的最小值為:10.故選A.

JJ

【名師點撥】與橢圓有關的最值問題的解法

1.利用數(shù)形結合，利用橢圓的性質(zhì)或直線與橢圓的位置關系求解.

2.利用基本不等式求解.

3.構造函數(shù)，利用橢圓方程消元，化為二次函數(shù)求解.注意自變量的取值范圍.

4.橢圓￡+匕=1（心/）〉0）上的點到定點或定直線距離相關的最值問題，可用三角

換元法求解，即令x=acos0,y=bsin0,將其化為三角函數(shù)最值問題求解.

【變式訓練】

（2024?江蘇南通海安中學月考）P為橢圓C：；+產(chǎn)=1上一點，41,0），則|巴|最小

值為（）

A.1B.1

2

C.2D.6

33

【答案】D

【解析】解法一：設尸（x,y）,則幽=（X—1）2+/=2丫+2=

y+L由于一2?2,故當X=?時，網(wǎng).故選D.

4333

解法二：設P（2cos。，sin0,O0R,則|以尸（2cos6/-l）2+sin26>=

f2、

ICOS0—9

4cos2。-4cos夕+1+sinS=3cos2。-4cos9+2=313p+,由于一

3

lWcos〃WI,故當cos〃=；時，|2I|取最小值:，故詵D.

【限時訓練】（限時：60分鐘）

【基礎必刷題】

一、單選題

1.（2024?四川成都七中開學考）橢圓、+]=1的焦距是2,則〃?的值為（）

m4

A.5B.3

C.5或3D.20

【答案】C

【解析】因為焦距是2,所以c=l,當焦點在x軸時，a2=m,Z>2=4,：.c2=a2

一爐=〃2—4=1,解得機=5,當焦點在y軸時，*=4,b2=m,c2=a2-b2-=4

—m=1,解得〃?=3,故選C.

2.（2024?福建百校聯(lián)盟聯(lián)考）已知橢圓C：+，=1（。>b>0）的右焦點為尸，短軸

長為23,點M在橢圓上，若|岫的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為

（）

A.3B.4

C.1D.2

【答案】D

【解析】依題意，橢圓短軸長為23,得人=3,則層一C2=〃=3,又也用的最

大值是最小值的3倍，即a+c=3（q—c）,所以。=2c,所以。=2,c=l,則其

焦距為2c=2.故選D.

3.（2025?遼寧葫蘆島模擬）已知橢圓G：；+：=1,A,8為G的短軸端點，P

為G上異干48的一點，則育線/P,8P的斜率之積為（）

A.3B.4

43

「3八4

C.—D.一

43

【答案】C

【解析】設P（xo,次），則有：+：=1,即有用一3=一：v，由橢圓方程可得其短

）—3x8

軸端點坐標分別為（0,3）、（0,—3）,則自P,履P='°—3.盧+3=兄13=4

xoxoxa正

=一】故選C.

4

4.（2024?福建泉州二模）若橢圓5+1=15>0）的離心率為，，則該橢圓的焦距為

a-32

A.3B.6

C.26或3D.23或6

【答案】D

【解析】若橢圓的焦點在X軸，則離心率6=*-3=2,得標=6,此時焦距

a2

2c=26—3=23,若橢圓的焦點在y軸，則離心率<?==2"得

此時焦距2c=23—；=6,所以該橢圓的焦距為23或6.故選D.

，（且/）則“。

5.（2025?安徽重點高中聯(lián)盟校摸底）已知橢圓C：+=12>01W4,

的離心率e=；,是2=8”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】當焦點在x軸時，e="14=2,

A2

4—；7

解得2=8,當焦點在y軸時，e=4=2，

解得2=2,故"C的離心率《=是“4=8”的必要不充分條件.故選B.

2

丫2丫2

6.（2023?新課標I卷）設橢圓G：;+產(chǎn)=1（心1）,c：:+產(chǎn)=1的離心率分別

a~24

為ei,a.若及=3ei,則。=（）

23

A.B.2

3

C.3D.6

【答案】A

【解析】由。2=3ei,得后=3比因此4-l=3X〃;I而心1,所以々=23.

4a23

故選A.

