專題17最值問題中的將軍飲馬模型

【模型展示】

傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫。一天，一位羅馬將軍專程去拜

訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問題。將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲(yin)馬，然后

再去河岸同側(cè)的B地開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?從此，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題

廣泛流傳。

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三三鹿三二

特點(diǎn)

實(shí)際問題：應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？

C

作圖問題：在直線1上求作一點(diǎn)C,

使AC+BC最短問題.

結(jié)論AC+BC最短

【模型證明】

(1)現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線1異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在1上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A,

點(diǎn)B的距離的和最短？

解決方案

連接AB,與直線1相交于一點(diǎn)C.

AC+BC最短(兩點(diǎn)之間線段最短)

(2)現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線1同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在1上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A,

點(diǎn)B的距離的和最短？

作法：

(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)B，；

(2)連接AB"與直線1相交于點(diǎn)C.

則點(diǎn)C即為所求.

所作的AC+BC最短嗎？請(qǐng)說明理由？

【證明】

如圖，在直線1上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C不重合）,

連接AC"BC"BV.由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，

BC=B，C,BC=BC.

AAC+BC=AC+B,C=AB,,

AC'+BC'=AC'+B'C'.

在^AWC中，

AB'<AC+BC,

AAC+BC<AC+BC'.

即AC+BC最短.

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，止方形ABCD的邊長是4,點(diǎn)E是。。上一個(gè)點(diǎn)，且。E=I,P點(diǎn)在AC上移動(dòng)，則PE+PD的最小值是

C.5.5D.5

2.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)M在DC上，且QM=I,N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為（）

C.2亞D.5

3.如圖，矩形A8CQ中，48=4,BC=6，點(diǎn)P是矩形A8C。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，”,=L皿很"C+叨的最小值是（）

A.45/3B.4石

C.2拒D.2則

4.如圖，等邊△A8C的邊長為6,AD是8C邊上的中線,M是A。上的動(dòng)點(diǎn)，￡是邊AC上一點(diǎn)，若AE=2,貝!1

EM?CM的最小值為（）

A.V26B.373C.25D.4夜

5.已知線段AB及直線/,在直線/上確定一點(diǎn)P，使以+PA最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（）.

6.如圖，點(diǎn)M是菱形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，若A8=2,/A=120。，則PM+PC的最

小值為（）

A.2B.V3C.72D.1

7.如圖，在△ABC中，AB=2,NA8C=60。，ZACB=45°,。是BC的中點(diǎn)，直線/經(jīng)過點(diǎn)。，4f_L/,BFll,

垂足分別為E,尸，則AE+BF的最大值為（）

C.26D.3&

8.如圖，凸四邊形48co中，乙4=90。./。=90。,/。=60。,4。=3*8=逐，若點(diǎn)M、N分別為邊CD,AO上的動(dòng)

點(diǎn)，則的周長最小值為（）

A.2囪B.3x/6C.6D.3

二、填空題

9.在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常會(huì)看到許多“標(biāo)準(zhǔn)”的矩形，如我們的課本封面、A4的打印紙等，其實(shí)這些矩形的長與

寬之比都為友:1,我們不妨就把這樣的矩形稱為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”，在“標(biāo)準(zhǔn)矩形F8C力中，如圖所示，點(diǎn)Q在0C上，

且00=40,若G為BC邊上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△4G。的周長最小時(shí)，則凄的值為.

10.如圖，點(diǎn)?是內(nèi)任意一點(diǎn)，0P=3cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線0A和射線。8上的動(dòng)點(diǎn)，408=30°,

則△QWV周長的最小值是______.

11.如圖，等邊AA8C的邊長為4,點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)夕是AABC的中線AO上的動(dòng)點(diǎn)，貝!JEP+C尸的最小值

12如圖正方形ABCD的邊長為8點(diǎn)M在。C上且。M=2N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)則DN+MN的最小值是

13.如圖所示，在“WC中，"=AC,直線跖是AB的垂直平分線，。是8c的中點(diǎn)也是樣上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△"C

的面積為12,BC=4,則周長的最小值是.

E

M

BD0

14.如圖，在四邊形ABCD中，/BCD=50°,N8=NO=90。，在BC、CD上分別取一點(diǎn)M、N,使^AMN的周

長最小，貝?!/MAN=°.

15.如圖，在矩形ABC力中，回=15,8C=20,把邊/W沿對(duì)角線加平移，點(diǎn)4,所分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,B給出下列

結(jié)論：

①順次連接點(diǎn)4,8',。，。的圖形是平行四邊形；

②點(diǎn)C到它關(guān)于直線AA的對(duì)稱點(diǎn)的距離為50；

③AC-的最大值為15；

④AC+BC的最小值為9J萬.

其中正旃結(jié)論的序號(hào)是______________

16.如圖，O為矩形ABCD對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),48=8,M,N是直線BC上的動(dòng)點(diǎn),且MN=2,則OM+ON的

最小值是____________.

AD

17.如圖，菱形"C。的邊長為6,ZABC=120。，M是8C邊的f三等分點(diǎn),P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PB

+PM的值最小時(shí)，PM的長是________.

三、解答題

18.如圖,在RSA8C中，ZACS=90°,NA8C=30。，AC=2,以BC為邊向左作等邊4BCE,點(diǎn)Q為AB中點(diǎn),

連接CD，點(diǎn)P、Q分別為CE、CD上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：AADC為等邊三角形；

(2)求PD+PQ+QE的最小值.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線48分別與x軸的負(fù)半軸、丁軸的正半軸交于4、B兩點(diǎn)，其中OA=2,SAABC

=12,點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且。。二。8.

⑴求直線AB的解析式;

⑵將直線AB向下平移6個(gè)單位長度得到直線//，直線與軸交于點(diǎn)E,與直線CB交于點(diǎn)。，過點(diǎn)E作y軸的

垂線12,若點(diǎn)P為V軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為直線/2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求P/HPQ+OQ的最小值；

⑶若點(diǎn)M為直線AB上的一點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)人/)、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若

存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

20.如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，將三角形分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形與原三角形相似，則稱該

直線為三角形的咱相似分割線”.如圖1,在^ABC中，AB-AC-X,Z5AC-108°,OE垂直平分AB,且交BC于點(diǎn)

。，連接4D.

⑴證明直線八。是4AAC的自相似分割線；

(2)如圖2,點(diǎn)P為直線DE上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PA-iPC的值最?。壳蟠藭r(shí)%+PC的長度.

(3)如圖3,射線5平分NAC8，點(diǎn)Q為射線b上一點(diǎn)，當(dāng)4Q+絆ICQ取最小值時(shí)，求NQAC的正弦值.

21.在長方形A8CD中，A8=4,8C=8,點(diǎn)P、。為8C邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)尸位于點(diǎn)。的左側(cè)，P、。均不與頂

點(diǎn)重合)，PQ=2

⑴如圖①，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，當(dāng)Q移動(dòng)到BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，求證：4P二Q￡；

⑵如圖②，若點(diǎn)￡為CD邊上的中點(diǎn)，在PQ的移動(dòng)過程中，若四邊形APQE的周長最小時(shí)，求BP的長；

(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(M、N均不與頂點(diǎn)重合)，當(dāng)8。=3,且四邊形PQNM

的周長最小時(shí)，求此時(shí)四邊形PQMW的面積.

22.在△ABC中，？A90?,。為BC延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為線段4C,CD的垂直平分線的交點(diǎn)，連接成，石C,

ED.

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