7.（2025?河南平許濟絡質(zhì)檢）已知橢圓C：，+，=1（心6>0）的離心率為;，小，

兒分別為C的左、右頂點，B為。的上頂點.若點「扇2=—2,則橢圓C的方

程為（）

A.2=iB.2=]

161286

C.爐+產(chǎn)=1D.x2+2^=l

4323

【答案】B

【解析】顯然離心率e=〃一加=解得即〃=%出,A1

a標2。244

分別為C的左右頂點,8為上頂點,則?。ㄒ籥,0）,方（。,0）,5（0,b）,于是Mi=

（一%—b）,BA2=（a,—b）,而歷ii442=—2,即一出+乂二一2,又力2=3〃2,

4

因此聯(lián)立解得層=8,方2=6,所以橢圓的方程為（+]=1.故選B.

86

8.（2025?廣西示范性高中質(zhì)檢）已知橢圓M：，+：；；=1（心6>0）的左、右焦點分別

為Fi,Fl,點尸在“上，。為尸B的中點，且尸。J_PE,\FiQ\=bf則/的離

心率為（）

A.3B.1

23

C.1D.2

22

【答案】C

【解析】由題意得|所|=/周=2的則|0刑=；質(zhì)|=：（2〃一|呷）=?！?在a

中,由口。|2+|03|2=r]歹2匕得乂+3—C）2=4C,2,則*-4+42-2^+

c2=4c2,得a?—a—2c2=（a—2c）（〃+c）=0,解得a=2c,所以M的離心率為0=

a

9.（2024?河南焦作期中）已知橢圓C：￡+《=1的右焦點為凡點鳳0,2）,點P

是C上的動點，則『F|+|PE|的最小值為（）

A.5B.10-25

C.10D.10+25

【答案】B

【解析】若尸為橢圓左焦點且尸（一4,0）,貝力尸尸|+|陽=2〃=10,故|因=

10一|尸產(chǎn)所以|PF|-|PE|=|PE|-|PF|+10,而||PE|一|PF'||W|EP|=25,

所以一25W|PE|一|P<|W25,僅當P,E,P共線時取等號,綜上"尸尸|十|PE|

的最小值為10—25,取值條件為尸，E,F'共線且E在P,F'之間.故選B.

二、多選題

10.（2024?山東臨沂聯(lián)考）已知橢圓C：：；+，=1（心沅>0）的左、右焦點分別為a,

少2,點尸在。上，且|尸尸||的最大值為3,最小值為1,貝女）

A.橢圓C的離心率為!

2

B.△尸BE的周長為4

C.若NEP￡=60。，則的面積為3

D.若|尸外||PB|=4,則NBPE=60。

【答案】AD

【解析】由題意Q+C=3,4—c=l,故。=2,c=l,故A正確；△PBH的周

長為2〃+2c=6,故B錯誤；若/尸2產(chǎn)月=60。，則尸ZEFUIPAF+IPEF-

2

ZIPRIIPBICOS60°=（\PFi14-\PF2\）-3|PFII-\PF2\,即（2C）2=（2Q）2—3|尸丹卜|尸尸2|,故

X2

\PF\|?|PB|=4,故S/\PF2FI=\PFx|?|PB|sin60°=3,故C錯誤；由余弦定理下2a|

乙

222

=\PF\|+|PF2|-2\PFi|?|PB|cosAFiPFx=(|PFi|+\PF2\)一2『Q|?|PB|(1+cosN

F2PF1）,即4=16—2X4（1+COSNBPA）,解得故/4尸產(chǎn)1=60。，

故D正確.故選AD.

11.（2025?河南許昌高級中學測試）已知Q,B分別是橢圓C：:;+，=1（。?>0）

的左、右焦點，尸是橢圓C上一點，則（）

A.當〃=2b時，滿足/42乃=90。的點P有2個

B.△PEB的周長一定小于4a

〃2

C.△PRB的面積可以大于:

2

f03

D.若恒成立，則。的離心率的取值范圍是〔’5_

【答案】ABD

【解析】當點尸的坐標為（0,或（0,一。）時，最大，此時，若Q—2b,

則6=和所以//1產(chǎn)后=90。，A正確;△尸QB周長為2〃+2c〈4a,故B正確；

△PFiB的面積為;廠內(nèi)1MWbcW'故C錯誤；因為。一cW|Pa|W〃+

c,所以a+cW2b,可得5以+2℃—3。2屋0,得5所+2e—3W0,得一iWeW，,

5

（o3]

又e￡（0,l）,所以eW1'5」，故D正確.故選ABD.

三、填空題

12.（2025?湖南長沙長郡中學月考）點加在橢圓[+q=1上，廠是橢圓的一個焦

點，N為/“的中點，|。2=3,則也用=.

【答案】4

【解析】如圖，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設尸為左焦點，尸為右焦點，由橢圓

j+[=1，得。=5,2a=10,；N是的中點，。是"'的中點，，。%為^

FMF'的中位線，|=2|ON|=6,，由橢圓的定義得附尸|=2〃一|M尸尸

10—6=4.

13.(2025?河北唐山摸底)己知橢圓C的左焦點為凡右頂點為兒上頂點為8,

若△48”為等腰三角形，則。的離心率為.

-1+3

【答案】

【解析】不妨設橢圓的長軸、短軸、焦距分別為2〃,242心>0,b>0,c>0),則

222

a=b+ci且根據(jù)橢圓性質(zhì)易知A(—c,0),4(a,0),8(0,b),所以|48|=屋+〃,

|4尸|=〃+c,18bl=〃，顯然若△48b為等腰三角形，則只能有|48|=|//|,即〃2

+Z)2=(a+c)2n。2—2妝—2/=0,則1—2°—21)=00e=c=1十

丫2

14.(2025?廣東調(diào)研)已知點尸在橢圓C：0+爐=1上運動，￡>(0,6),動點。滿

足|。0|=2,則/。|的最大值為.

【答案】62

【解析】依題設P(x,y),則[+V=1,—IWJWI,由|QQ|=2,可得點。的

軌跡是以。為圓心，2為半徑的圓.0|2=/+8-6)2=10—10產(chǎn)+。-6)2=一

2

9/-l2y+46=-9lM3戶+50<50,\DP\^52,當且僅當^=一取等號，即

3

\DP\max=52,故|尸0|max=|O0|max+2=52+2=62.

15.(2024?云南曲靖一中階段測試)曲線'；+[=1上點到直線x—2y+8=o距離

的最小值為.

【答案】3/

【解析】解法一：令X一2>+〃?=0與;+[=1指切，聯(lián)立整理可得25歹2—16〃少

+4m2—36=0,

所以1=256m2—400（加-9）=0,可得加=±5,

當x-2y+5=0,此時與x—2y+8=0的距離為由

當x-2y-5=0,此時與x—2y+8=0的距離為由；”55,

所以曲線到直線距離的最小值為3

解法二：設x=3cos0,貝（y=2sin0,則曲線上的點到直線工一29+8=0的距離d

13cos0—4sin。+8|_15cos（0+夕）+8|>3_35

―5_55-5-

[其中tan9=2,且cos（0+o）=—1時取等號]_35

13J,即Gmin=5-

【鞏固必刷題】

1.（2025?湖南長沙雅禮中學開學考）過橢圓C：+[=1的中心作直線/交的圓

于P、。兩點，尸是。的一個焦點，則△PRQ周長的最小值為（）

A.16B.14

C.12D.10

【答案】B

【解析】設C的另一個焦點為尸，根據(jù)橢圓的對稱性知|尸目=|。/所以△

巴論的周長為IP網(wǎng)+1。阿+Q。1=1。尸i+io/n+iPOFg+i尸當線段產(chǎn)。為橢

圓短軸時，|PQ|有最小值6,所以△刊的周長的最小值為14.故選B.

2.（2024?江西五市九校聯(lián)考）若點尸既在直線/：x—y+2=0上，又在橢圓C：

,2

+；；=1（心Q0）上，。的左、右焦點分別為E,E,|HB|=2,且NQPB的平分

線與/垂直，則。的長軸長為（）

A.10B.10

2

C.1°或10D.10或10

242

【答案】B

【解析】由|BB|=2,